电磁场与电磁波第四版第二章部分答案

习题二

2.9无限长线电荷通过点（6,8,0）且平行于z轴，线电荷密度为ρ?,试求点P(x,y,x)处的电场强度E。

解：线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关，设P位于z=0的平面上。则R=ex x?6 +ey y?8 , R = (x?6)2+(y?8)2

ex x?6 +ey y?8 R

eR== R (x?6)2+(y?8)2则P点的E为

ρ?ρ?ex x?6 +ey y?8 R

E=eR=?=? 22 2πε0RR2πε0R2πε0(x?6)+(y?8)2．10半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷ρ?，如图所示。试求垂直于半圆环所在轴线的平面上z=a处的电场强度E(0,0,a)。 解：

′P(0,0,a)的位置矢量是 =eza,电荷元ρ?dl=ρ?ad?, =eacos?+x′

r

r

ρ?eyasin?′

′′ ? =ea?eacos??easin? zxy′r

r

= a2+ acos?′ 2+ asin?′ 2= 2a

ez? exacos?′+eyasin?′ dE=d?=d?

4πε0 2a 3a8 2 πε0

ρ?E 0,0,a = dE = =

ρ?8 2 aπε0? ρ?a rr′

ez? exacos?′+eyasin?′ d? π

2π?2ρ?(ezπ?ex2)8 2 aπε0

2.12一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为ρs。试证

明：垂直于平面的z轴上z=z0处的电场强度中，有一半是由平面上半径为 3z0的圆内的电荷产生的。

解：取面积元ds′=r′d?′dr′,dq=ρsds′=ρsr′d?′dr′,电荷元在z=z0处产生的电场强度dE=

ρsr′d?′dr′

4πε0

?

ezz0+err′ z0

322+r′ 2 d?′

整个平面在z=z0处的电场强度为E=

ρsz0

=?ez

2ε0

当r ∞时，E=ex

ρs2ε0

ρs4πε0

?

r2πezz0+err′′′

rdr 3002

z02+r′ 21 z02+r2

ρs

1+ez2ε

02,当r= 3z0时，E′=ez

ρs4ε0

=E

2

1

2.15半径为a的导体球形体积内充满密度为ρ r 的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分布为

er r3+Ar2 0

D=erDr= a5+Aa4

er r≥a2r

式中A为常数，试求电荷密度ρ r 解：有??D=ρ，得 ρ r =??D=

1dr2dr

(r2Dr)

1dr2dr

0??,此时ρ r =

r2 r3+Ar2 =5r2+4Ar

=0

54

2 a+Aa r r2drr21d

2.22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱体导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图所示，试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解：

将题所示非对称电流看成两个对称电流的叠加，电流密度为J的电流分布在半径为b的圆柱内，电流密度为-J的电流分布在半径为a的圆柱内。

根据安培环路定律 ?dl=μ0I

B

在半径为b的圆柱体内，

当ρb

Bb

Bb

μ02

×

J

ρb

当ρb>??, 2πρb =μ0J×

Bb

πb2ρb2

,即 =

Bb

×

μ0b2Jρb2

ρb2

在半径为a的圆柱体内， 当ρa

BaBa

μ02

ρa

× μ0a2 Jρa? 2ρa2

×

J

当ρa>??时，同理可得， =圆柱外（ρb>??）， =

B

2

×

μ0b2Jρbρb2?

× μ0a2 Jρa2

ρa2μ02

=

J

u02

×(

j

b2

ρb2ρb

ρa2

? ?

a2

ρa2ρau02

? ) ×

j

圆柱内的空腔外（ρb??） =

B

× ?

ρb

× μ0a2 Jρa2

=

（ ?

ρb

a2ρa2? ）

ρa

μ02

B

空腔内（ρa

J

d

× ?

J

ρb

μ02

× =

J

ρa

μ02

× ? =

J

ρb

ρa

μ02

是ob到oa的位置矢量，故空腔内的磁场是均匀的

d

2.23 在xy平面上沿+x方向有均匀面电流 ,如图所示，若将xy平面视

Js

为无限大，求空间任意一点的 。

H

解：作垂直于xy平面的矩形闭合线abcda，由安培环路定理可得 ?ab+ ?cd= ab

H

H

Js

在z>0的区域内，有 ?Hy?Hy ab = ab 即Hy=?

Js

2Js

1

在z<0的区域内，同理可得Hy=

2Js

1

综上所述： = ×en, en为面电流的外法向单位矢量

H

2Js

1

2.25平行双线与一矩形回路共面，如图所示，设a=0.2m，b=c=d=0.1m,i=0.1cos(2π×107t)A,求回路中的感应电动势。 解：由安培环路定理得,设矩形回路与左线的距离为r,

B左

B右

方向：垂直纸面向内 则 εin=?

?ds=?dt[ B左ds+ B右ds] dt

B

b+c

d

d

μ0i

= 2πrμ0i

= 2π(b+c+d?r) B左ds=

c+d

b

μ0iμ0iab+c

adr= ln?() 2πr2πrb B右ds= εin=? =?

ddtπ

d

μ0iμ0iab+c

adr= ln?()

2π(b+c+d?r)2πrbddt

[ B左ds+ B右ds]=?2?ln

b+cb

d

[

μ0ia2πr

ln

b+cb

]

μ0a

dt[0.1cos 2π×107t ]

=0.348sin?(2π×107t) V

2.30煤质1的电参数为ε1=4ε0，μ1=2μ0,?1=0;煤质2的电参数为ε2=2ε0，μ2=3μ0，?2=0.两种煤质分界面的法向单位矢量为 =ex0.64+ey0.6?ez0.48,由煤质2指向煤质1.若已知煤质1内临

en

近分界面的点p处的磁感应强度 = ex?ey2+ez3 ?sin300t T,求p

B1

点处下列量的大小：B1n、B1t、B2n、B2t.

解：由磁场边界条件得，

B1n=B2n= ? = ex0.64+ey0.6?ez0.48 ? ex?ey2+ez3

enB1

= 0.64?1.2?1.44 T=2T

B1t= B12?B1n2 = 1+4+9?4 T=3.16T 由磁场边界条件可知： H1t=H2t

μ1B1t=μ2B2t即：B2t=

μ2μ1

B1t=

3μ02μ0

×3.16=4.74T

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