湖南省娄底市2011中考数学试题答案及解析

湖南省娄底市2011中考数学试题答案及解析

一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1、（2011 娄底）﹣2011的相反数是（ ）

A、2011

B、﹣2011

C、

D、﹣

考点：相反数。 专题：计算题。

分析：根据相反数的意义，只有符号不同的数互为相反数． 解答：解：﹣2011的相反数是2011， 故选A．

点评：本题考查了相反数的概念．只有符号不同的数互为相反数，0的相反数为0． 2、（2011 娄底）2011年4月28日，国家统计局发布2010年第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示（保留3个有效数字）为（ ）

99

A、1.33×10人 B、1.34×10人

810

C、13.4×10人 D、1.34×10人 考点：科学记数法与有效数字。

n

分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

9

解答：解：1339724852=1.339724852≈1.34×10． 故选B．

点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 3、（2011 娄底）若|x﹣3|=x﹣3，则下列不等式成立的是（ ） A、x﹣3＞0 B、x﹣3＜0 C、x﹣3≥0 D、x﹣3≤0 考点：绝对值。 专题：常规题型。

分析：根据绝对值的意义，任何数的绝对值都是非负数，从结果入手直接得出答案． 解答：解：∵|x﹣3|=x﹣3， ∴x﹣3≥0． 故选：C．

点评：此题主要考查了绝对值的意义，从去绝对值后的结果入手分析是解决问题的关键．

4、（2011 娄底）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ） A、y1＜0＜y2 B、y2＜0＜y1 C、y1＜y2＜0 D、y2＜y1＜0 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点，横纵坐标的积=5，再根据条件x1＜0＜x2，可判断出y1＜0，y2＞0，从而得到答案．

解答：解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上，

∴x1 y1=5，x2 y2=5， ∵x1＜0＜x2， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2， 故选：A．

点评：此题主要考查了比例函数图象上点的坐标特点，凡是图象经过的点，都满足关系式，横纵坐标的积=k． 5、（2011 娄底）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）

A、80 B、50 C、30 D、20 考点：平行线的性质；三角形的外角性质。 专题：计算题。 分析：由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠3． 解答：解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°， 又∵∠CBD为△ABC的外角， ∴∠CBD=∠1+∠3， 即∠3=50°﹣30°=20°． 故选D．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系． 6、（2011 娄底）下列命题中，是真命题的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 考点：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。

分析：真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．

解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确． B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误． C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．

D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误． 故选A．

点评：本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能正确的判断正误． 7、（2011 娄底）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A、点A在圆外 B、点A在圆上 C、点A在圆内 D、不能确定 考点：点与圆的位置关系。

分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 解答：解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选：C．

点评：此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 8、（2011 娄底）如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（ ）

A、 B、考点：展开图折叠成几何体。

C、 D、

分析：根据圆锥侧面展开图的特点，直接可以得出答案．

解答：解：根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得出答案，故D不符合要求， 故选：D．

点评：此题主要考查了圆锥侧面展开图的性质，根据圆锥侧面展开图的性质得出是解决问题的关键． 9、（2011 娄底）因干旱影响，市政府号召全市居民节约用水．为了了解居民节约用水的情况，小张在某小区随机调查了五户居民家庭2011年5月份的用水量：6吨，7吨，9吨，8吨，10吨．则关于这五户居民家庭月用水量的下列说法中，错误的是（ ） A、平均数是8吨 B、中位数是9吨 C、极差是4吨 D、方差是2 考点：方差；算术平均数；中位数；极差。 专题：计算题。

分析：根据中位数、方差、平均数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、方差、平均数和极差．即可判断四个选项的正确与否．

解答：解：A、月用水量的平均数是8吨，正确； B、用水量的中位数是8吨，错误； C、用水量的极差是4吨，正确； D、用水量的方差是2，正确． 故选B．

点评：考查了中位数、方差、平均数和极差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 10、（2011 娄底）如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（

）

A、150cm B、104.5cm C、102.8cm D、102cm 考点：规律型：图形的变化类。

分析：根据已知可得两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8，3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2，以及60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59，得出答案即可． 解答：解：∵根据图形可得出： 两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8， 3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2， 4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3， ∴60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59=102.8， 故选：C．

点评：此题主要考查了图形的变化类，根据题意得出60节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键．

二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题4分，满分32分） 11、（2011 娄底）计算：﹣2×

= ﹣6 ．

考点：实数的运算。

分析：首先将二次根式化简，再进行相乘运算得出答案． 解答：解：﹣2×

=﹣2×3=﹣6，

故答案为：﹣6．

点评：此题主要考查了实数的运算，将二次根式化简正确是解决问题的关键． 12、（2011 娄底）不等式组考点：解一元一次不等式组。 专题：计算题。

的解集是．

分析：此题可通过对不等式组里的两个一元一次不等式求解，再写出两个不等式的公共解集． 解答：解：由题意解不等式组得：

，

则不等式组的解集为：2＜x≤4． 故答案为：2＜x≤4．

点评：本题考查了不等式组解集的求法，可通过解每一个不等式后再求公共解得出．求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

2

13、（2011 娄底）如果方程x+2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 1 ． 考点：根的判别式。

专题：计算题；方程思想。

2

分析：由于方程x+2x+a=0有两个相等的实数根，由此得到方程的判别式为0，由此可以得到关于a的方程，解方程即可求解．

2

解答：解：∵方程x+2x+a=0有两个相等的实数根，

2∴△=2﹣4a=0， ∴a=1．

故答案为：1．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式，利用方程的判别式与一元二次方程的根的关系得到关于a的方程是解题的关键． 14、（2010 红河州）一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第 三 象限． 考点：一次函数的性质。

分析：根据一次函数的性质容易得出结论．

解答：解：因为解析式

y=﹣3x+2中，﹣3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限． 点评：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 15、（2011 娄底）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD= 2 ． 考点：两点间的距离。

分析：根据AB=12，AC=8，求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得出CD=BD即可得出答案． 解答：解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=4， ∵点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点， ∴CD=BD=2， 故答案为：2．

点评：此题主要考查了两点距离求法，根据已知求出BC=4是解决问题的关键． 16、（2011 娄底）如图，△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，则∠BOC=．

考点：圆周角定理。

分析：直接利用圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直接得出答案．

解答：解：∵△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，∴∠BOC=110°， 故答案为：110°．

点评：此题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解决问题的关键．

17、（2011 娄底）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=，则△ABC

的面积是 12 cm．

2

考点：解直角三角形。

分析：根据锐角三角函数关系tanB==

=

，求出AC的长，再利用直角三角形面积求法求出即可．

解答：解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=， ∴tanB==∴AC=6，

∴△ABC的面积是：×4×6=12．

故答案为：

12．

点评：此题主要考查了解直角三角形，利用已知锐角三角函数关系求出AC的长是解决问题的关键． 18、（2011 娄底）如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是．

=

，

考点：列表法与树状图法。 专题：计算题。

分析：根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合C时才发光，所以小灯泡发光的概率等于．

解答：解：根据题意，三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于． 故答案为．

点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题7分，满分21分） 19、（2011 娄底）先化简：（

）÷

．再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a

的值代入求值．

考点：分式的化简求值。 专题：开放型。 分析：括号里通分，，除式的分母因式分解，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使分母、除式为0．

解答：解：原式=

==

．

∵a≠1，a≠﹣1，a≠0． ∴在1，2，3中，a只能取2或3． 当a=2时，原式=． 当a=3时，原式=．

注：在a=2，a=3中任选一个算对即可．

点评：本题考查了分式的化简求值．关键是根据分式混合运算的顺序解题，代值时，字母的取值不能使分母、除式为0． 20、（2011 娄底）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．（最后结果精确到1米．已知：

≈1.414，

≈1.732，

≈2.449，供选用）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题。

x，即可得出

分析：根据由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，利用BD=x，

CD=x+

x=300，求出即可．

解答：解：如图，由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°． 在Rt△ABD中，BD=AD． 在Rt△ACD中，CD=

AD．

x．

设AD=x，则有BD=x，CD=依题意，得BD+CD=300， 即x+∴（1+∴x=

x=300， ）x=300， ≈110（米）．

答：河宽AD约为110米．

点评：此题主要考查了解直角三角形主要是方向角问题，正确记忆三角函数的定义表示出BD=x，CD=

x

是解决本题的关键． 21、（2011 娄底）2011年5月31日是第24 个世界无烟日，也是我国从5月1日开始在公共场所禁止吸烟满一个月的日子．为创建国家级卫生城市，搞好公共场所卫生管理，市育才实验学校九年级（1）班社会实践小组对某社区居民开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请根据以上条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题： （1）九年级（1）班社会实践小组一共调查了 200 名社区居民．

（2）扇形统计图中，表示支持“替代品戒烟”的扇形的圆心角的度数为 108° ． （3）请将条形统计图补充完整．

考点：条形统计图；扇形统计图。 分析：（1）总数=频数÷百分比，

（2）首先求出替代品戒烟所占的百分比，再利用360°×百分比=圆心角； （3）药物戒烟人数=总数×20%，计算出人数后再画出图形． 解答：解：（1）70÷35%=200， 故答案为：200； （2）（1﹣15%﹣35%﹣20%）×360°=108°， 故答案为：108°； （3）200×20%=40， 如下图：

点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，关键是同学们要会看统计图，能把两个图形结合起来看，充分考查了看图能力．

四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分） 22、（2011 娄底）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”． （1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求

“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？

（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． 考点：二元一次方程组的应用。 专题：方程思想。

分析：设“基本电价”和“提高电价”分别为x、y元/千瓦时，则根据4月份电费不变得出，80x+（100﹣80）y=68；由5月份电费不变得，80x+（120﹣80）y=88，列方程组求解．（2）由（1）得出的“基本电价”和“提高电价”求出6月份应上缴的电费． 解答：解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得

解之，得

答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． （2）80×0.6+（130﹣80）×1=98（元）．

答：预计小张家6月份上缴的电费为98元． 点评：此题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是理解明确上缴电费的计算方法，列方程组求解． 五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分9分） 23、（2011 娄底）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．

（1）线段A1C1的长度是 10 ，∠CBA1的度数是 135° ． （2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．

考点：旋转的性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，根据旋转的性质可以得到A1C1=AC，∠CBC1=90°，而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA1的度数； （2）由∠A1C1B=∠C1BC=90°可以得到A1C1∥BC，又A1C1=AC=BC，利用评选四边形的判定即可证明题目的问题． 解答：（1）解：∵将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1． ∴A1C1=10，∠CBC1=90°， 而△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A1BC1=45°， ∴∠CBA1=135°； 2）证明：∵∠A1C1B=∠C1BC=90°， ∴A1C1∥BC． 又∵A1C1=AC=BC， ∴四边形CBA1C1是平行四边形．

点评：此题主要考查了旋转的性质，也考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性质加减问题．

六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）

2

24、（2011 娄底）如图，已知二次函数y=﹣x+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）﹣x1x2=10． （1）求此二次函数的解析式．

（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；

（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 分析：（1）由根与系数的关系，得到x1和x2的关系式进而求出m的值，所以可求此二次函数的解析式；

2

（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C两点的坐标；把二次函数的解析式为y=﹣x+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标； （3）过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4﹣t），所以S=﹣t+10t=﹣（t﹣

2

）+

2

可求出四边形PCOH的面积S最大值．

解答：解：（1）由根与系数的关系，得

∵（x1+x2）﹣x1x2=10， ∴m+4m=10，m=2．

2

∴二次函数的解析式为y=﹣x+2x+8．

2

（2）由﹣x+2x+8=0，解得x1=﹣2，x2=4．

22

y=﹣x+2x+8=﹣（x﹣1）+9． ∴B，C，M的坐标分别为B（4，0），C（0，8），M（1，9）． （3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3． ∵OH=t（1＜t＜4），∴BH=4﹣t． 由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4﹣t）， ∴S=（PH+CO） OH =（12﹣3t+8）t =﹣t+10t（1＜t＜4）． S=﹣t+10t=﹣（t﹣∵1＜∴当t=

＜4．

时，S有最大值，其最大值为

．

22

）+

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 25、（2011 娄底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2

），B（﹣2，0）．

（1）求C，D两点的坐标． （2）求证：EF为⊙O1的切线．

（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y

轴的距离相等？如果存在，

请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰梯形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质。 专题：综合题。 分析：（1）连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标； （2）连接O1E，由半径O1E=O1C，得∠O1EC=∠O1CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC=∠DCB，故∠O1EC=∠ABC，可证O1E∥AB，由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可； （3）存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC=PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解． 解答：解：（1）连接DE，∵CD是⊙O1的直径， ∴DE⊥BC， ∴四边形ADEO为矩形． ∴OE=AD=2，DE=AO=2

．

在等腰梯形ABCD中，DC=AB． ∴CE=BO=2，CO=4． ∴C（4，0），D（2，2

）；

（2）连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C， ∠O1EC=∠O1CE，

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB． ∴O1E∥AB， 又∵EF⊥AB， ∴O1E⊥EF． ∵E在AB上， ∴EF为⊙O1的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P． 如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM， 在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x， tan∠ABO=

∴∠ABO=60°， ∴∠PCN=∠ABO=60°． 在Rt△PCN中， cos∠PCN=即∴x=．

，

，

．

∴PN=CN tan∠PCN=（4﹣） =． ）．

∴满足条件的P点的坐标为（，

解法二：存在满足条件的点P， 如右图，在Rt△AOB中，AB=

．

过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM， 在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x， ∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°． ∴△PNC∽△AOB， ∴解得x=．

又由△PNC∽△AOB，得∴PN=

．

）．

，

，即

．

∴满足条件的P点的坐标为（，

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ynfq.html