线性代数 相似矩阵及二次型 第三课时

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相似矩阵及二次型

线性代数相似矩阵及二次型 第3课时

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温故而知新相似矩阵： P 1 AP B 【定理3】 若n阶方阵A与 B相似，则：

相似矩阵及二次型

A E B E , A B , A B , R ( A ) R ( B ).

【定理4】A 与 相似 A 有 n 个线性无关的特征向量可逆矩阵P 是由相应的特征向量作为列向量构 成的.

.

【推论1】若n 阶方阵 A 的n 个特征值互不相等,则 A 与 相似 .【推论2】 方阵A与对角矩阵 相似 A的所有特征值的重数与 其对应的线性无关的特征向量的个数相等. 【推论3】 若 i是矩阵A的ki(i=1,2, …m, k1+k2+…+km=n)重特征值，则 A 与 对角矩阵 相似 R( A i E ) n k i

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§4 对称矩阵的相似对角化对称矩阵的特征值与特征向量 对称矩阵的正交相似对角化 问题与思考

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分析下面两个例子 0 1、判断 A 0 1 能否相似对角化. 0

相似矩阵及二次型

2、判断对称阵A是否可以对角化

2 A 1 1

1 2 1

1 1 2

由上节课的判别方法我们得到，第一小题的 方阵 A不能够对角化。而第二题的方阵A是 可以对角化的。注意：第二个A是实对称阵。 矩阵A是对称阵，它可对角化这个事实不是 偶然的，下面我们将证明这一规律。

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一、对称矩阵的特征值与特征向量 性质4 (1) 对称矩阵的特征值一定为实数；

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(2) 对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交

证明设A为n阶对称矩阵, 是A的特征方程的k重根， (3) 设 1、 2 是 对称矩阵 A的两个特征值, A 的秩 E R( A E 则矩阵 p 2 , 是对应的特征向量， ) n,从而对应特征 且 1 k 2 p1 , 值 恰有k 个线性无关的特征向量. p 1 = p1 , 则 A 因A对称，故： A p 2 = 2 p 2, 1 T T T T = ( 1 p1 ) = ( Ap 1 ) T = p 1 A T= p 1 A p1 1于是 1 pT 1

T 1

p 2 p Ap 2 p ( 2 p 2 ) 2 p p 2T 1T 1 T 1

T 即 (λ 1 λ 2 ) p 1 p 2 0 但 1 2,

故

p p2 0

即 p1 与 p 2正交.

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【例1】设矩阵A是3阶对称阵， A的特征值为 1,2,2,p 1 1 ,1, 0 与 p 2 0 ,T

1,

1

T

都是矩阵A 的属于特征值2的特征向量. 求A的属于特征值1的单位特征向量.

解 设

为A的属于特征值1的单位特征向量. 由题意可知 p 与 p 2 均与 p 正交， 1x2,

p x 1 ,

x3

T

即 [ p 1 , p ]=0, [

p2 , p

]=0, 又 || p || 1 解得: P 3 3 3 或P 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3

由前面得到: x1 x 2 0 x 2 x3 0 2 2 2 x1 x 2

x3 1

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二、对称矩阵的正交相似对角化使得： 1

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【定理7】 设A为 n 阶对称矩阵， 则必存在 n 阶正交矩阵P,P 1

AP

Λ

2

其中 1 , 2 , , n 是A的 n个特征值.

n

有此可见，对称矩阵A一定可以对角化，与之相似的 对角阵的对角线上的元素就是A的特征值，而正交矩 阵P是其对应的单位特征向量所组成。

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【证】 设A的所有互不相等的特征值为 1 , 2 , , s它们的重数依次是

r1 , r2 , , r s

( r1 r2 rs n )

由对称矩阵的特征值的性质可知 对应于特征值 i ( i 1 , 2 , , s ) 恰有

想想:它们的 和等于多少？

ri 个线性无关的特征向量，把它们标准正交化

即得 ri 个标准正交的特征向量. 由 r1 r2 rs n 知这样的特征向量共可得 n 个.. 由性质 (2)知： 这 n 个单位特征向量两两正交, 于是以它们为列向量 构成正交矩阵 P,得 1

P

1

AP

Λ

用数学归纳法也可证明

2

n

证毕.

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下面, 给出求正交矩阵P 的步骤 1、求对称矩阵A的全部特征值,即求解特征方程 事实上,做完这 | A E | 0 的全部根； 一步,就已经求 出A的相似对角 2、将每一个特征值分别代入 ( A E ) x 0 阵. 求出基础解系； 3、将基础解系正交规范化； 4、作正交矩阵P 1 n

2

5、 P

1

AP Λ

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三、例题分析例2 设 2 A 1 1 1 2 1

相似矩阵及二次型1 1 2 1 求一个正交矩阵P, 使 P AP 为对角阵.

2 1 1

1 2 1

1 1 2

解 (1)求特征值

A E

( 4 )( 1 )

2

故得特征值: 1 2 1 3 4 (2)求出基础解系——特征向量 当 1 2 1时, 由 ( A E ) x 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0

当 2 1 1

3 4 时，由1 1 1 0 0 2

1 1 1 得基础 0 0 . 解系: 1 1 2 1 0 0 0 1 0 1 得基础 1 . 解系: 0

3

1 1 1

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3、将基础解系正交规范化: η 2 ξ 2 将 1 , 2 正交化得 : 1 1 1 1 0

[ξ 1 ξ 2 ] [ξ 1 ξ 1 ]

η1

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再将 1 , 2 单位化得: 1 1 2 p1 η1 1 || η 1 || 2 0

1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1

1 1 6 p2 η2 1 || η 2 || 6 2

再将 3 单位化得: 1 1 3 p3 3 1 || 3 || 3 1

4、作正交矩阵P P 2 2 2 2 0 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3

5、对角阵

P

1

AP Λ

1

1

4

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做题中注意几个问题：

(1) 对称阵的重特征值对应的特征向量有多种 取法，故这里的可逆矩阵不唯一。(2)由于对称阵的不同特征值对应的特征向量是 相互正交的,在计算过程中应作为检查的内容,看 是否计算正确。 (3)对于二重特征值，需将其对应的两个线性无 关的特征向量进行正交，正交化后的向量仍是特 征向量。 想一想:为什么？

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例3 设n阶实称矩阵A的特征值都大于零， 1 证明: 因 A 是 对 称 矩 阵 ， 1 P AP 故存在正交阵P,使： 其中: i 是A 的特征值，由 条件知 i >0, ( i 1 , 2 , , n )

试证：

| E A | 1

2

n

1 则： P A

2

P n

-1

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故: | E A | 1 E

1 E P n

2

P 1 n

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1 1

| P |

2

|P

1

|

2 1

( 1 1 )( 2 1 ) ( n 1 )

n 1因A的特征值全大 于零

i 1 1, ( i 1,2 , , n )

故: | E A | 1

证毕.

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§5 二次型及其标准形一、二次型的定义及其矩阵

相似矩阵及二次型

1、定义：含有n个变量 x 1 , x 2 , , x n 的二次齐次函数2 2 2 f ( x 1 , x 2 , , x n ) a 11 x 1 a 22 x 2 a nn x n

2 a 12 x 1 x 2 2 a 13 x 1 x 3 2 a n 1 , n x n 1 x n

(1 )

称为 n元二次型，简称二次型.

注： 若

a ij 0 ( i j ), 则称二次型

f 为 标准形(或法式)

2 2 2 即形如： f k1 y1 k 2 y 2 k n y n

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2、二次型的矩阵表示 f x T Ax

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( 3)

令 a ij a ji , 则 2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i 则(1)式可写成: 2 f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n2

a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x

2 n

x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) a 11 x a 11a 12 x 212 a 1a 1x n a 1 n n a 21 x 1 a 21 22 x 222 a 2 n2x n a

a a n x (x 11,, x 2 ,2 x n ) x x n a n a x n 2 a a nn a xn nn a n1 x1 1 n 2 2 T

i , j 1

n

a ij x i x

j

(2)

x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) x1 x2 xn

X

A

X

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注：( 1 )、 A 为对称矩阵； 2 1 ( 2 )、称 A 为 f 的矩阵， f 为 A 的二次型； 对应的二次型 . 练习 : 求矩阵 A 1 3 ( 3 )、把矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩；

解：2

( 4 )、二次型2 2

-1 f 2 x1 13 x 2 2 x1 x 2

2

2

f 对称矩阵2

A.

例1:已知二次型：

f x1 3 x 2 x 3 4 x 4 2 x1 x 2 4 x1 x 3 8 x1 x 4 4 x 3 x 4 1 1 A 2 4 1 2 0 1 2 4 0 2 4

写出二次型的矩阵 A,并求出二次型的秩.设 解： f x T Ax 则: 3 0 0

不难求出R(A)=3,即二次型的秩为3.

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二、矩阵的合同

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1、定义 设给定两个n阶方阵A和B,如果存在可逆 矩阵P,使得: B P T AP则称矩阵A与矩阵B合同，或A、B是合同矩阵. (1) 矩阵P必须可逆; 说明： (2) 由定理7知，任一对称矩阵A,存在正交矩阵P, 1 T P AP P AP Λ 为对角阵 ; 使得: 因此，任一对称矩阵都与对角阵合同. (3)随着P的不同,与矩阵A合同的矩阵也不相同,即 合同矩阵不唯一. 2、方阵的合同有以下三条性质： (1) 自反性； 对称性； 传递性. (2) (3)

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三、化二次型为标准形

(1)问题的引入 对于二次型f x T Ax , 寻求一个可逆的线性变换 : x 1 c 11 y 1 c 12 y 2 c 1 n y n , x 2 c 21 y 1 c 22 y 2 c 2 n y n , (4) x c y c y c y . n1 1 n2 3 nn n n

相似矩阵及二次型 正交变换法 配方法

将二次型化为标准形,即:f k1 yf xT

2 1

k2 y

2 2

kn yT

2 n

也叫法式

令 C (c ij ) n n ( 4 )式变为 x Cy 代入 f x T Ax 有Ax ( Cy )T

A ( Cy ) y ( C

T

AC ) y

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