2009年高考数学理试题（山东卷）解析版

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。 参考公式：

柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。 锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).

事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概

kkn?k率:P(k)?Cp(1?p)(k?0,1,2,?,n). nn13 第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

21.集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为( )

??A.0 B.1 C.2 D.4

2?a?162B?1,a【解析】:∵A??0,2,a?,??,A?B??0,1,2,4,16?∴?a?4∴a?4,故选D.

?答案:D

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题

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属于容易题. 2.复数

3?i等于（ ）. 1?iA．1?2i B.1?2i C.2?i D.2?i

3?i(3?i)(1?i)3?2i?i24?2i2. 【解析】: ????2?i,故选C.

1?i(1?i)(1?i)1?i22答案:C

【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数y?sin2x的图象向左平移是( ).

2A.y?cos2x B.y?2cosx C.y?1?sin(2x??个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式4?4) D.y?2sin2x

3. 【解析】:将函数y?sin2x的图象向左平移

??个单位,得到函数y?sin2(x?)即

44y?sin(2x?)?cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

2?y?1?cos2x?2sin2x,故选D.

答案:D

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.2??23 B. 4??23 C. 2??【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2?,四棱锥的底面

2323 D. 4?? 332 2 1边长为2，高为3，所以体积为?3所以该几何体的体积为2??答案:C

??2?3?223 32 2 正(主)视图

23. 32 侧(左)视图

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

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由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.

5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的 一条直线，则“???”是“m??”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的

一条直线,m??,则???,反过来则不一定.所以“???”是“m??”的必要不充分条件. 答案:B.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 俯视图

【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.

ex?e?x6. 函数y?x的图像大致为( ). ?xe?e

【解析】:函数有意义,需使e?ex?xy 1O 1 x 1yyy 1 O 1 x D

1 O1xO1 xA B C ?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

ex?e?xe2x?12y?x?x?2x?1?2x,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

e?ee?1e?1答案:A.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

????????????7.设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ）

B

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A C P

第7题图

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????????????????????????????????????????A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0 ????????????【解析】:因为BC?BA?2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选C。

答案：C。

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。

８.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 频率/组距 0.150 0.125 小于104克的产品的个数是( ).

0.100 A.90 B.75 C. 60 D.45

0.075 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 0.050 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n, 则

96 98 100 102 104 106 克

第8题图

36?0.300,所以n?120,净重大于或等于98克并且小于 n104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A. 答案:A

【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.

x2y229. 设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率

ab为( ). A.

55 B. 5 C. D.542w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

b?y?xbx2y2?【解析】:双曲线2?2?1的一条渐近线为y?x,由方程组?a,消去y,得

aab2??y?x?1京翰教育http://www.zgjhjy.com/

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x2?bbx?1?0有唯一解,所以△=()2?4?0, aabca2?b2b所以?2,e???1?()2?5,故选D.

aaaa答案:D.

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0，则（f2009）的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 11.在区间[-1，1]上随机取一个数x，cosA.

?x1的值介于0到之间的概率为( ). 221212 B. C. D. 323?【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,??2222?x111区间长度为1, 而cos的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C

2222答案:C

??x??, ∴0?cos?x?1

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos?x的范围,再由长度型几何概型求得.2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

y x-y+2=0

?3x?y?6?0?12. 设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ，

?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，

z=ax+by

2 -2 O 2 x 3x-y-6=0 京翰教育http://www.zgjhjy.com/

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23?的最小值为( ). ab25811A. B. C. D. 4 633则

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而答案:A

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23232a?3b13ba1325?=(?)??(?)??2?,故选A. abab66ab66

【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.

第?卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13.不等式2x?1?x?2?0的解集为 .

23?ab1?x?2?x?2??【解析】:原不等式等价于不等式组①?或②? 22x?1?(x?2)?0???2x?1?(x?2)?01?x?11??x?1?1?x?或③?不等式组①无解,由②得,由③得,综上得222???(2x?1)?(x?2)?0?1?x?1,所以原不等式的解集为{x|?1?x?1}.

答案: {x|?1?x?1}w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 14.若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . x【解析】: 设函数y?a(a?0,且a?1}和函数y?x?a,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两x个零点, 就是函数y?a(a?0,且a?1}与函数y?x?a有两个交点,由图象可知当

xx京翰教育http://www.zgjhjy.com/

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0?a?1时两函数只有一个交点,不符合,当a?1时,因为函数y?ax(a?1)的图象过点(0,1),

而直线y?x?a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是

a?1

答案: a?1

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 15.执行右边的程序框图，输入的T= . 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30 答案:30

【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况.

16.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________. 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由

T>S 否 S=S+5 n=n+2 结束 T=T+n 输出T 是 开始 S=0,T=0,n=0 f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的

y ? x ?4所以根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12x34x1?x2?x3?x4?1?2答案:-8

4? 8??f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 三、解答题：本大题共6分，共74分。

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17.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

?2)+sinx.3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=

1C1，f()=－，且C为锐角，求sinA. 343解: （1）f(x)=cos(2x+

???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2所以函数f(x)的最大值为

（2）f(

C112C??32C2C3?,所以C?,)=?=－,所以sin,因为C为锐角,所以sin?4332322332所以sinA =cosB=

1. 3【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. （18）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 （1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。

E1 E

F

B

D C

D1 A1 C1

B1

A 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

A1 D1 F1 POF

C1

B1

C

B

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为EE1?平面FCC1，CF1?平面FCC1， 所以直线EE1//平面FCC1.

E1 E

A D （2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面

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CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,OB?3,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵

OPOF∴?CC1C1FOP?122?22?2?2, 22OP711422?2?在Rt△OPF中,BP?OP?OB?,cos?OPB?,所以二?3?BP722142面角B-FC1-C的余弦值为

7.7 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

z D1 A1 C1 B1

D C 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M, 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, ,则D（0,0,0）,A（3,-1,0）,F（3,1,0）,C（0,2,0）,

E1 y

EA M F x B

C1

（0,2,2）,E（

32,

?12,0）

,E1

（

3,-1,1）,所以

??????????????????31EE1?(,?,1),CF?(3,?1,0),CC1?(0,0,2)FC1?(?3,1,2)设平面CC1F的法向量

22??????????3x?y?0?n?CF?0为n?(x,y,z)则??????所以?取n?(1,3,0),则????z?0?n?CC1?0??????????31n?EE1??1??3?1?0?0,所以n?EE1,所以直线EE1//平面FCC1.

22??????????????n1?FB?0（2）FB?(0,2,0),设平面BFC1的法向量为n1?(x1,y1,z1),则???????所以???n1?FC1?0?????y1?0??,取n1?(2,0,3),则n?n1?2?1?3?0?0?3?2, ????3x1?y1?2z1?0京翰教育http://www.zgjhjy.com/

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???2|n|?1?(3)?2,|n1|?22?0?(3)2?7,

??????n?n127??所以cos?n,n1?????,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角B-FC1-C?7|n||n1|2?7的余弦值为

7. 7【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. (19)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用?表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ? 0 2 3 4 5 P3 P4

p 0.03 P1 P2 （1） 求q2的值；

（2） 求随机变量?的数学期望E?;

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概

率的大小。

解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(A)?0.75, P(B)= q2,P(B)?1?q2.

根据分布列知: ?=0时P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75(1?q2)2=0.03,所以1?q2?0.2，q2=0.2.

（2）当?=2时, P1=P(ABB?ABB)?P(ABB)?P(ABB)

?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)=0.75 q2( 1?q2)×2=1.5 q2( 1?q2)=0.24

当?=3时, P2 =P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.25(1?q2)2=0.01,

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当?=4时, P3=P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75q22=0.48, 当?=5时, P4=P(ABB?AB)?P(ABB)?P(AB)

?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)?0.25q2(1?q2)?0.25q2=0.24

所以随机变量?的分布列为 ? 0 2 3 4 5 0.48 0.24

p 0.03 0.24 0.01 随机变量?的数学期望E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB?BBB?BB)

?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q22?q22?0.896;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力. （20）（本小题满分12分）

等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数

?y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）当b=2时，记 bn?2(loan?2g证明：对任意的n?N ，不等式

?n1)?(N? )b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bnx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所

以

得

?Sn?nn?b,r当

n?1n?1时,

a1?S1?b?r,当

n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以

r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1

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（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则

bn?12n?1b?13572n?1b?1b2?1,所以1 ?·······n????b1b2bn2462nbn2nb?13572n?1b1?1b2?1·······n?????n?1成立. b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式

① 当n?1时,左边=

33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22② 假设当n?k时不等式成立,即

b?13572k?1b1?1b2?1·······k?????k?1成立.则b1b2bk2462k当n?k?1时,左边=

b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3 ·······k???????b1b2bkbk?12462k2k?22k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. （21）（本小题满分12分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造垃圾

处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对

城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?224k?(0?x?20) 22x400?xC 京翰教育http://www.zgjhjy.com/

x A B

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其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?设

49?(0?x?20) 22x400?x,

则

m?x2,n?400?x24m9?(n?m?n?400,

y?y?m4?n9)?m40n01n[?13400m4?(m49?,所以mn91?)当]且?仅当(n400?113?114n9m?n?240?即?时取”=”. mn?m?160下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400?m设04×240×240 9 m1m2<9×160×160所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)上为减函数.

494(400?m1)(400?m2)?9m1m2在(0,160)?0即y1?y2函数y??m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)同理,函数y?49?在(160,400)上为增函数,设1609×160×160 所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)494(400?m1)(400?m2)?9mm12?0即y1?y2函数y??在

m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)京翰教育http://www.zgjhjy.com/

所以(m2?m1)高考网 http://www.yaogaokao.com

(160,400)上为增函数.

所以当m=160即x?410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧小.

【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （22）（本小题满分14分）

上存在一点，当x?410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最

x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为

611184b?4????1?????a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

?y?kx?m?????????得OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2?1??4?8x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,

222222则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0,即8k?m?4?0

224km?x?x??12??1?2k2?22m?8?xx?12?1?2k2?22,

k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k2京翰教育http://www.zgjhjy.com/

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????????2m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0,要使OA?OB,需使x1x2?y1y2?0,即221?2k1?2k?m2?283m2?826222?0又8k?m?4?0,所以?2所以k?,所以m?,即m?或

383?3m?82m??26,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为38m2m282622x?y???,r?,,所求的圆为,此时圆的r?r?2223m?831?k331?k1?8m2切线y?kx?m都满足m?2626或m??,而当切线的斜率不存在时切线为33x2y22626262626??1的两个交点为(与椭圆,?)或(?,?)满足x??8433333????????8OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E

3????????恒有两个交点A,B,且OA?OB.

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

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