不定积分习题与答案

不定积分 （Ａ）

１、求下列不定积分

dx１）?x2 ２）?dxx2x ３）?(x?2)2dx ４）?x21?x2dx

2?3x?5?2xcos2５）?3xdxxdx ６）?cos2xsin2x

31７）?(2ex?x)dx(1? ８）?x2)xxdx

２、求下列不定积分（第一换元法）

3dx１）

?(3?2x)dx

２）

?32?3x

３）

?sinttdtdx ４）?xlnxln(lnx)

dx５）?cosxsinx ６）?dxex?e?x ７）?xcos(x2)dx3x3dx ８）?1?x4 sinxcosxdx９）?3 10）?1?x9?4x2dx

dx11）?2x2?1 12）?cos3xdx 13)?sin2xcos3xdx

14)?tan3xsecxdx

x3115) ?9?x2dx 16)?3cos2x?4sin2xdx

2arccosxx17)?101?x2dx 18)

?arctanx(1?x)dx

1

3、求下列不定积分（第二换元法）

１）

?x??11?x22dx ２）

?sinxdx

３）

x?4dx?a2?x2dx,(a?0)x ４） dx(x2?1)3 ６）

x2５）?1??dx2x dx７）

?x?dx1?x2 ８）1?1?x2

４、求下列不定积分（分部积分法） １）

?xsinxdx ２）?arcsinxdx

2x?2xesindxxlnxdx??2３） ４）

５）

2x?arctanxdx ６）

2x?cosxdx

７）

?ln2xdx ８）

?x2cos2xdx2

５、求下列不定积分（有理函数积分）

x3dx?x?3１）

2x?3dx2?x?3x?10２） dx?x(x2?1)3）

（Ｂ）

2(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1、一曲线通过点

方程。

3?2F(x)1?x2、已知一个函数的导函数为，且当x?1时函数值为2，试求此函数。

1 2

3、证明：若

?f(x)dx?F(x)?c，则

?1f(ax?b)dx?F(ax?b)?c,(a?0)a。

sinx4、设f(x)的一个原函数为x，求?xf?(x)dx。

5、求下列不定积分

cos2xdx１）?2 ２）?1?sin2xdx arctan1xx３）

?1?x2dxx1? ４）

?1?xdx ５）?dxx(x2?a2)(x2?b2)xdx ６）?2a?x

arctanxlnx?xe3dx7）

?x1?lnxdx 8）

(1?x2)2

（Ｃ）

求以下积分

x１）

?xeex?1dx 2)?dxsin(2x)?2sinx

arctanexx5dxdx３）?e2x ４）

?4x3?1 ５）?x5?xsinx8?1dx ６）?xcosxsinx?cosxdx

cos2x1?cosx５、（１）用倍角公式：

2?2

（２）注意cosx?sinx?0或cosx?sinx?0两种情况。

arctan1?arccotx,1（３）利用x1?x2dx??d(arccotx)。（４）先分子有理化，在分开作三角代换。

（５）化为部分分式之和后积分。

3

（６）可令x?2asint。

2（７）可令x?a?(b?a)sin2t,则

b?x?(b?a)cos2t。 （８）令1?lnx?t。 （９）分部积分后移项，整理。 （１０）凑earctanx后分部积分，再移项，整理。

tanx（１１）令

2?t。

?dxx?3（１２）变形为

x?2?(x?2)4x?3?2?t后，令x，

1?1?t21再由x?2，两端微分得(x?2)2dx?2tdt。

（Ｃ） u2),dx?2u1） 解：令u?ex?1x?ln(1?，则

1?u2du

1?u2)du?2uln(1?u2)?4u2?2所以原式?ln(?1?u2du

?2uln(1?u2)?4u?4arctanu?c

?2xex?1?4ex?1?4arctanex?1?c

2）解：方法一：

??dx1d(x)d(tanx)2sinx(1?cosx)?4?2sinxcos3x?14?2tanxcos2x原式222211?tan2x?24?d(tanx)?1tan2x?1lntanxtanx28242?c2

tanx方法二：令

2?t

4

方法三：变形为?sinxdx2(1?cos2x)(1?cosx)，然后令cosx?u

再化成部分分式积分。

??12?arctanexd(e?2x)3）解：原式

?1?2xd(ex?x)

2[earctane??e2x(1?e2x)]

??1[e?2xdu（令ex?u）

2arctanex??u2(1?u2)]

??12[e?2xarctanex??duduu2??1?u2] ??12?e?2xarctanex?e?x?arctanex??c

?1?x3d(x3)?1[?x3?1d(x3)?14）解：原式3?134x3?1?x?1d(x334x43)]31?1[?(x3?1)4d(x3?1)??(x3?1)?4d(x3? 31)]

73?4(x3?1)4?4(x3?1)4 219?c

x?x?31d(x2?x?2?5）解：原式?)x4?x?4dx?2?(x2?x?2)2?2，令u?x2?x?2

?1du12?u2?2?42lnu?2u?2?c

?1?142lnx4?2x2x4?2x2?1?c

?12sinxcosx?1?16）解：原式

2?sinx?cosxdx

?1(sin2?x?cosx)2sinx?cosxdx?12?1sinx?cosxdx

5

d(x???14)2(sinx?cosx)?122?sin(x??4) dcos(x??14)?2(sinx?cosx)?122?1?cos2(x??4)

?12(sinx?cosx)?111?42?[?]dcos(x?)1?cos(x??)1?cos(x??)4 441?cos(x??)?12(sinx?cosx)?142ln1?cos(x??4?c4)

6

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