新编物理基础学王少杰(上、下册)课后习题答案

新编物理基础学(上、下册)课后习题详细答案

王少杰，顾牡主编

第一章

????1-1.质点运动学方程为：r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a，b，?均为正常数，求质

点速度和加速度与时间的关系式。

?分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

?????解：v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk

????a?dv/dt??a?2?cos(?t)i?sin(?t)j???

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt??Kv2， 式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e?Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。

分析：要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证：

dvdv?v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv ??Kdx

vv1xv , ln??Kx dv??Kdx?v0v?0v0 v?v0e

1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运

2?Kx

???动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻

质点的位置、速度、加速度。

2解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t?8

2 可得：y?x?8，即轨道曲线。

画图略

2???2（2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t?8)j

????? 由v?dr/dt则速度：v?2i?8tj

???? 由a?dv/dt则加速度：a?8j

????????则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j

22????????当t=2s时，有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j

1-4．一质点的运动学方程为x?t，y?(t?1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

1

解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t2，，可得t?

x,代入y?(t?1)2

y?x?1，即轨迹方程

??2?2 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j

???? 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j

???? a?dv/dt?2i?2j

?????? 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)

11-5．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?bt2，其中v0，b都是常量。（1）

2整理得：求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?，求导可求出质点的运动速率v?ds，因dtv2???dv22而，a??，an?，a?a??0?ann0，a?a??an，当a?b时，可求出t，代入运动

?dt学方程s?s?t?，可求得a?b时质点运动的路程，解：（1）速率：v?dss即为质点运动的圈数。 2?R??b

dtdt?dv?v2??(v0?bt)2??0?n0??b?0?n0 加速度：a?dt?R 则大小：a??v0?bt，且dva2??a2n?(v0?bt)2?2?b???????????①

R??

2 方向：tan????v0?bt?2bRv（2）当a=b时，由①可得：t?0

b2v0v012（3）当a=b时，t?，代入s?v0t?bt,可得：s?

2bb22v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR1-6．一枚从地面发射的火箭以20m?s?2的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个

自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

2分析：分段求解：0?t?30s时，a?20ms，求出v、a；t＞30s时，a??g。求出v2(t)、

x2(t)。当v2?0时，求出t、x，根据题意取舍。再根据x?0，求出总时间。

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s

tvxdvx2, 得?axdt??dvx,ax?20(m/s)，

00dt vx?20t(m/s),t?30(s)时，v1?600(m/s)

则：当0≤t≤30s，由ax? 2

30x1dx 由vx?，得?vxdt??dx，则：x1?9000(m)

00dt当火箭未落地, 且t＞30s,又有：

?t30ax2dt??vx2v1dvx2,ax2??9.8(m/s2)，

则：vx2?894?9.8t(m/s) 且：

?t30vx2dt??dx，则：x??4.9t2?894t?13410(m)?①

x1x当vx2?0，即t?91.2(s)时，由①得，xmax?27.4km

（2）由（1）式，可知，当x?0时，t?166(s)，t≈16(s)＜30(s)（舍去）

1-7. 物体以初速度20m?s?1被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后

的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？

??分析：（1）建立坐标系，写出初速度v0，求出v(t)、tan?，代入t求解。

（2）由（1）中的tan?关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出y?t?，代入t求y。 （3）物体轨迹最高点处，vy?0，且加速度a?an?v2??g，求出?。

v2，求出?。

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 an?gcos???解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系

?????00（1）初速度v0?20cos60i?20sin60j?10i?103j(m/s)，

??2 且加速度a??9.8j(m/s),

??? 则任一时刻：v?10i?(103?9.8t)j(m/s)??????①

103?9.8t???????????②

10当t=1.5(s)时，tan??0.262,??14?41'

与水平方向夹角有tan??当t=2.5(s)时，tan???0.718,???35?41' （2）此时tan??1, 由②得t=0.75(s)

121gt?103?0.75??9.8?0.752?10.23(m) 22?v2?v?10i(m/s),v?10(m/s),an??g，（3）在最高处，

高度y?vyot??v2?10.2(m) 则：??g（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：

an?acos??gcos??g ?gvx v10?4.9(m/s2) 20v2400????82(m)

an4.93

1-8．应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？ 分析：若水平射程vt?hn，由h?1gt消去t，即得v?h?。 2解：设从抛出到落地需要时间t

则，从水平方向考虑vt?hn，即

从竖直方向考虑h?则有： v?12gt,消去t， 2n2gh 21-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s-1，切向加速度的大小为0.2m?s-2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析：由某一位置的?、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。

102??0.25(m/s2), 方向指向圆心 解：法向加速度的大小an??400总加速度的大小

v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2) a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'

如图1-9，tan??

? v0 ?????an?at ?v ???g 图1-10

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v /? 。

分析：运动过程中，质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?。可求出an ，如图1-10。再根据关系

2an ? v 2/? 求解。

解：切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa

2v0v2 ? ???因 an? ?angcos?v2 4

1-11．火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减速行驶，使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。

分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S。 解：由题意，做v-t图（图1-11）

则梯形面积为S，下底为经过的时间t， tan??a1,tan??a2

v?t?(t?vcot??vcot?)? 2S111则：t??v(?)

v2a1a2则：S?

1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？

分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。

2解：如图1-12，当小球到达A点时，有v?2gh 则速度大小：v?2gh, 12gt， 2 设从A点落地的时间为t，则有H?h? 则t?2(H?h) g2小球弹射的距离，l?vt?2(H?h)h?2?h?Hh

则当h?1H时，l有最大值。 2 1-13．离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系，以及an与a关系求解a。

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