四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷(理科)

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.） 1．（4分）《几何原本》的作者是（） A． 欧几里得 B． 阿基米德 C． 阿波罗尼奥斯 D．托勒玫 2．（4分）南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（） 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 60 20 80 男生 10 10 20 合计 70 30 100 A． 1，6 B． 2，12 C． 2，4 D．4，16 3．（4分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）

A． 中位数为83 B． 众数为85 C． 平均数为85 D．方差为19 4．（4分）下列说法中正确的是（） A． 随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率． B． 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为

C． 事件A，B至少有一个发生的概率不一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大 D． 若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件 5．（4分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为（） A．

B．

C．

D．

6．（4分）已知双曲线

的右焦点F为抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点，A（x0，

2

y0）是C上一点，

|AF|=x0，则x0=（）

A． 4 B． 6 C． 8 7．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）

D．16

A． ﹣1 B． 0 C． 1 D．2 8．（4分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）

A．

9．（4分）已知圆C1：（x﹣2）+（y﹣3）=1，圆C2：（x﹣3）+（y﹣4）=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（） A． 5

﹣4

B．

1

C． 6﹣2

D．

2

2

2

2

B．

C．

D．

10．（4分）设A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点B，F为

椭圆的右焦点，且AF⊥BF

．若 A．

B．

C．

，则该椭圆离心率的取值范围为（）

D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11．（4分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P′，则|PP′|=． 12．（4分）若直线y=ax﹣1（a为常数）与直线2ρ（cosθ+sinθ）=1平行，则a=．

13．（4分）如图，输出结果为．

14．（4分）已知双曲线

（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是． 15．（4分）给出下列结论： 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中： （1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）； （2）若∠F1MF2=90°，则S

=32；

，设M（x，y）

（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上； （4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为； 其中正确命题的序号是：．

三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）南山中学2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到0.01）； （2）从成绩介于两组的人中任取2人，求两人分别来自不同组的概率．

17．（10分）三角形的三个顶点是A（﹣4，0），B（2，4），C（0，3），点D为AB边所在直线上一点，

（1）求AB边的中线所在直线l的方程；

（2）若直线l是∠ACD的角平分线，求直线CD的方程．

18．（10分）已知圆x+y=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦， （1）当α=135°时，求弦AB的长；

（2）当弦AB被P0平分时，圆M经过点C（3，0）且与直线AB相切于点P0，求圆M的标准方程．

19．（10分）已知F1，F2分别为椭圆

=1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在

2

2

椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6； （1）求椭圆的标准方程；

（2）E、F是曲线C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.） 1．（4分）《几何原本》的作者是（） A． 欧几里得 B． 阿基米德 C． 阿波罗尼奥斯 D．托勒玫

考点： 古希腊数学． 专题： 立体几何．

分析： 《几何原本》的作者是欧几里得即可得出． 解答： 解：《几何原本》的作者是欧几里得． 故选：A．

点评： 本题考查了数学史《几何原本》的作者，属于基础题． 2．（4分）南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（） 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 60 20 80 男生 10 10 20 合计 70 30 100 A． 1，6 B． 2，12 C． 2，4 D．4，16

考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： 先求出抽样比例是多少，再计算样本中喜欢吃甜食的男生人数与女生人数是多少． 解答： 解：根据题意，得；

抽取20人组成样本时的抽样比例是=，

∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2， 女生人数是60×=12．

故选：B．

点评： 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目． 3．（4分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）

A． 中位数为83 B． 众数为85 C． 平均数为85 D．方差为19

考点： 茎叶图． 专题： 概率与统计．

分析： 根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和方差即可．

解答： 解：根据茎叶图中的数据，得中位数是众数是83，∴B错误；

=84，∴A错误；

平均数是

方差是=19.7，∴D错误．

=85，∴C正确；

故选；C．

点评： 本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题． 4．（4分）下列说法中正确的是（） A． 随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率． B． 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为

C． 事件A，B至少有一个发生的概率不一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大 D． 若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 概率与统计．

分析： A，利用频率与概率的概念及其关系可判断A；

B，依题意，利用系统抽样的方法可求得每人被抽中概率为，从而可判断B；

C，举例说明，抛骰子，事件A={三点}，事件B={四点}，事件A，B至少有一个发生的概率为，事件A，B中恰有一个发生的概率也是，可判断C；

D，举例说明，a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5，满足P（A）+P（B）=1，但AB不对立，可判断D．

解答： 解：对于A，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，但频率不是概率，故A错误；

对于B，要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为

×

=

，故B错误；

对于C，举例说明，如抛骰子，事件A={三点}，事件B={四点}，事件A，B至少有一个发生的概率为P1==，事件A，B中恰有一个发生的概率P2=，二者相等，故C正确， 对于D，若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件，错误．

例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5，P（A）+P（B）=1，但A，B不是对立事件． 综上所述，四个选项中说法正确的是C． 故选：C．

点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查概率的概念、系统抽样、对立事件等概念的理解与应用，属于中档题． 5．（4分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为（）

A． B．

C．

D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： 分别求出所有结果以及满足甲、乙两人相邻而站的结果，从而得到答案．

解答： 解：若甲、乙、丙三人随机地站成一排共甲、乙两人相邻而站有

种结果，

种结果，

∴P==，

故选：D．

点评： 本题考查了古典概型及其概率的计算公式，是一道基础题．

6．（4分）已知双曲线

的右焦点F为抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点，A（x0，

2

y0）是C上一点，

|AF|=x0，则x0=（）

A． 4 B． 6 C． 8 D．16

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得p=4，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，解方程，即可得到所求值．

解答： 解：双曲线

2

的右焦点为（2，0），

抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为（，0）， 则2=，解得，p=4． 则抛物线方程为y=8x，

准线方程为x=﹣2，

由抛物线的定义，可得|AF|=x0+2=x0，

解得，x0=8． 故选B．

点评： 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，考查运算能力，属于基础题． 7．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）

2

A． ﹣1 B． 0 C． 1 D．2

考点： 伪代码． 专题： 计算题．

分析： 该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．

解答： 解：该程序是一个当型循环结构． 第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4； 第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3； 第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2； 第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1； 第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0． ∵s=15，

∴结束循环． ∴n=0． 故选B；

点评： 本题考查当型循环结构，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握当型循环结构的运算法则． 8．（4分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）

A．

B．

C．

D．

考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．

分析： 由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由

边长为 的正方形面积减去半径为

的四分之一圆的面积得到．

解答： 解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2， ∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4， 空白区域的面积是2（4﹣π）=8﹣2π， ∴阴影区域的面积为4﹣（8﹣2π）=2π﹣4 ∴由几何概型公式得到P=故选B．

=

﹣1，

点评： 本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．

9．（4分）已知圆C1：（x﹣2）+（y﹣3）=1，圆C2：（x﹣3）+（y﹣4）=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）

A． 5﹣4 B．

1 C． 6﹣2 D．

考点： 圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式． 专题： 直线与圆．

分析： 求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．

2222

解答： 解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1， 圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：故选A．

=5

﹣4．

点评： 本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．

10．（4分）设A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点B，F为

椭圆的右焦点，且AF⊥BF

．若 A．

B．

C．

，则该椭圆离心率的取值范围为（）

D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析： 由题设条件结合椭圆的对称性推导出|AF|+|BF|=2a，|AB|=2c，设∠ABF=α，则能推导出2csinα+2ccosα=2a，由此能求出结果．

解答： 解：∵A为椭圆

∴B也在椭圆上， 设左焦点为F′，

根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，

又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a …①

∵O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c， 设∠ABF=α，则|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③

②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a， ∴=即e=

， =

，

上一点，点A关于原点的对称点B，

∵α=∴∴∴

≤sin（α+

）≤1 ．

，∴，

，

故选D．

点评： 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，是中档题．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11．（4分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P′，则|PP′

考点： 空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，求出P′的坐标，然后求解距离即可． 解答： 解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点， 可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P′：（﹣2，3，5）． |PP′|=2+2=4． 故答案为：4．

点评： 本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，距离公式的应用，属于基础题． 12．（4分）若直线y=ax﹣1（a为常数）与直线2ρ（cosθ+sinθ）=1平行，则a=

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用直线平行的充要条件求出结果．

解答： 解：直线2ρ（cosθ+sinθ）=1 转化成直角坐标方程为：2x+2y﹣1=0 所以直线的斜率为k=﹣1， 由于两直线平行 则：a=k=﹣1． 故答案为：﹣1

点评： 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线平行的充要条件．属于基础题型． 13．（4分）如图，输出结果为

考点： 循环结构．

专题： 计算题；压轴题；概率与统计．

分析： 根据题意，i的初始值为1，S的初始值为0，该框图的含义是：判断S是否满足小于或等于20，当不满足条件时输出i的值．由此规律，将循环体执行4次后不满足条件，输出最后的i值．

解答： 解：第一步：S=0≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=3，S=3； 第二步：S=3≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=5，S=8；

第三步：S=8≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=7，S=15； 第四步：S=15≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=9，S=22； 第五步：S=22＞20，输出最后一个i，将i=9输出 故答案为：9

点评： 本题给出一个循环结构的框图，求输出的最后结果．着重考查了算法的一般原理和循环结构的理解等知识，属于基础题．

14．（4分）已知双曲线

（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ∴e≥2， 故答案为：，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到0.01）； （2）从成绩介于两组的人中任取2人，求两人分别来自不同组的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．

分析： （1）由频率分布直方图能求出众数落在第三组组有3人； 设

分析： （1）利用点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；

（2）设直线PE方程代入椭圆方程，得（3+4k）x+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）﹣12=0，求出E，F的坐标，由此能证明直线EF的斜率为定值．

解答： 解：（1）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，…（1分） C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…（2分） ∴

∴椭圆方程为

…（3分）

…（4分）

2

2

2

（2）由（1）知，设直线PE方程：得y=k（x﹣1）+，代入，

得（3+4k）x+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）﹣12=0…（6分） 设E（xE，yE），F（xF，yF）． ∵点P（1，）在椭圆上，

222

∴xE=，yE=kxE+﹣k，…（12分）

又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k， 可得xF=

，yF=﹣kxF++k，…（13分）

∴直线EF的斜率kEF

=

=．

即直线EF的斜率为定值，其值为…（15分）

点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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