四川大学 理论力学 课后习题答案 第1周习题解答

静力学习题及解答—静力学基础
第 1 周习题为 1.2～1.9； 1.10～1.12 为选作。 1.1 举例说明由 F1 ? r = F2 ? r ，或者由 F1 × r = F2 × r ，不能断定 F1 = F2 。 解：若 F1 与 F2 都与 r 垂直，则 F1 ? r = F2 ? r = 0 ，但显然不能断定 F1 = F2 ； 若 F1 与 F2 都与 r 平行，则 F1 × r = F2 × r = 0 ，也不能断定 F1 = F2 ；
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.2 给定力 F = 3 (? i + 2 j + 3k ) ，其作用点的坐标为 (?3,?4,?6) 。已知 OE 轴上的 单位矢量 e =3 (i + j + k ) ，试求力 F 在 OE 轴上的投影以及对 OE 轴之矩。 3 解：力 F 在 OE 轴上的投影
FOE = F ? e = 3 (?i + 2 j + 3k ) ?
3 (i + j + k ) = ?1 + 2 + 3 = 4 3
力 F 对坐标原点 O 之矩 i j k mO ( F ) = ? 3 ? 4 ? 6 = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 2 3 3 3 根据力系关系定理，力 F 对 OE 轴之矩mOE ( F ) = mO ( F ) ? e = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 (i + j + k ) = 15 ? 10 = 5 3
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.3 长方体的长、宽和高分别为 a = 8cm 、 b = 4cm 、 h = 3cm ，力 F1 和 F2 分别作 用于棱角 A 和 B ，方向如图示，且 F1 = 10 N ， F2 = 5N 。试求 F1 在图示各坐标轴 上的投影和 F2 对各坐标轴之矩。
解：力 F1 在坐标轴上的投影 a 80 F1 = N ≈ 8.48N F1x = 2 2 2 89 a +b +h ?b ? 40 F1 = N ≈ ?4.24 N F1 y = 2 2 2 89 a +b +h h 30 F1 = N ≈ 3.18 N F1z = 2 2 2 89 a +b +h 力 F2 在坐标轴上的投影 F2 x = 0 b F2 y = F2 = 4 N b2 + h2 ?h F2 = 3N F2 z = b2 + h2 力 F2 作用线上的 B 点坐标为 (a,0, h) = (8,0,3) ，则 F2 对坐标原点 O 之矩为i j mO ( F2 ) = 8 0 k 3 = (?12i + 24 j + 32k ) N ? cm
0 4 ?3
根据力系关系定理， F2 对各坐标轴之矩为 mx ( F2 ) = ?12 N ? cm ， m y ( F2 ) = 24 N ? cm ， mz ( F2 ) = 32N ? cm
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.4 轴 AB 在 Ayz 平面内， 与铅锤的 Az 轴成 α 角。 悬臂 CD 垂直地固定在 AB 轴上， 与 Ayz 平面成 θ 角，如图所示。如在 D 点作用铅直向下的力 FP 。并设 CD = a ， AC = h ，试求力 FP 对 A 点之矩及对 AB 轴之矩。
解：由于力 FP 平行于 z 轴，所以， FPx = FPy = 0 ， FPz = ? FP ，mz ( FP ) = xFPx ? yFPy = 0
mx ( FP ) 和 m y ( FP ) 只与 D 的 x 及 y 坐标有关。 D 的 x 坐标： a sin θ ； D 的 y 坐标： h sin α + a cosθ cosα ； FP 对 x 轴之矩： mx ( FP ) = ? FP (h sin α + a cosθ cosα ) ； FP 对 y 轴之矩： m y ( FP ) = FP a sin θ ；所以 FP 对点 A 之矩为： m A ( FP ) = mx ( FP )i + m y ( FP ) j 轴 AB 的方向向量： e = (sin αj + cosαk ) 于是得到 FP 对轴 AB 之矩： mAB ( FP ) = m A ( FP ) ? e = FP a sin θ sin α
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.5 正三棱柱 OABCDE 的高为 10 2cm ，底面正三角形的边长为 10cm 。大小为 10N 的力 FP 作用于棱角 D ，力的作用线沿侧面的对角线 DB ，如图示。设沿图示 各坐标轴的基矢量为 i 、 j 和 k ，试求力 FP 的矢量表示，以及力 FP 对 O 点之矩 和对 CE 轴之矩。
解： D 点坐标： (10 2 ,10,0) ； B 点坐标： (0,5,5 3 ) ； 矢量 DB 的单位矢量： nDB = (?6 3 1 ,? , )； 3 6 2 10 6 5 3 所以力 FP 的矢量表示为： FP = FP nDB = (? i? j + 5k ) N 3 3 FP 对 O 点之矩(取点 B 为 FP 作用点)
i j k 50 0 5 5 3 = (50i ? 50 2 j + mO ( FP ) = 6k ) N ? cm 3 10 6 5 3 ? ? 5 3 3 而 FP 对 C 点之矩(取点 D 为 FP 作用点)i j mC ( FP ) = xD ? xC y D ? yC 10 6 5 3 ? ? 3 3 而 FP 对 CE 轴之矩： k 100 z D ? zC = (50i + 6k ) N ? cm 3 5
mCE ( FP ) = mC ( FP ) ? nCE = (50i + = 50 2 N ? cm
100 1 3 6k ) ? ( j + k) 3 2 2
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.6 单位矢量分别为 e1 和 e2 的两相交轴的夹角为 θ ，处于两轴所在平面内的力 F 在这两轴上的投影分别为 F1 和 F2 ，试求力 F 的矢量表示。 解法 1：构建两个正交的单位矢量，并用此二矢量来表达力 F 。
由题意知， F ? e1 = F1 ， F ? e2 = F2 。 若令 e1 = i ，则问题的关键在于寻求与 i 垂直的单位矢量 j 。 定义矢量 j′ ： j′ = e2 ? (e2 ? e1 )e1 = e2 ? cosθe1 ，即图中的黑色矢量。显然有： i ? j′ = e1 ? (e2 ? cosθe1 ) = cosθ ? cosθ = 0 ，及 j′ 与 e1 (或 i )垂直。 定义 j 为 j′ 的归一化矢量： j′ e2 ? e1 cosθ j= = ，(注意图中的几何关系) j′ sin θ 于是得到力 F 在两正交方向上的投影： Fi = F ? i = F ? e1 = F1 e ? e cosθ F2 ? F1 cosθ = Fj = F ? j = F ? 2 1 sin θ sin θ 最终，力 F 的矢量表示为 ( F ? F1 cos θ )(e 2 ? e1 cos θ ) F1 ? F2 cos θ F ? F1 cos θ F = Fi i + F j j = F1e1 + 2 = e1 + 2 e2 2 2 sin θ sin θ sin 2 θ 解法 2：也可将力 F 通过 e1 和 e2 方向上的两个分力来表示，如图
根据几何关系，有： F3 + F4 cosθ = F1F3 cosθ + F4 = F2
联立求解后，得： F ? F2 cos θ F ? F1 cos θ F3 = 1 F4 = 2 2 sin θ sin 2 θ 因此，力 F 的矢量表示为 F ? F2 cos θ F ? F1 cos θ F = F3 e1 + F4 e2 = 1 e1 + 2 e2 2 sin θ sin 2 θ四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.7 给定三力： F1 = 3i + 4 j + 5k ，作用点为 (0,2,1) ； F2 = ?2i + 2 j ? 6k ，作用点为 (1,?1,4) ； F3 = ?i ? 3 j + 2k ，作用点为 (2,3,1) 。试求力系的主矢，及其对坐标原点
O 的主矩。 解：主矢 FR′ = ∑ Fi = 3 j + ki j k i 主矩 M O = 0 2 1 + 1 3 4 5 ?2 j ?1 2 k i 4 + 2 ?6 j 3 k 1 = 13i ? 4 j ? 9k
?1 ? 3 2
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.8 如图所示，已知 OA = OB = a ， OC = 3a ，力 F1 、 F2 和 F3 的大小均等于 FP 。 试求力系的主矢，及其对坐标原点 O 的主矩。
解：2 2 i+ j) ； 2 2 1 3 F2 的矢量为： FP (? j + k) ； 2 2 1 3 F3 的矢量为： FP ( i ? k) ； 2 2 1? 2 力系的主矢 FR ′ = ∑ Fi = (i ? j ) 2
F1 的矢量为： FP (?
i MO =
j
k
i
j a ?1 FP 2
k
i
j 0 0
k 3a 3 FP 2
主矩
a 0 0+0 2 2 ? FP FP 0 0 2 2 Fa = P ( 3i + 3 j + 2k ) 2
0 + 0 3 ?1 FP FP 2 2
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.9 如图所示，已知 OA = OB = OC = a ， F1 = F2 = F3 = FP 。试求力系的主矢，及 其对坐标原点 O 的主矩。
解：2 2 i+ j) ； 2 2 2 2 F2 的矢量为： FP (? j+ k) ； 2 2 2 2 F3 的矢量为： FP ( i? k) ； 2 2 力系的主矢 FR ′ = ∑ Fi = 0
F1 的矢量为： FP (?
i MO = a 2 主矩 ? FP 2 =
j 0 2 FP 2
k 0
i 0
0+0
j a 2 FP 2
k
i
j 0 0
0 + 0 2 2 FP FP 2 2
k a 2 FP 2
2 FP a (i + j + k ) 2
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.10 证明：任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相 等。 证明：
如图，任取两点 A 、 B ，力 Fi 对其矢径分别为 rAi 和 rBi 。对 A 和 B 点主矩分 别为M A = ∑ rAi × Fi ； M B = ∑ rBi × Fii i
注意到 rAi = rAB + rBii
由于 rAB × ∑ Fi 与 rAB 和 ∑ Fi 都垂直，因此有M A ? rAB = (rAB × ∑ Fi + M B ) ? rAB = M B ? rABi i
由此得证。
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.11 证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 证明：接上题，由于 rAB × ∑ Fi 与 ∑ Fi 垂直，因此有M A ? ∑ Fi = (rAB × ∑ Fi + M B ) ? ∑ Fi = M B ? ∑ Fii i i i i i
所以 A 、 B 的任意性，可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.12 试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用 线必汇交于一点(提示：首先证明此三力共面) 证明：设三力为 F1 、 F2 和 F3 ，由于三力平衡，因此该力系的主矢为零，主矩也为零。 ′ 考察 F2 和 F3 构成的子力系，显然，该子力系的主矢为 FR ′ = ? F1 ，对力 F1 作 用线上任意点 A 的主矩 M ′ = 0 。 A ′ 再考察该子力系对力 F2 作用线上任意点 B 的主矩： M B = m B ( F3 ) ，即，该 子力系对点 B 的主矩就是力 F3 对 B 之矩。 根据题 1.11 的结论，有 ′ ′ ′ 0 = M ′ ? FR = M B ? FR = ?m B ( F3 ) ? F1 A 即， F3 对 B 之矩与 F1 垂直。显然， F3 位于点 B 与 F1 作用线确定的平面内，也即
F3 与 F1 共面。同理， F2 与 F1 共面。即刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力 的作用线必共面。
如图，设 F2 和 F3 交于点 O ，则将此二力平移至该点，则 F2 和 F3 的合力可根 据平行四边形定律确定为作用于点 O 的力 FR′ 。由于 F1 、 F2 和 F3 构成平衡力系， 则 F1 和 FR′ 也构成平衡力系。根据二力平衡定理，F1 和 FR′ 共线，即 F1 也过点 O 。 由此得证。
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ymol.html