2015年湖南省益阳市中考数学试卷

2015年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ） A．

B． C．0

D．﹣3

2．（5分）下列运算正确的是（ ） A．x2?x3=x6 B．（x3）2=x5

C．（xy2）3=x3y6 D．x6÷x3=x2

3．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 人 数 3 1 3.5 1 4 2 4.5 1 A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75 C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体

5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）

A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 6．（5分）下列等式成立的是（ ） A．+=C．

= B． D．

==﹣

7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）

A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80

2

C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）=80

8．（5分）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ） A．m＞1

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 9．（5分）计算：

= ．

B．m＞0

C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．

11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．

12．（5分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则为 ．

的长

13．（5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

14．（8分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．

15．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．（10分）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上． （1）写出点P2的坐标；

（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；

（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．

17．（10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题

（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；

（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．

18．（10分）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

19．（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

20．（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连

接

PP1

、

PP2．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；

（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；

（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．

六、解答题（本题满分15分）

21．（15分）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′． （1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

2015年湖南省益阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ） A．

B． C．0

D．﹣3

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A、是无理数，选项正确； B、是分数，是有理数，选项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误． 故选A．

2．（5分）下列运算正确的是（ ） A．x2?x3=x6 B．（x3）2=x5

C．（xy2）3=x3y6 D．x6÷x3=x2

【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．

【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误； C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；

D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误； 故选：C．

3．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）

劳动时间（小时） 人 数 3 1 3.5 1 4 2 4.5 1 A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75 C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8 【分析】根据众数和中位数的概念求解．

【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4， ∵共有5个人，

∴第3个人的劳动时间为中位数， 故中位数为：4， 平均数为：故选C．

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

=3.8．

A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体

【分析】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱

【解答】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱． 故选：B．

5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）

A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD

【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD， ∴OA=OB，

∴A、B、C正确，D错误， 故选：D．

6．（5分）下列等式成立的是（ ） A．+=C．

= B． D．

==﹣

【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式=B、原式不能约分，错误； C、原式=D、原式=故选C

7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）

A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80

2

C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）=80

，错误；

==﹣

，正确； ，错误，

【分析】根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．

【解答】解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80， 故选D．

8．（5分）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ） A．m＞1

B．m＞0

C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组． 【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），

根据题意，，

解不等式（1），得m＞0， 解不等式（2），得m＞﹣1； 所以不等式组的解集为m＞0． 故选B．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 9．（5分）计算：

= 4 ．

【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可． 【解答】解：原式=故答案为：4

10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 y=（x＞0），答案不唯一 ．

【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．

【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一． 故答案为：y=（x＞0），答案不唯一．

=

=4．

11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为

．

【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．

【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况， 有4种甲没在中间，

所以甲没排在中间的概率是=． 故答案为．

12．（5分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则 ．

的长为

【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可． 【解答】解：∵ABCDEF为正六边形， ∴∠AOB=360°×=60°， 的长为故答案为：

13．（5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 5n+1 根小棒．

=．

．

【分析】由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．

【解答】解：∵第1个图案中有5+1=6根小棒， 第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒， 第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒， …

∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒． 故答案为：5n+1．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 14．（8分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．

【分析】利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可． 【解答】解：原式=x2+2x+1﹣x2﹣x =x+1．

15．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．

【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°，

∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．（10分）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上． （1）写出点P2的坐标；

（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；

（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．

【分析】（1）根据“右加左减、上加下减”的规律来求点P2的坐标；

（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），把点P1（2，1），P2（3，3）代入直线方程，利用方程组来求系数的值； （3）把点（6，9）代入（2）中的函数解析式进行验证即可． 【解答】解：（1）P2（3，3）．

（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）， ∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上， ∴解得

， ．

∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x﹣3．

（3）点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为（6，9）， ∵2×6﹣3=9， ∴点P3在直线l上．

17．（10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题

（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；

（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数． 【分析】（1）用第一产业增加值除以它所占的百分比，即可解答； （2）算出第二产业的增加值即可补全条形图； （3）算出第二产业的百分比再乘以360°，即可解答． 【解答】解：（1）237.5÷19%=1250（亿元）；

（2）第二产业的增加值为1250﹣237.5﹣462.5=550（亿元），画图如下：

（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为

．

18．（10分）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

【分析】（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；

（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．

【解答】解：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB， ∴?ABCD是菱形． ∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB=∴AO=14×=

，

=，AB=14，

在Rt△ABE中，cos∠EAB=∴AE=AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣

=

=，AB=14，

．

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

19．（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

【分析】（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，根据“当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．”列出方程组解决问题；

（2）最多再生产x天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量小于或等于3吨列出不等式解决问题．

【解答】解：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨， 根据题意得：解得

．

．

答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨． （2）设再生产x天后必须补充原材料， 依题意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≤3， 解得：x≥10．

答：最多再生产10天后必须补充原材料．

20．（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连

接

PP1

、

PP2．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；

（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；

（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于

点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．

【分析】（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答案；

（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；

（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．

【解答】（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2． ∵α=90°，

∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45°，

∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；

（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣

，

）=α，

∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA．

（3）证明：如图，连接QB． ∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线， ∴EB=BP，FB=BP2． 又BP=BP2， ∴EB=FB．

在Rt△QBE和Rt△QBF中，

，

∴Rt△QBE≌Rt△QBF，

∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE=

，

，

，

由（2）知∠APP1=90°﹣

∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣即 P1P⊥PQ．

）=90°，

六、解答题（本题满分15分）

21．（15分）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′． （1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

【分析】（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出a的值；

（2）由题意可得，在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q，分别利用当点B为直角顶点时以及当点Q为直角顶点时求出Q点坐标即可； （3）首先设P（c，c2）、P′（d，与△P′BB′的面积进而得出答案．

【解答】解：（1）∵抛物线E1经过点A（1，m）， ∴m=12=1．

∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0）， 又∵点B（2，2）在抛物线E2上， ∴2=a×22， 解得：a=，

∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2．

），进而得出c与d的关系，再表示出△PAA′

（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，

由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．

①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E1于Q， 则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4， ∴点Q的坐标为（2，4）．

②当点Q为直角顶点时，则有QB′2+QB2=B′B2，过点Q作GQ⊥BB′于G， 设点Q的坐标为（t，t2）（t＞0），

则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=16， 整理得：t4﹣3t2=0， ∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得t1=∴点Q的坐标为（

，3），

，3）；

，t2=﹣

（舍去），

综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（

（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA′于点E，

过点P′作P′D⊥x轴，垂足为点D，P′D交直线BB′于点F， 依题意可设P（c，c2）、P′（d，∵tan∠POC=tan∠P′OD， ∴

=

，

） （c＞0，c≠q），

∴d=2c．

∵AA′=2，BB′=4，

∴====．

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