2011年湖北省宜昌市中考数学试题（WORD解析版）

2011年湖北省宜昌市中考数学试卷—解析版

一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每小题3分，计45分） 1、（2011?宜昌）如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（ ）

A、轴对称性

B、用字母表示数

C、随机性 D、数形结合 考点：生活中的轴对称现象。

分析：根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．

解答：解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性． 故选A．

点评：此题主要考查了轴对称的应用，根据图形得出一种数学美，有利于同学们的生活的喜爱以及数学与生活之间的联系． 2、（2011?宜昌）如果用+0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（ ）

A、+0.02克 B、﹣0.02克 C、0克 D、+0.04克

考点：正数和负数。

分析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答

解答：解：根据题意可得：超出标准质量记为+，所以低于标准质量记为：﹣， 因此，低于标准质量0.02克记为﹣0.02克． 故选B．

点评：此题主要考查了正负数表示的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、（2011?宜昌）要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）

A、在某校九年级选取50名女生 C、在某校九年级选取50名学生

B、在某校九年级选取50名男生

D、在城区8000名九年级学生中随机选取50

名学生

考点：全面调查与抽样调查。

专题：分类讨论。 分析：本题需要根据具体情况正确选择普查或抽样调查等方法，并理解有些调查是不适合使用普查方法的．要选择调查方式，需将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来具体分析．

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解答：解：要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，就对所有学生进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可．考虑到抽样的全面性， 所以应在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生． 故选D． 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4、（2011?宜昌）我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记数法表示，正确的是（ ）

A、0.34×105

5

B、3.4×105

5

C、34×10 D、340×10 考点：科学记数法—表示较大的数。

分析：科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．

解答：解：数据34万用科学记数法表示为3.4×105． 故选B．

点评：本题考查了用科学记数法表示一个数，方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）． 5、（2011?宜昌）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）

A、a＜b C、a＞b

B、a=b D、ab＞0

考点：实数大小比较；实数与数轴。 专题：存在型。

分析：根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号，再比较出其大小即可． 解答：解：∵b在原点左侧，a在原点右侧， ∴b＜0，a＞0，

∴a＞b，故A、B错误，C正确； ∵a、b异号， ∴ab＜0，故D错误． 故选C．

点评：本题考查的是实数大小比较及数轴的特点，熟知数轴上各数的特点是解答此题的关键． 6、（2011?宜昌）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）

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A、越来越小 C、大小不变

B、越来越大 D、不能确定

考点：中心投影。

分析：解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影．根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中心投影的特点，从而得出答案． 解答：解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大影子才越大． 故选：B．

点评：此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长； ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 7、（2011?宜昌）下列计算正确的是（ ）

A、3a﹣a=3 B、2a?a=a C、（3a）2=2a6 D、2a÷a=2

考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

解答：解：A、3a﹣a=（3﹣1）a=2a，故此选项错误； B、2a?a=2a，故此选项错误； C、（3a）2=9a2，故此选项错误； D、2a÷a=2，故此选项正确． 故选D．

点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

8、（2011?宜昌）一个圆锥体按如图所示摆放，它的主视图是（ ）

3

4

3

6

A、 B、

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C、 D、考点：简单几何体的三视图。 专题：几何图形问题。

分析：找到圆锥体从前面看所得到的图形即可． 解答：解：圆锥体的主视图是一个三角形．

故选A．

点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的前面看得到的视图．

9、（2011?宜昌）按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径04=3，圆心角∠AOB=120°，则

的长为（ ）

A、π

B、2π

C、3π D、4π 考点：弧长的计算。 专题：常规题型。 分析：弧长的计算公式为

，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．

解答：解：==2π．

故选B．

点评：本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算． 10、（2011?宜昌）下列说法正确的是（ ） A、若明天降水概率为50%，那么明天一定会降水

B、任意掷一枚均匀的1元硬币，

D、本试卷共24小题

一定是正面朝上 C、任意时刻打开电视，都正在播放动画片《喜洋洋》 考点：概率的意义。

分析：利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析． 解答：解：A，，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以降水概率为50%，那么明天也不一定会降水，故此选项错误；

B，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项B很明显不一定能发生，有可能反面朝上，故此选项错误；

C，必然事件是一定会发生的事件，则对于选项C很明显不一定能发生，故此选项错误； D，此试卷确实共24小题，所以是必然事件，故此选项正确．

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故选D．

点评：此题主要考查了概率的意义，解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念． 11、（2011?宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=BC的长为（ ）

，则边

A、30

cm

B、20

cm

C、10cm D、5cm

考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值。 专题：计算题。

分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．

解答：解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知： tan∠BAC=

，又AC=30cm，tan∠BAC=

，

则BC=ACtan∠BAC=30×故选C．

=10cm．

点评：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活． 12、（2011?宜昌）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（ ）

A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF

考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定与性质。

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专题：计算题。

分析：利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论． 解答：解：连接BD， ∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴HEGE=BD，

∴四边形HEFG是平行四边形， ∴∠HGF=∠HEF， 故选D．

点评：本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形．

13、（2011?宜昌）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（ ）

A、（2，1） B、（﹣2，1） C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣l） 考点：坐标与图形变化-旋转。

分析：将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°，就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°，求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可． 解答：解：∵点B的坐标是（2，1）， ∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）． 故选C．

点评：此题主要考查了旋转变换，本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，充分利用网格的辅助解题．

14、（2011?宜昌）夷昌中学开展“阳光体育活动”，九年级一班全体同学在2011年4月18日16时分别参加了巴山舞、乒乓球、篮球三个项目的活动，陈老师在此时统计了该班正在参加这三项活动的人数，并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据这两个统计图，可以知道此时该班正在参加乒乓球活动的人数是（ ）

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A、50 C、15

B、25 D、10

考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图。

分析：从直方图可知，参加巴山舞的有25人，从扇形图可知巴山舞占总体的50%，从而可求出总人数，总人数减去参加巴山舞的人数，减去篮球的人数即为所求． 解答：解：25÷50%=50（人）， 50﹣25﹣10=15（人）．

参加乒乓球的人数为15人．

故选C．

点评：本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，直方图告诉每组里面的具体数，扇形图说明的是部分占整体的百分比，从而根据所给的数据求出总体或部分． 15、（2011?宜昌）如图，直线y=x+2与双曲线y=取值范围在数轴上表示为（ ）

在第二象限有两个交点，那么m的

A、 B、

C、 D、

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。

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分析：因为直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取

值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围． 解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=

在第二象限有两个交点，

即x+2=

2

有两根，

即x+2x+3﹣m=0有两解， △=4﹣4×（3﹣m）＞0， 解得m＞2， ∵双曲线在二、四象限， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3，

∴m的取值范围为：2＜m＜3．

故在数轴上表示为故选B．

．

点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m的取值范围．

二、解答题（请将解答结果书写在答题卡上指定的位置．本大题共9小题，16?19每小题7分，20～21每小题7分，22?23每小题7分，24题11分，合计75分） 16、（2011?宜昌）先将代数式适当的数作为x的值代入求值． 考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：根据本题须先对要求的式子进行化简，再选取一个数代入即可求出结果． 解答：解：原式=x（x+1）×

=x，

化简，再从﹣1，1两数中选取一个

当x=﹣1时，分母为0，分式无意义，故不满足， 当x=1时，成立，代数式的值为1．

故答案为：1．

点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行化简，再约分，注意分母不能为0，难度适中． 17、（2011?宜昌）解方程组考点：解二元一次方程组。

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．

专题：计算题。

分析：观察方程组的两方程，发现y的系数互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，把两方程左右两边相加即可消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值，把x的值代入原方程组中的任一个方程中即可求出y的值，联立求出的x与y的值即为原方程组的解． 解答：解：①+②得：3x=3， 解得x=1，

把x=1代入①得：y=0， ∴原方程组的解为

．

，

点评：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有两种：代入消元法和加减消元法，其目的都是消元，将二元一次方程转化为一元一次方程来解．学生应注意二元一次方程组解的写法． 18、（2011?宜昌）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．

（1）证明：∠DFA=∠FAB； （2）证明：△ABE≌△FCE．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。

分析：（1）利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等；

（2）利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形全等． 解答：证明：（1）∵在平行四边形ABCD中， ∴DF∥AB， ∴∠DFA=∠FAB；

（2）∵E为BC中点， ∴EC=EB， ∴在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE． 点评：此题主要考查平行四边形的性质和判定以及全等三角形的证明，使学生能够灵活运用

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平行四边形知识解决有关问题．

19、（2011?宜昌）某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随若时间x（年）逐年成直线上升，y 与x之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式；

（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？

考点：一次函数的应用。 专题：应用题。

分析：（1）根据函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式利用待定系数法求得函数的解析式即可；

（2）将2011代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可． 解答：解：由图象可知函数图象经过点（2008，4）和（2010，6） 设函数的解析式为：y=kx+b ∴

解得，

∴y与x之间的关系式为y=x﹣2004；

（2）令x=2011，

∴y=2011﹣2004=7， ∴该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为7吨．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型，利用一次函数的知识解决实际问题．

20、（2011?宜昌）如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．

（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；

（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）

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考点：正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平面镶嵌（密铺）；几何概率。 专题：计算题。

分析：（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BDBC，由勾股定理求出AD=

，

根据△ABC的面积是BC?AD代入即可求出答案；

（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率． 解答：（1）解：过A作AD⊥BC于D， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴BD=CD=BC=，

在△BDA中由勾股定理得：AD==，

∴△ABC的面积是BC?AD=×1×=，

答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是．

（2）解：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是1×1=1， 连接OA、OB， ∵图形是正六边形，

∴△OAB是等边三角形，且边长是1，即等边三角形的面积是

，

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∴正六边形的面积是6×=，

∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是

答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.35．

≈0.35，

点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．

21、（2011?宜昌）如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO=CO，BC∥EF． （1）证明：AB=AC；

（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；

（3）当AB=5，BC=6时，连接BE，若∠ABE=90°，求AE的长．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心。 分析：（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB=AC； （2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB=OC，又由AO=CO，则可得AO=BO=CO，则问题得证；

（3）首先求得AD的长，又由△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的长．

解答：证明：（1）∵D是△ABC的边BC的中点， ∴BD=CD，

∵BC∥EF，AD⊥EF， ∴AD⊥BC， ∴AB=AC；

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（2）∵BD=CD，AD⊥BC， ∴BO=CO， ∵AO=CO， ∴AO=BO=CO，

∴点O是△ABC的外接圆的圆心；

（3）连接BE，

∵AB=5，BC=6，AD⊥BC，BD=CD， ∴BD=BC=3，

∴在Rt△ABD中，AD=4， ∵∠ABE=∠ADB=90°，∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴

，

即，

∴AE=．

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点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内接圆的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合较强，但难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．

22、（2011?宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长． （1）尹进2011年的月工资为多少？

（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？ 考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。 专题：应用题。

分析：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．

（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可． 解答：解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程： 2000（1+x）2=2420，

解得：x1=10%，x2=﹣210%． ∵增产率不能是负数， ∴﹣210%要舍去．

尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．

故尹进2011年的月工资为2662元；

（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：

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由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242， 把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242， ∴y+z=22﹣1=21．（9分） 21+2=23本．

答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．

点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．

23、（2011?宜昌）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；作图—复杂作图。 专题：探究型。 分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心； （2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．

解答：解：（1）如图所示： ①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H； ②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD； ③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．

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（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC的顶点）

∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；

如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上， ∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，这时⊙P的面积就是S的最大值， ∵∠A=∠A，∠BCA=∠AEP=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△APE， ∴∠PAB=∠PEC， ∵AC=1，C=2， ∴AB=

，设PC=x，则PA=AC﹣PC=1﹣x，PC=PE，

∴1﹣

x=x2，

∴x=22﹣；

②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则2﹣

x=y1，

∴y=21+；

③如图4，同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，则2﹣z2=z1， ∴z=23，

由①、②、③可知， ∵

＞2，

∴+2＞+1＞3，

∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，

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∴23＞21+＞22+，

∴z＞y＞x， ∴⊙P的面积S的最大值为49π．

点评：本题考查的是切线的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再利用数形结合及切线的性质进行解答．

24、（2011?宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0． （1）求c的值；

（2）设抛物线y=ax+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1?x2的值； （3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值．

2

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

分析：（1）把点（0，﹣）代入抛物线可以求出c的值．

（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1?x2的值． （3）抛物线y=x2+bx﹣的顶点（﹣，﹣﹣

），当b＜0时，x=﹣1时y的值大；当b＞

0时，x=1时y的值大．然后比较x=﹣1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值．

解答：解：（1）把点（0，﹣）代入抛物线，得：c=﹣；

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（2）把点（0，﹣）代入直线得：n=﹣． 把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，得： a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c=m2﹣mb+n ∵c=n=﹣，

∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）=m2﹣mb， am﹣2abm+ab+bm﹣b﹣m+mb=0

（a﹣1）m2﹣（a﹣1）?2bm+（a﹣1）b2=0

（a﹣1）（m﹣2bm+b）=0 （a﹣1）（m﹣b）2=0 ∴a=1，

当m﹣b=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m≠b． 把a=1，c=﹣代入抛物线有：

2

2

2

2

2

2

y=x2+bx﹣，

当y=0时，x2+bx﹣=0，

∴x1?x2=﹣；

（3）y=x2+bx﹣，顶点（﹣，﹣﹣

）

当b≤0时，x=﹣1时，y=﹣b，

比较﹣b与+的大小，得到：

﹣4≤b≤0时，﹣b≥+，

所以当b=0时，|y0|的最小值为．

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b≤﹣4时，﹣b≤+，

所以当b=﹣4时，|y0|的最小值为．

当b≥0时，x=1时，y=+b，

比较+b与+的大小，得到：

0≤b≤4时，+b≥+，

所以当b=0时，|y0|的最小值为．

b≥4时，+b≤+，

所以当b=4时，|y0|的最小值为．

故|y0|的最小值为或．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值．（2）结合一元二次方程的解确定x1?x2的值．（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值．

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