四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷(理科)

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四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共有10个小题,每题4分,共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.) 1.(4分)《几何原本》的作者是() A. 欧几里得 B. 阿基米德 C. 阿波罗尼奥斯 D.托勒玫 2.(4分)南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:根据表中数据,采用分层抽样的方法抽取的20人中,喜欢吃甜品的男、女生人数分别是() 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 60 20 80 男生 10 10 20 合计 70 30 100 A. 1,6 B. 2,12 C. 2,4 D.4,16 3.(4分)为了了解某同学的数学学习情况,对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()

A. 中位数为83 B. 众数为85 C. 平均数为85 D.方差为19 4.(4分)下列说法中正确的是() A. 随着试验次数增加,频率会越来越接近概率,因此频率就是概率. B. 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2名学生,每人被抽中概率为

C. 事件A,B至少有一个发生的概率不一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大 D. 若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B互为对立事件 5.(4分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为() A.

B.

C.

D.

6.(4分)已知双曲线

的右焦点F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点,A(x0,

2

y0)是C上一点,

|AF|=x0,则x0=()

A. 4 B. 6 C. 8 7.(4分)下列程序执行后输出的结果是()

D.16

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D.2 8.(4分)如图,分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()

A.

9.(4分)已知圆C1:(x﹣2)+(y﹣3)=1,圆C2:(x﹣3)+(y﹣4)=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为() A. 5

﹣4

B.

1

C. 6﹣2

D.

2

2

2

2

B.

C.

D.

10.(4分)设A为椭圆上一点,点A关于原点的对称点B,F为

椭圆的右焦点,且AF⊥BF

.若 A.

B.

C.

,则该椭圆离心率的取值范围为()

D.

二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.) 11.(4分)空间直角坐标系中与点P(2,3,5)关于yOz平面对称的点为P′,则|PP′|=. 12.(4分)若直线y=ax﹣1(a为常数)与直线2ρ(cosθ+sinθ)=1平行,则a=.

13.(4分)如图,输出结果为.

14.(4分)已知双曲线

(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是. 15.(4分)给出下列结论: 动点M(x,y)分别到两定点(﹣3,0)、(3,0)连线的斜率之乘积为的轨迹为曲线C,F1、F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列命题中: (1)曲线C的焦点坐标为F1(﹣5,0)、F2(5,0); (2)若∠F1MF2=90°,则S

=32;

,设M(x,y)

(3)当x<0时,△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上; (4)设A(6,1),则|MA|+|MF2|的最小值为; 其中正确命题的序号是:.

三、解答题(本大题共4个小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(10分)南山中学2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数(精确到0.01); (2)从成绩介于两组的人中任取2人,求两人分别来自不同组的概率.

17.(10分)三角形的三个顶点是A(﹣4,0),B(2,4),C(0,3),点D为AB边所在直线上一点,

(1)求AB边的中线所在直线l的方程;

(2)若直线l是∠ACD的角平分线,求直线CD的方程.

18.(10分)已知圆x+y=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦, (1)当α=135°时,求弦AB的长;

(2)当弦AB被P0平分时,圆M经过点C(3,0)且与直线AB相切于点P0,求圆M的标准方程.

19.(10分)已知F1,F2分别为椭圆

=1(a>b>0)左、右焦点,点P(1,y0)在

2

2

椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6; (1)求椭圆的标准方程;

(2)E、F是曲线C上异于点P的两个动点,如果直线PE与直线PF的倾斜角互补,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共有10个小题,每题4分,共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.) 1.(4分)《几何原本》的作者是() A. 欧几里得 B. 阿基米德 C. 阿波罗尼奥斯 D.托勒玫

考点: 古希腊数学. 专题: 立体几何.

分析: 《几何原本》的作者是欧几里得即可得出. 解答: 解:《几何原本》的作者是欧几里得. 故选:A.

点评: 本题考查了数学史《几何原本》的作者,属于基础题. 2.(4分)南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:根据表中数据,采用分层抽样的方法抽取的20人中,喜欢吃甜品的男、女生人数分别是() 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 女生 60 20 80 男生 10 10 20 合计 70 30 100 A. 1,6 B. 2,12 C. 2,4 D.4,16

考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计.

分析: 先求出抽样比例是多少,再计算样本中喜欢吃甜食的男生人数与女生人数是多少. 解答: 解:根据题意,得;

抽取20人组成样本时的抽样比例是=,

∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2, 女生人数是60×=12.

故选:B.

点评: 本题考查了分层抽样方法的应用问题,也考查了识图、用图的能力,是基础题目. 3.(4分)为了了解某同学的数学学习情况,对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()

A. 中位数为83 B. 众数为85 C. 平均数为85 D.方差为19

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计.

分析: 根据茎叶图中的数据,计算数据的中位数、众数、平均数和方差即可.

解答: 解:根据茎叶图中的数据,得中位数是众数是83,∴B错误;

=84,∴A错误;

平均数是

方差是=19.7,∴D错误.

=85,∴C正确;

故选;C.

点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算,是基础题. 4.(4分)下列说法中正确的是() A. 随着试验次数增加,频率会越来越接近概率,因此频率就是概率. B. 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2名学生,每人被抽中概率为

C. 事件A,B至少有一个发生的概率不一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大 D. 若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B互为对立事件

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计.

分析: A,利用频率与概率的概念及其关系可判断A;

B,依题意,利用系统抽样的方法可求得每人被抽中概率为,从而可判断B;

C,举例说明,抛骰子,事件A={三点},事件B={四点},事件A,B至少有一个发生的概率为,事件A,B中恰有一个发生的概率也是,可判断C;

D,举例说明,a,b,c,d四个球,选中每个球的概率一样,P(A)为选中a、b两个球的概率:0.5,P(B)为选中b,c两个球的概率:0.5,满足P(A)+P(B)=1,但AB不对立,可判断D.

解答: 解:对于A,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率,但频率不是概率,故A错误;

对于B,要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2名学生,每人被抽中概率为

×

=

,故B错误;

对于C,举例说明,如抛骰子,事件A={三点},事件B={四点},事件A,B至少有一个发生的概率为P1==,事件A,B中恰有一个发生的概率P2=,二者相等,故C正确, 对于D,若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B互为对立事件,错误.

例如a,b,c,d四个球,选中每个球的概率一样,P(A)为选中a、b两个球的概率:0.5,P(B)为选中b,c两个球的概率:0.5,P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件. 综上所述,四个选项中说法正确的是C. 故选:C.

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查概率的概念、系统抽样、对立事件等概念的理解与应用,属于中档题. 5.(4分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为()

A. B.

C.

D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: 分别求出所有结果以及满足甲、乙两人相邻而站的结果,从而得到答案.

解答: 解:若甲、乙、丙三人随机地站成一排共甲、乙两人相邻而站有

种结果,

种结果,

∴P==,

故选:D.

点评: 本题考查了古典概型及其概率的计算公式,是一道基础题.

6.(4分)已知双曲线

的右焦点F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点,A(x0,

2

y0)是C上一点,

|AF|=x0,则x0=()

A. 4 B. 6 C. 8 D.16

考点: 双曲线的简单性质.

专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 求出双曲线的右焦点,即为抛物线的焦点,可得p=4,求出抛物线的准线方程,由抛物线的定义,解方程,即可得到所求值.

解答: 解:双曲线

2

的右焦点为(2,0),

抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为(,0), 则2=,解得,p=4. 则抛物线方程为y=8x,

准线方程为x=﹣2,

由抛物线的定义,可得|AF|=x0+2=x0,

解得,x0=8. 故选B.

点评: 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查抛物线的定义及运用,考查运算能力,属于基础题. 7.(4分)下列程序执行后输出的结果是()

2

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D.2

考点: 伪代码. 专题: 计算题.

分析: 该程序是一个当型循环结构.第一步:s=0+5=5,n=5﹣1=4;第二步:s=5+4=9,n=4﹣1=3;第三步:s=9+3=12,n=3﹣1=2;第四步:s=12+2=14,n=2﹣1=1;第五步:s=14+1=15,n=1﹣1=0.

解答: 解:该程序是一个当型循环结构. 第一步:s=0+5=5,n=5﹣1=4; 第二步:s=5+4=9,n=4﹣1=3; 第三步:s=9+3=12,n=3﹣1=2; 第四步:s=12+2=14,n=2﹣1=1; 第五步:s=14+1=15,n=1﹣1=0. ∵s=15,

∴结束循环. ∴n=0. 故选B;

点评: 本题考查当型循环结构,解题时要认真审题,仔细解答,熟练掌握当型循环结构的运算法则. 8.(4分)如图,分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.

分析: 由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件是矩形面积,而满足条件的阴影区域,可以通过空白区域面得到,空白区域可以看作是由8部分组成,每一部分是由

边长为 的正方形面积减去半径为

的四分之一圆的面积得到.

解答: 解:如图,由题意知本题是一个几何概型,设正方形ABCD的边长为2, ∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4, 空白区域的面积是2(4﹣π)=8﹣2π, ∴阴影区域的面积为4﹣(8﹣2π)=2π﹣4 ∴由几何概型公式得到P=故选B.

=

﹣1,

点评: 本题考查几何概型、等可能事件的概率,且把几何概型同几何图形的面积结合起来,几何概型和古典概型是高中必修中学习的,2015届高考时常以选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答.

9.(4分)已知圆C1:(x﹣2)+(y﹣3)=1,圆C2:(x﹣3)+(y﹣4)=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()

A. 5﹣4 B.

1 C. 6﹣2 D.

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;两点间的距离公式. 专题: 直线与圆.

分析: 求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.

2222

解答: 解:如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1, 圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和, 即:故选A.

=5

﹣4.

点评: 本题考查圆的对称圆的方程的求法,两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力.

10.(4分)设A为椭圆上一点,点A关于原点的对称点B,F为

椭圆的右焦点,且AF⊥BF

.若 A.

B.

C.

,则该椭圆离心率的取值范围为()

D.

考点: 椭圆的简单性质.

专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: 由题设条件结合椭圆的对称性推导出|AF|+|BF|=2a,|AB|=2c,设∠ABF=α,则能推导出2csinα+2ccosα=2a,由此能求出结果.

解答: 解:∵A为椭圆

∴B也在椭圆上, 设左焦点为F′,

根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a,

又∵|BF|=|AF′|,∴|AF|+|BF|=2a …①

∵O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c, 设∠ABF=α,则|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③

②③代入①,得2csinα+2ccosα=2a, ∴=即e=

, =

上一点,点A关于原点的对称点B,

∵α=∴∴∴

≤sin(α+

)≤1 .

,∴,

故选D.

点评: 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意椭圆的对称性的灵活运用,是中档题.

二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.) 11.(4分)空间直角坐标系中与点P(2,3,5)关于yOz平面对称的点为P′,则|PP′

考点: 空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标.

专题: 空间位置关系与距离.

分析: 根据关于yOz平面对称,x值变为相反数,求出P′的坐标,然后求解距离即可. 解答: 解:根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点, 可得点P(2,3,5)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P′:(﹣2,3,5). |PP′|=2+2=4. 故答案为:4.

点评: 本题考查空间向量的坐标的概念,考查空间点的对称点的坐标的求法,距离公式的应用,属于基础题. 12.(4分)若直线y=ax﹣1(a为常数)与直线2ρ(cosθ+sinθ)=1平行,则a=

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步利用直线平行的充要条件求出结果.

解答: 解:直线2ρ(cosθ+sinθ)=1 转化成直角坐标方程为:2x+2y﹣1=0 所以直线的斜率为k=﹣1, 由于两直线平行 则:a=k=﹣1. 故答案为:﹣1

点评: 本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线平行的充要条件.属于基础题型. 13.(4分)如图,输出结果为

考点: 循环结构.

专题: 计算题;压轴题;概率与统计.

分析: 根据题意,i的初始值为1,S的初始值为0,该框图的含义是:判断S是否满足小于或等于20,当不满足条件时输出i的值.由此规律,将循环体执行4次后不满足条件,输出最后的i值.

解答: 解:第一步:S=0≤20,用i+2代替i,S+i代替S,得i=3,S=3; 第二步:S=3≤20,用i+2代替i,S+i代替S,得i=5,S=8;

第三步:S=8≤20,用i+2代替i,S+i代替S,得i=7,S=15; 第四步:S=15≤20,用i+2代替i,S+i代替S,得i=9,S=22; 第五步:S=22>20,输出最后一个i,将i=9输出 故答案为:9

点评: 本题给出一个循环结构的框图,求输出的最后结果.着重考查了算法的一般原理和循环结构的理解等知识,属于基础题.

14.(4分)已知双曲线

(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是 ∴e≥2, 故答案为:,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数(精确到0.01); (2)从成绩介于两组的人中任取2人,求两人分别来自不同组的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计.

分析: (1)由频率分布直方图能求出众数落在第三组组有3人; 设

分析: (1)利用点P(1,y0)在椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6,求出a,b,c,即可求椭圆的标准方程;

(2)设直线PE方程代入椭圆方程,得(3+4k)x+4k(3﹣2k)x+4(﹣k)﹣12=0,求出E,F的坐标,由此能证明直线EF的斜率为定值.

解答: 解:(1)由题意,F1(﹣1,0),F2(1,0),c=1,…(1分) C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…(2分) ∴

∴椭圆方程为

…(3分)

…(4分)

2

2

2

(2)由(1)知,设直线PE方程:得y=k(x﹣1)+,代入,

得(3+4k)x+4k(3﹣2k)x+4(﹣k)﹣12=0…(6分) 设E(xE,yE),F(xF,yF). ∵点P(1,)在椭圆上,

222

∴xE=,yE=kxE+﹣k,…(12分)

又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数,在上式中以﹣k代k, 可得xF=

,yF=﹣kxF++k,…(13分)

∴直线EF的斜率kEF

=

=.

即直线EF的斜率为定值,其值为…(15分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线EF的斜率为定值的证明,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/yo2j.html

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