经典总结电磁感应（知识点 例题精析）：专题3：电磁感

专题三：电磁感应中的能量问题

1、求解电磁感应中能量问题的思路和方法. （1）分析回路，分清电源和外电路.

在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回

路就相当于电源，其余部分相当于外电路。

（2）分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化。如： 做功情况 滑动摩擦力做功 重力做功 克服安培力做功 安培力做正功 能量变化特点 有内能（热能）产生 重力势能必然发生变化 必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 电能转化为其他形式的能。安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能 （3）根据能量守恒列方程求解.

2、电能的三种求解思路. （1）利用电路特征求解.

在电磁感应现象中，若由于磁场变化或导体做切割磁感线运动产生的感应电动势和感应电流是恒定

的，则可通过电路知识求解。

（2）利用克服安培力做功求解.

电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。 （3）利用能量守恒定律求解.

① 电磁感应的过程是能量的转化和守恒的过程，其他形式能的减少量等于产生的电能。 ② 在较复杂的电磁感应现象中，经常涉及求解耳热的问题。尤其是变化的安培力，不能直接由Q=I2Rt

解，用能量守恒的方法就可以不必追究变力、变电流做功的具体细节，只需弄清能量的转化途径，注意分清有多少种形式的能在相互转化，用能量的转化与守恒定律就可求解，而用能量的转化与守恒观点，只需从全过程考虑，不涉及电流的产生过程，计算简便。这样用守恒定律求解的方法最大特点是省去许多细节，解题简捷、方便。

③ 含有电动机的电路中，电动机工作时线圈在磁场中转动引起磁通量的变化，就会产生感应电动

势，一般参考书上把这个电动势叫作反电动势，用E反表示。根据楞次定律这个感应电动势是阻碍电动机转动的，电流克服这个感应电动势作的功W?IE反就等于电动机可输出的机械能，这样电流对电动机作的功UIt?IE反t?Irt，（其中r是电动机的内电阻）这就是含有电动机的电路中电功不等于电热的原因。

【例1】如图所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为r0，金属棒ab的电阻不计。整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数。金属棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动，t=0时，金属棒ab与MN相距非常近。求：

越多努力越多奇迹 1 2

（1）当t=t0时，水平外力的大小F．

（2）同学们在求t=t0时刻闭合回路消耗的功率时，有两种不同的求法： 方法一：t=t0时刻闭合回路消耗的功率P=F·v． 方法二：由BId=F，得

M B v N b a F2RF2I? ，P?IR?22（其中R为回路总电阻）

BdBd这两种方法哪一种正确?请你做出判断，并简述理由．

解：（1）回路中的磁场变化和导体切割磁感线都产生感应电动势据题意，有

B?kt0

E总＝?BS?Bdv…………① ?t?BS?kdvt0…………② ?tEI?总…………③

R联立求解得E总＝2kdvt0…………④

R?2r0vt0…………⑤

kd得 I?…………⑥

r0所以，F?BId…………⑦

k2d2t0即 F?…………⑧

r0（2）方法一错，方法二对；

方法一认为闭合回路所消耗的能量全部来自于外力所做的功，而实际上磁场的变化也对闭合回路提供能量。方法二算出的I是电路的总电流，求出的是闭合回路消耗的总功率。

【例2】如图所示，一根电阻为R=0.6Ω的导线弯成一个圆形线圈，圆半径r=1m，圆形线圈质量m=1kg，此线圈放在绝缘光滑的水平面上，在y轴右侧有垂直于线圈平面B=0.5T的匀强磁场。若线圈以初动能E0=5J沿x轴方向滑进磁场，当进入磁场0.5m时，线圈中产生的电能为Ee=3J。求： （1）此时线圈的运动速度；

（2）此时线圈与磁场左边缘两交接点间的电压； （3）此时线圈加速度大小.

解:（1）设线圈的速度为v ，能量守恒，E0?Ee?212mv解得v=2m/s. 22（2）线圈切割磁感线的有效长度L?2r?(r)?电动势E?BLv?0.5?3?2V?3V 电流I?123m

y E3?A R总0.6x

越多努力越多奇迹 2

两点间电压U?IR左?23V 3（3）根据牛顿第二定律，知F=ma=BIL，则线圈加速度大小a=2.5m/s2 .

【例3】如图，ef、gh为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为L=1m，导轨左端连接一个R=2Ω的电阻，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感应强度为B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始向右运动。 （1）若施加的水平外力恒为F=8N，则金属棒达到的稳定速度v1是多少？

（2）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金属棒达到的稳定速度v2是多少？

（3）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金属棒从开始运动到速度v3=2m/s的过程中电阻R

产生的热量为8.6J，则该过程所需的时间是多少？ 解：（1）由E=BLv、I?2E和F=BIL得 R2BLvF?

R当F=8N时，代入数据解得v1=4m/s. （2）由F?e c F f BLv和P=Fv，得 R22g d h v2?PR BL12mv3?Q，得 2代入数据后解得v2=3m/s （3）根据能量守恒，有Pt?121mv3?Q?0.2?22?8.6t?2?2s?0.5s

P18

【例4】如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于倾角θ=30°的斜面上，导轨上、下端各接有阻值R=10Ω的电阻，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度L=2m，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T。质量为m=0.1kg，电阻r=5Ω的金属棒ab在较高处由静止释放，金属棒ab在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。当金属棒ab下滑高度h =3m时，速度恰好达到最大值v=2m/s。求：

（1）金属棒ab在以上运动过程中机械能的减少量；

（2）金属棒ab在以上运动过程中导轨下端电阻R中产生的热量．（g=10m/s2） 解：（1）杆ab机械能的减少量?E?mgh?12mv?2.8J……① 2B b θ R （2）速度最大时ab杆产生的电动势E =BLv= 2 V ……②

产生的电流I?R a h ERr?2?0.2A……③

此时的安培力F =BIL = 0.2N……④

越多努力越多奇迹 3

由题意可知，导体棒受的摩擦力大小为f = mgsin300-F = 0.3 N……⑤

由能量守恒得，损失的机械能等于物体克服摩擦力做功和产生的电热之和

fh?1J……⑥（注意：由f=μFN知整个过程中摩擦力大小保持不变）

sin30?Q?0.25J . 由以上各式得：下端电阻R中产生的热量QR?4电热Q??E?【例5】一个正方形线圈边长a=0.20m，共有n=100匝，其总电阻r=4.0Ω。线圈与阻值R=16Ω的外电阻连成闭合回路，如图甲所示。线圈所在区域存在着分布均匀但强弱随时间变化的磁场，磁场方

-2

向垂直线圈平面，其磁感应强度B的大不随时间作周期性变化的周期T=1.0×10s，如图乙所示，图

147象中t1?T，T2?T，t3?T、……。求： B/10-2T3335（1）0~t1时间内，通过电阻R的电荷量； a R t/10-2s B （2）t=1.0s内电通过电阻R所产生的热量；

2t330t11t2

（3）线圈中产生感应电流的有效值。

Bma2??解：（1）0~t1时间内的感应电动势E?n?n?60V

?tt1E?3.0A 通过电阻R的电流I1?R?r甲

乙

第（1）问也可直接用公式

q?n??计算.（见P15） R总所以在0~t1时间内通过R的电荷量q=I1t1=1.0×10-2C. （2）在一个周期内，电流通过电阻R产生热量

Q1?I12R?T?0.48J 3t1Q1??0.48J?48J . T0.0122在1.0s内电阻R产生的热量为Q?（3）设感应电流的有效值为I，则一个周期内电流产生的热量I1Rt1?IRT。

解得I?t1I1?3A（或1.73A）………（有效值的计算方法见第二章《交变电流》） T【例6】如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场。整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动。求： （1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v2； （2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；

B b （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的热量Q．

解：（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零。有

B2a2v2mg?f?

R解得v2=

a

(mg?f)R…………① 22Ba越多努力越多奇迹 4

（2）设线框离开磁场能上升的最大高度为h，则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中，有

12mv1………… ② 212(mg－f)×h=mv2………… ③

2(mg＋f)×h=

解得：v1?mg?f?v2?mg?f(mg?f)?(mg?f)B2a2?R

（3）在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律可得

11m(2v1)2?mv12?mg(b?a)?Q 223m(mg?f)(mg?f)R2?mg(b?a) 解得Q＝442Ba

【例7】两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动。设运动过程中金属细杆ab、cd与导轨接触良好。重力加速度为g。求：

（1）ab杆匀速运动的速度v1； （2）ab杆所受拉力F；

（3）ab杆以v1匀速运动时，cd杆以v2（v2已知）匀速运动，则在cd杆向下运动h过程中，整个回

路中产生的焦耳热为多少？ 解：（1）ab杆向右运动时，ab杆中产生的感应电动势方向为a→b，大小为E=BLv1，cd杆的感应电

流方向为d→c。cd杆受到的安培力方向水平向右

BLv1B2L2v1?安培力大小为F安?BIL?BL…… ① 2R2Rcd杆向下匀速运动，有mg??F安……② 联立①、②式，则ab杆匀速运动的速度为

v1?2Rmg…… ③

?B2L2B2L2v1mg1??2??mg???mg?()mg…… ④ （2）ab杆所受拉力F?F安??mg?2R??（3）设cd杆以v2速度向下运动h过程中，ab杆匀速运动了s距离

越多努力越多奇迹 5

sh??t v1v2得s?v1h . v2整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功

B2L2v1sB2L2v1v12(mg)2hR Q?F安s????h?2222R2Rv2?v2BL

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