2015-2016学年云南省昆明三中高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2015-2016学年云南省昆明三中高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题 1．集合

A x N 0 x 4

的真子集个数为（ ） ．．．

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【解析】试题分析：A x N 0 x 4 {1,2,3}，它的真子集分别为 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．一般一个集合中含有n个元素，则它的子集的个数为2个，真子集去掉它本身之后为2 1． 【考点】集合的关系：真子集． 2

．函数f(x)

n

n

ln(x 1)的定义域为（ ） A．(2, ) B．( 1,2) (2, ) C．( 1,2) D．【答案】C

【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足： 【考点】函数的定义域． 3

．设a log2

1,2

2 x 0

，所以x ( 1,2)．

x 1 0

b 30.01,c ln

，则（ ） 2

A．c a b B．a b c C．a c b D．b a c 【答案】A 【解析】试题分析：先和0比较

，

a log2 log21 0,b 30.01 0,c ln

ln1 0 2

得到c最小；再与1

比较a log2log22 1,

b 30.01 30，得到b最大．故选

A．

【考点】指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小． 4．在R上的偶函数f(x)满足：任意x1,x2 [0, )(x1 x2)，有（ ）

A．f(3) f( 2) f(1) B．f(1) f( 2) f(3) C．f( 2) f(1) f(3) D．f(3) f(1) f( 2) 【答案】A

f(x2) f(x1)

则 0．

x2 x1

【解析】试题分析：由

f(x2) f(x1)

0得分子分母异号，所以若x的值小，则对应

x2 x1

的y大，可得函数在[0, )为减函数．则f(3) f(2) f(1)，而函数为偶函数则

f( 2) f(2)．故选A．

【考点】函数单调性的定义、偶函数的定义． 5．函数f x ln(x 1)

2

的零点所在的大致区间是（ ） x

A．(0,1) B．(1,2) C．【答案】B

【解析】试题分析：

2,3 D． 3,4

，由零点存在性定理得

f 1 ln2 2 0

，

f 2 ln3 1 0

选B．

【考点】零点存在性定理． 6．函数

y x lnx

的大致图象是（ ）

【答案】D

【解析】试题分析：由选项得图象具有对称性，与函数的奇偶性有关， 而

f( x) f(x)，所以函数为奇函数，所以图象关于原点对称，应从C，D中选一个．C

与D的一个很大差别是在x趋向于无穷大时，y是趋于无穷大还是无穷小，显然

y x lnx

此时应该趋向于无穷大．

【考点】函数的图象、函数的性质特别是奇偶性、函数的值域． 7．设f(x) ax bx 2是定义在

2

1 a,2 上的偶函数，则f(x)的值域是（ ）

A．[ 10,2] B．[ 12,0] C．[ 12,2] D．与a,b有关，不能确定

【答案】A

【解析】试题分析：函数的定义域关于原点对称是函数成为奇偶函数的必要条件，所以1+a=-2，a=-3．

【考点】函数的奇偶性．

8．若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x) g(x) ex，则有（ ） A．f(2) f(3) g(0)

试卷第2页，总11页

B．g(0) f(3) f(2) C．f(2)

g(0) f(3)

D．g(0) f(2) f(3) 【答案】D

【解析】试题分析：因为f(x) g(x) ex ①，所以f( x) g( x) e x，又因为

f(x),g(x)是R上的奇函数、偶函数，所以f( x) g( x) f(x) g(x) e x ②，

ex e xex e x1 1

1，①、②相加、相减得：f x ，g x ，所以g 0 222e3 e 3e2 e 2

f 3 ，f 2 ，所以f(3)>f(2)>g(0)．

22

【考点】函数的奇偶性、函数的解析式的求法．

9．已知奇函数f(x)在x 0时的图象如图所示，则不等式xf(x) 0的解集为（ ）

( 2, 1) D．A．(1,2) B．( 1,1) ( 2, 1) (1,2) C．

【答案】B

【解析】试题分析：∵xf（x）＜0则：当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，当x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，-2＜x＜-1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（-2，-1）∪（1，2）．故答案为：（-2，-1）∪（1，2）． 【考点】函数的图象．

ax,x 1

10．若函数f(x) 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）

(2 3a)x 1,x 1

23232

A．(,1) B．[,1) C．(,] D．(, )

34343

【答案】B

【解析】试题分析：要使此分段函数在R上为减函数，需满足两个条件：每一段为减函

0 a 1

数，界点处左端图象也应在右端图象上方．所以列出下式： 2 3a 0，解此

a1 (2 3a) 1 1

3

不等式组得 a 1．

4

【考点】分段函数的单调性、基本初等函数的单调性．

【易错点睛】本题容易出错的地方是学生往往忽视第三个式子，分段函数在R上为单调函数需要从负无穷到正无穷处一直都在单调． 【方法点睛】分段函数在其定义域内是增函数必须满足两个条件：①每一段都是增函数；②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最大值(或上边界)，小于等于自变量取

值大的一段函数的最小值(或下边界)．分段函数在其定义域内是减函数必须满足两个条件：①每一段都是减函数；②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最小值(或下边界)，大于等于自变量 取值大的一段函数的最大值(或上边界)．

11．对于集合M、N，定义：M N {x|x M且x N}，M N (M N) (N M)， 设A＝{y|y x2 3x,x R)，A

B xy log2( x)

，则A B=（ ）

0] B

0) C D

【答案】D

【解析】试题分析： 设A yy x 3x,x R,B xy log2 x ,x R，

2

3 99

y x 3x x ，

2 44

2

2

A yy 94 xx 94 ，B xx 0 ，

集合M,N，定义M N xx M且x N ， A B xx A且x B xx 0

M N M N N M

，

，

9

B A xx B且x A xx ，

4

9

A B A B B A , 0, ． 4

【考点】集合间交、并、补的运算，函数的定义域、值域的求法，根据新概念解决问题的能力．

【易错点晴】本题中易错的地方是已知条件中集合A所能取到的数是函数y x 3x中y能取到的数，集合B所能取到的数是函数y log2( x)中x能取到的数，实际上是考查了一些常见的基本初函数的定义域、值域问题．另外，注意练习运用新概念解决问题的能力，可以经历读题、转化成所学知识、列出式子、得到答案过程． 12．记实数x1，x2， ，xn中的最大数为

2

max x1,x2,…,xn

，最小数为

min x1,x2,…,xn

，则

maxmin x 1，x2 x 1， x 6 （ ）

A．

37 B．1 C．3 D． 42

【答案】D

【解析】试题分析：在同一平面内作函数在同一平面内作函数

y x 1,y x2 x 1,y x 6的图象，取它们最下端的曲线（如图阴影部分的上

沿），这曲线的最高点的纵坐标就是所求，可以看出，它是 y=x+1 与 y= -x+6 的交点，

试卷第4页，总11页

解得x

57

，x2 x 1， x 6，y ，也即maxminx 1

22

．

7

2

【考点】一元一次、二次函数在同一坐标系的图象，分段函数最值问题．

【方法点晴】本题意在考查在同一直角坐标系中做出不同函数的图象，在难度上要比做单一图象难度高很多．要注意x取同一个值时不同的函数对应的y值得大小．另外，本题的已知条件显得比较繁琐，一定形式上给考生增加了难度，所以对于考生来说一定要放平心态．已知中无非是告诉我们取这几个函数中最小的那个函数，从图象上来说就是取最低的那块图象．这样本题就成了分段函数的问题，最后求分段函数的最大值，从图象上一看就一目了然了．本题用到了数形结合的思想．

二、填空题

13．已知幂函数f(x)的图象经过（3，27），则f(2)＝________． 【答案】8

【解析】试题分析：设幂函数

f x xa

，把点．

3,27 代入，得3a 27，解得a 3，

f x x3

，故答案为：

f 2 23 8

【考点】幂函数．

14．函数f(x) loga(2x 3) 1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________． 【答案】(2，1)

【解析】试题分析： loga1 0， 2x 3 1，即x 2时，y 1， 点 的坐标是

p 2.1

，故答案为:

2,1 ．

c

x

2，f3)的值为________．满足f(-3) -2015，则(

【考点】对数函数性质． 15．函数f(x) ax bx 【答案】2019

3

【解析】试题分析：设g(x)=f(x)-2 ax bx

3

c

，则g(-3)=f(-3)-2 2017，x

而g(x)显然为奇函数，所以g(3)=-g(-3)=2017，即f(3)-2=2017，因此f(3)=2019． 【考点】函数的奇偶性．

【方法点晴】本题意在考查函数的奇偶性，但所给函数不符合奇偶性，其部分式子所组成的函数具有奇偶性．做题时要学会仔细观察，善于对函数式子变形，再利用所学知识解决问题的能力．

16

0 a b c，f(a)f(b)f(c) 0，实数d是函

数f(x)的一

个零点．给出下列四个判断：

①d a；②d b；③d c；④d c． 其中可能成立的是________．（填序号） 【答案】①②③

1 0, 单调递减， 0 a b c，

【解析】试题分析： f x log2x在

3

x

f a f b f c

，

或

f a f b f c 0 f c f b f a 0

，

f c 0,f b f a 0

，，

d是函数

f x

的一个零点，即

f d 0

，若

f c f b fa 0,fd 0

则可得，c b a d，若

f c 0,f b

f a 0，f d 0则可得，

a b d c．综上可得①d a可能成立；②d b可能成立；③d c可能成立；

④d c不可能成立．故答案为①②③．

【考点】函数的单调性． 【方法点晴】对于函数的题目中涉及到几个x的取值大小与y的取值大小比较的题目常常函数的单调性，本题中由f(x)的解析式很容易得到其为单调函数，由x的取值大小自然可以利用单调性比较对应y值得大小，本题中涉及到x的四个取值a，b，c，d，四个对应的y值，它们与d的关系衔接的纽带是f(a)f(b)f(c) 0，考虑到其成立的各种情况即可．

三、解答题

17．已知集合U x|1 x 7 , A x|2 x 5 ，B x|3 x 7 ． 求:（1）A B；（2）(CUA) B ；（3）A (CUB)．

【答案】（1）x3 x 5；（2）x x 2或3 x 7；（3）x2 x 3． 【解析】试题分析：利用数轴，在数轴上画出全集，集合A，集合B，即可求得． 试题解析：

（1）A B x|2 x 5 x|3 x 7 x3 x 5 （2） U x|1 x 7 , A x|2 x 5 ，（3）

(CUA) B x x 2或3 x 7

A (CUB) x2 x 3

【考点】集合的交集、并集、补集运算． 18．计算下列各题： （1

）0.001

13

3

70

( 164 6； 8

试卷第6页，总11页

（2

）log3lg25 lg4 7【答案】（1）89；（2）

log72

( 9.8)0．

13

． 2

【解析】试题分析：主要涉及到指数式的运算和对数式的运算两个考点．指数式的运算主要是分数指数幂的运算，要学会应用转化的思想，将分数指数幂转化为整数指数幂来算，常用的方法就是将底数化成分数幂中分母次方的形式．对数的运算要掌握住对数运算的运算法则、对数恒等式、对数的换底公式等． 试题解析： （1）原式= (0.1)

323 13

1 (2) (2) (3) =89

344126136

（2）原式=log33 lg

100

lg4 2 1 4

=

313 2 lg4 lg4 3 ． 22

【考点】指数、对数式的运算．

【方法点晴】指数和对数的运算是学习指数函数和对数函数的基础，也是高考考试的重点．涉及的常见的题型与解题方法主要有：1、重视指数式与对数式的互化；2．根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；3．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；4．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提；5．指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决．

19．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元

/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运

费用为y元．

（Ⅰ）写出函数y f(x)的解析式；

（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？

0 x 50 0.25x

【答案】（Ⅰ）y 12.5 0.35 (x 50),50 x 100；（Ⅱ）14．6．

30 0.45 (x 100),x 100

【解析】试题分析：第一问根据题中的条件，结合题意，将函数值与自变量之间的关系找出来，注意分类讨论思想的应用，注意分段函数的应用，第二问根据自变量所属的范围，带入相应的解析式，从而求得对应的函数值． 试题解析：

（Ⅰ）（1）若0 x 50，则y 0.25x； （2）若50 x 100，则（3）若x 100，则

y 12.5 x 50 0.35

；

y 30 0.45 x 100

．

所以，由（1）（2）（3）可知

0 x 50 0.25x

y 12.5 0.35 (x 50),50 x 100

30 0.45 (x 100),x 100

（Ⅱ）因为50kg 56kg 100kg，所以y 12.5 6 0.35 14.6（元）． 【考点】函数应用题，分类讨论的思想，分段函数的应用，已知自变量求函数值． 20．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x 0时，f(x) x2 2x 1． （1）求f(x)的函数解析式，并用分段函数的形式给出； （2）作出函数f(x)的简图；

（3）写出函数f(x)的单调区间及最值．

2

f x x 2x 1,x 0

【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调增区间为 1,0 和 2

x 0x 2x 1,

1, ；单调减区间为 , 1 和 0,1 ； 当x 1或 1时，f(x)有最小值-2．

【解析】试题分析：此题是由函数的一半解析式求另外一半解析式，常常利用函数的奇

偶性联系到一块，解题时要注意一开始x所设的范围应该是所求的那段解析式的x的范围，“立场”不要弄错．然后-x即成了已知条件中的范围，代入可得f(-x)的解析式，再利用奇偶性即可得所求范围内的解析式．从形式上讲任然是分段函数问题的考查．分段函数画图及单调性的求解仍然是运用“分段函数分段处理”的思想． 试题解析：

（1）当x 0时， x 0，

f( x) ( x)2 2( x) 1 x2 2x 1

f(x)是偶函数 f(x) f( x) x2 2x 1

x2 2x 1,x 0

f(x) 2

x 0 x 2x 1,

（如果通过图象直接给对解析式得2分） （2）函数f(x)的简图：

（3）单调增区间为 1,0 和 1, 单调减区间为 , 1 和 0,1 当x 1或 1时，f(x)有最小值-2

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【考点】函数的解析式、奇偶性、单调性及最值、图象、分段函数． 21．已知f x loga

1 x

a 0,且a 1 ． 1 x

（1）证明f x 为奇函数；

（2）求使f x >0成立的x的集合．

【答案】（1）见解析；（2）a 1时x0 x 1，0 a 1时x 1 x 0． 【解析】试题分析：函数的奇偶性的证明分三步：第一、判断函数的定义域是否关于原点对称；第二、求解f(-x)与f(x)进行比较；第三、下结论．本题第一问就按此三步来处理即可，当然要注意对数的运算法则．第二问对数不等式的求解，一般不同形式的化成相同形式，不是对数的化成对数形式，不同底的化成同底的．然后利用对数函数的单调性解决．

试题解析：证：由题得

1 x

0 1 x

1 x 0

1 x 0 1 x 0 x -1或 化简得 1 x 0 x 1 x 1

或

x 1

得 -1 x 1所以函数定义域为 x-1 x 1

1 x 1 x

f x loga loga

1 x 1 x

1 x

= -loga = - f x 1 x

所以f x 为奇函数 （2）f x >0 即loga

-1

1 x

0 1 x

由（1）得函数定义域为x-1 x 1 当a 1时

loga

1 x1 x

1 loga1 即

1 x1 x

1 x 0

得

1 x 1 x 1 x 0

或

1 x 1 x

x 1

化简得

x 0

得 0 x 1

当0 a 1时

x 1或

x 0

loga

得

1 x1 x

loga1 即0 1 1 x1 x

-1 x 1

得 1 x 0

x 0或x 1

综上，a 1时x0 x 1，0 a 1时x 1 x 0．

【考点】函数的奇偶性，对数的运算及对数函数的性质，分式不等式的求解． 22．已知：定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a, b都满足f(a b) f(a)f(b)，且f(1) 0，网当x 0时,f(x) 1． （Ⅰ）求f(0)的值； （Ⅱ）证明f(x)在

, 上是增函数；

2

（Ⅲ）求不等式f(x x)

1

的解集．

f(2x 4)

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）( 4,1)．

【解析】试题分析：函数对于任意实数a，b都满足式子成立，所以这里a，b可以取任何值，要求f(0)可令a=1，b=0；抽象函数单调性的证明因为没有解析式所以可以采用的只有定义法，难点是怎样定号，需要想方设法利用上已知的条件．第三问常常与解不等式结合到一块，这里需要利用已知恒等式及函数的单调性来解决． 试题解析：（Ⅰ）解：令a 1,b 0则

f(1) f(1 0) f(1)f(0)

f(1) 0 f(0) 1

（Ⅱ） 证明：当x 0时-x>0

由f(x)f( x) f(x x) f(0) 1,f( x) 0 得f(x) 0

对于任意实数x，f(x) 0

设x1 x2

则x2 x1 0f(x2 x1) 1

f(x2) f(x1 (x2 x1)) f(x1)f(x2 x1) f(x1)

函数y f(x)在( , )上是增函数。

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（Ⅲ）解：

1f(0)

f( 2x 4)

f(2x 4)f(2x 4)1

f( 2x 4)

f(2x 4)

f(x2 x)

由（Ⅱ）可得：x2 x 2x 4 解得 4 x 1 所以原不等式的解集是( 4,1)

【考点】抽象函数的求值、单调性，一元二次不等式的求解．

【方法点晴】抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点．因为抽象，学生难以理解，接受困难．其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路．常见的题型有：1．定义域问题 2、求值问题3、值域问题 4、解析式问题5、单调性问题6、奇偶性问题7、周期性与对称性问题等类型．求值问题常常采用赋值法，判断单调性常常采用定义法．

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