广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编6：等比数列

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编6：等比数列

一、选择题

1 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）等比数列{an}中a1?512,公比

1q??,记?n?a1?a2?2正数的个数是 （ ） A．1 B．2

?an(即?n表示数列{an}的前n项之积),?8 ,?9,?10,?11中值为

C．3

D．4

【答案】B等比数列{an}中a1?0,公比q?0,故奇数项为正数,偶数项为负数,

B．

∴?11?0,?10?0,?9?0,?8?0,选

2

2 ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）在正项等比数列{an}

中,a1和a19为方程x-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于 A．16 B．32 C．64 D．256

2

【答案】解:由已知有a1·a19=16,又a1·a19=a10,∴在正项等比数列中,a10=4.

3

∴a8·a10·a12=a10=64.选 C．

（ ）

3 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在等比数列{an}中,

已知a2?a3=1,a4?a5=2,则a8?a9等于 A．22 【答案】C

4 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）设等差数列

（ ）

D．16

B．4 C．8

?an?的公差

（ ）

d≠0,a1?4d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k?

A．3或 -1 【答案】C

B．3或1

C．3

D．1

5 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））等比数列{an}中,已知

a2?2,a6?8,则a4?

A．?4

【答案】D

6 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知等比数列

（ ）

C．?4

D．4

B．16

?an?中,各项都是正数,

（ ）

且a1,1a?aa3,2a2成等差数列,则89等于 2a6?a7B．1?2

C．3?22

D．3?22

A．1?2

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【答案】C

7 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）正项等比数列

{an}满足

a3?1,S3?13,bn?log3an,则数列{bn}的前10项和是

A．65

【答案】D

（ ）

D．?25

B．?65

C．25

8 ．（广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则

xyz等于 A．-4

【答案】

（ ）

B．?4 C．

C．?22

D．?22

9 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试数学（理）试题）记等比数列{an}的前n项和为Sn,

若a1?A．2

C．16

1,S?2,则S4? 22B．6 D．20

（ ）

1(1?q2)?2?1?q?3?q?3, 【答案】【解析】S2?21?q11(1?q4)(1?q2)S4?2?2?(1?q2)?2?10?20.故选D .

1?q1?q10．（2010年高考（广东理））已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和. 若a2?a3?2a1,且a4与2a7的

（ ）

等差中项为A．35

【答案】

5,则S5= 4B．33

C．31

D．29

C．设{an}的公比为q,则由等比数列的性质知,a2?a3?a1?a4?2a1,即a4?2.

由a4 与2a7的等差中项为∴q?二、填空题

35515151知,a4?2a7?2?,即a7?(2??a4)?(2??2)?. 442424411a71?,即q?.a4?a1q3?a1??2,即a1?16.

28a4811．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知等比数列{an}的公比q为正数,且

2,则q=________. a3?a9?2a5【答案】

2;

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12．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）等比数列{

an}

中,a1?a2?20,a3?a4?40,则a5?a6等于_________

【答案】解析:80

?a1?a1q?20452232,a?a?aq?aq?q(aq?aq)?80 ?q?2?25611113?a1q?a1q?40?a8?2,

13．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4S11=________.

【答案】11

14．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）等比数列{an}中,若a1?1,a4??4,2则a1?a2?【答案】2n?1?an?____________.

?1 2

15．（广东省惠州市2013届高三第三次（1月）调研考试数学（理）试题）在等比数列

?an?中,a1?1,公比q?2,

若?an?前n项和Sn?127,则n的值为________.

1?2n?2n?1?n?7.答案:7. 【答案】【解析】Sn?127?1?216．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）定义映射f:A?B,其中A?{(m,n)m,n?R},B?R,已知

对所有的有序正整数对(m,n)满足下述条件:①f(m,1)?1;②若n?m,f(m,n)?0; ③f(m?1,n)?n[f(m,n)?f(m,n?1)], 则f(2,2)?___,f(n,2)?___.

【答案】2

2n?2

解:根据定义得f(2,2)?f(1?1,2)?2[f(1,2)?f(1,1)]?2f(1,1)?2?1?2.

f(3,2)?f(2?1,2)?2[f(2,2)?f(2,1)]?2?(2?1)?6?23?2,

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

f(4,2)?f(3?1,2)?2[f(3,2)?f(3,1)]?2?(6?1)?14?24?2, f(5,2)?f(4?1,2)?2[f(4,2)?f(4,1)]?2?(14?1)?30?25?2,

所以根据归纳推理可知f(n,2)?2?2.

17．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知等差数列{an}的公差d?0,它

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n 的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是_________________. 【答案】3

18．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知{an}的前n项之和为Sn,a

1

=1, Sn = 2an+1,则Sn=______

【答案】()三、解答题

19．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知数列

32n?1

?an?,?bn?满

足:a1?0,b1?2013,且对任意n,an,an?1,bn和an?1,bn?1,bn均为等差数列. (1)求a2,b2的值;

(2)证明:?an?bn?和?an?2bn?均成等比数列;

(3)是否存在唯一的正整数c,使得an?c?bn恒成立?证明你的结论.

【答案】

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20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知数列{an}

中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,),且a1 ,a2 ,a3成公比不为1的等比数列. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式.

【答案】解:(I)a1=2, a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,

所以(2+c)=2(2+3c),解得c=0或c=2.

当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故c=2. (II)当n≥2时,由于 a2-a1=2, a3-a2=2×2,

2

an-an-1=2(n-1),

以上n-1个式叠加,得an-a1=2[1+2++(n-1)]=n(n-1).

2

? an=2+ n(n-1)=n-n+2 (n=2,3,).

2

当n=1时,上式也成立,故an=n-n+2 (n=1,2,3,)

21．（广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）在等比数列{an}中,已知a3?39,S3?. 22(1)求{an}的通项公式; (2)求和Sn?a1?2a2??nan.

32【答案】(1)解:由条件得:a1q?

29a1?a1q?a1q2?

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?1?q?2 q21?q?1或q??

233当q?1时,a1?,an?

221n?11当q??时,a1?6,an?6(?)

22所以

或解:当q?1时由条件得:

3?2aq???12?a(1?q3)9 ?1??2?1?q1?q332,即2q?3q?1?0 ?32q(1?q)1?(2q?1)(1?q)2?0 ?q??

2?a1?6

当q?1时,a1?所以

(2)当q?1时,Sn?3符合条件 23(1?2???n) 23n(n?1) 4101121n?11当q??时,Sn?6[(?)?2?(?)?3?(?)???n(?)]

2222211111??Sn?6[(?)?2?(?)2?3?(?)3???n(?)n]

2222231111?Sn?6[1?(?)?(?)2???(?)n?1?n(?)n] 2222211?(?)n32?n(?1)n] ?Sn?6[1221?2841?Sn??(3n?2)(?)n

332?[来源:学+科+网Z+X+X+K]22．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）(本小题满分14分)

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已知等差数列?an?满足a3?5,a5?2a2?3,又数列?bn?中,b1?3且

3bn?bn?1?0?n?N??.

(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;

(2)若数列?an?,?bn?的前n项和分别是Sn,Tn,且cn?(3)若Mn?9logmSn?2Tn?3?.求数列?cn?的前n项和Mn;

n3?m?0,且m?1?对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围. 4【答案】(本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方

法,以及运算求解能力)

解: ( 1)设等差数列?an?的公差为d,则由题设得:

??a1?2d?5 ???a1?4d?2?a1?d??3即??a1?2d?5?a1?1,解得?

?a?2d?3d?2??1[来源:学科网]?an?1??n?1??2?2n?1?n?N??

3bn?bn?1?0

?bn?1?3,?n?N?? bn?数列?bn?是以b1?3为首项,公比为3的等比数列 ?bn?3?3n?1?3n?n?N??.

n?1?2n?1??n2, (2)由(1)可得Sn?23?3n?31n?1Tn???3?3?.

1?32?cn?n2?3n?1?3?3?n?n?3n?1. ?cn?1?cn

?Mn?c1?c2?c3?Mn?1?32?2?33?3?34???n?1??3n?n?3n?1?1?

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3Mn?1?33?2?34?3?35???n?1??3n?1?n?3n?2?3n?1?n?3n?2

?2?

?1???2?得: ?2Mn?32?33?34?32?3n?1?3??n?3n?2

1?3?Mn9n???2n?1?3?1n?N????.?4?99n?1??2n?1?3?1?(3)Mn?1?Mn?????2n?1??3n?1????? 44?

?9?n?1??3n?0

Mn?1?Mn,?n?N??

?当n?1时, ?Mn取最小值,M1?9, ?9?9logm即logm3 43?1 43当m?1时,logm?1恒成立;

43当0?m?1时,由logm?1 ?logmm,

43得m? ,

43?0?m?.

43???实数m的取值范围是?m0?m?或m?1?

4??23．（广东省惠州市2013届高三一调(理数)）等差数列{an}中,a1?1,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均

为正数,b1?2,且s2?b2?7,s4?b3?2. (1)求an与bn; (2)设cn?a2n?11?, Tn?c1?c2?c3???cn 求证:Tn? (n?N). a2n2n【答案】解:(1)设等差数列

?an?的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

2由题知: s2?b2?7, s4?b3?2 ?d?2q?5,3d?q?1?0

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解直得,q=2或q=-8(舍去),d=1;

?an?1?(n?1)?n bn?2n;

(2)证明:?cn?a2n?12n?11352n?1,?cn? .Tn??????

2n2462na2n12n对一切正整数成立.

法一、 下面用数学归纳法证明Tn?(1)当n?1时，T1?12?1?1?,命题成立 22?1?Tk?(2)假设当n?k时命题成立，12k

?Tk?1?Tk?则当n?k?1时，2k?112k?112k?1?=

2(k?1)2k2(k?1)2k?12kk?114k2?4k?1=,这就是说当n?k?1时命题成立 ?24k?4k2k?12k?11综上所述原命题成立 法二、??Tn2n?1n? n?2n?11133552n?12n?11123452n?22n?11????????????????? 2244662n2n2234562n?12n4n?Tn?12n

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

法三、设数列?An?,An?nTn,则An?1?n?1Tn?1

4n2?4n?1?1 24n?4n1 2A(2n?1)n?12n?1?n?1???An2(n?1)n2n?1n?数列?An?单调递增,于是An?An?1???A1,而A1??Tn?12n

24．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）设数列

?an?的前

n项和为Sn,且满足

S1=2,Sn+1=3Sn+2?n?1,2,3?.

(I)求证:数列Sn+1为等比数列;

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{} (Ⅱ)设bn?an,求证:b1?b2?...?bn?1. 2Sn=3Sn+2,∴Sn+1+1=3(Sn+1),

【答案】证明:(Ⅰ)?Sn+1又?S1+1=3,

∴{Sn+1}是首项为3,公比为3的等比数列,且Sn?3n?1,n?N*

(Ⅱ)当n=1时,a1=S1=2,

当n?2时,an?Sn?Sn?1?(3n?1)?(3n?1?1) ?3故an?2?3n?1,n?N*

n?1(3?1) ?2?3n?1.

2?3n?12?3n?111bn?n???,?n?2?

(3?1)2(3n?1?1)(3n?1)3n?1?13n?1?b1?b2?...?bn??1111111?(1?2)?(2?3)?????(n?1?n) 23?13?13?13?13?13?1111??n?1 223?125．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）已知有两个数列{an},{bn},它们

的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值,18,S2m=728,又Tn?2n2 (I)求数列{an},{bn}的通项公式.

(II)若数列{cn}满足cn?bnan,求数列{cn}的前n项和Pn.

【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

?an?的公比为q ,

an?0 , ?q?0

若q=1时 Sm?ma1 S2m?2ma1 此时2Sm?S2m 而已知 Sm?26 S2m?728

?2Sm?S2m , ?q?1

?a1?1?qm???26?1?S?26?m?1?q由? 得 ?

2mS?728?m?a1?1?q??728?2???1?q无限精彩在大家 www.TopSage.com

?1???2?得: 1?qm?28 ?qm?27

?q?1 ?前m项中am最大 ?am?18

即 a1qm?1a1qm?118a22 ?1? ?18 ?m??3?即a1?q

q273q32q?1?27?2m3把a1?q及q?27代入(1)式得 ?26 1?q3解得q=3 把q=3代入a1?由Tn?2n2 (1) 当n=1时 b1?T1?2

(2) 当 n?2时 bn?Tn?Tn?1?2n?2?n?1??2n?2n?2n?1?4n?2

22222q得a1?2,所以 an?2?3n?1 3??b1?2适合

上式 ?bn?4n?2

(Ⅱ)由(1) an?2?3n?1 , bn?4n?2 ?cn?(4n?2)?2?3n?1?4(2n?1)?3n?1 记dn?(2n?1)?3n?1,dn的前n项和为Qn,显然Pn?4Qn

Qn?d1?d2?d3?.......?dn?1?30?3?31?5?32?......?(2n?1)?3n?1....① ?3Qn?d1?d2?d3?.......?dn?1?31?3?32?5?33?......?(2n?1)?3n ..②

①-② 得:-2Qn=1?2?3?2?3?2?3?........2?3123n?1?(2n?1)?3n

3(1?3n?1)=1?2??(2n?1)?3n=?2?(2n?2)?3n

1?3?4Qn?4(n?1)?3n?4,即Pn?4(n?1)?3n?4

26．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）数列

?an?的前n项和为

Sn?2n?1?2,数列?bn?是首项为a1,公差为d(d?0)的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.

(1)求数列?an?与?bn?的通项公式;(2)设cn?【答案】解析:(1)当n?2,时anbn,求数列?cn?的前n项和Tn. an?Sn?Sn?1?2n?1?2n?2n,

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又a1?11?S1?2?2?2?21,也满足上式,

所以数列{an}的通项公式为an?2n [来源:Z.xx.k.Com]

b1?a1?2,设公差为d,则由b1,b3,b11成等比数列,

得(2?2d)2?2?(2?10d), [来源:学科网ZXXK]

解得d?0(舍去)或d?3,

所以数列{bn}的通项公式为bn?3n?1 (2)由(1)可得Tb2b3n?b1a????bn1a2a3a?25?81?23??3n?1n2222n, -----------2T?3n?1n?2?521?822?2n?1, 两式式相减得

T3333n?2?21?22??2n?1?n?12n, 3(1?1n?1)T3n?13n?n?2?22?51?12n?5?2n,

2

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