新编物理基础学王少杰(上、下册)课后习题答案

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新编物理基础学(上、下册)课后习题详细答案

王少杰,顾牡主编

第一章

????1-1.质点运动学方程为:r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a,b,?均为正常数,求质

点速度和加速度与时间的关系式。

?分析:由速度、加速度的定义,将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数,可得到速度和加速度的表达式。

?????解:v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk

????a?dv/dt??a?2?cos(?t)i?sin(?t)j???

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇,在发动机关闭后,其加速度方向与速度方向相反,大小与速度平方成正比,即dv/dt??Kv2, 式中K为常量.试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e?Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。

分析:要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证:

dvdv?v,积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv ??Kdx

vv1xv , ln??Kx dv??Kdx?v0v?0v0 v?v0e

1-3.一质点在xOy平面内运动,运动函数为x?2t,y?4t?8。(1)求质点的轨道方程并画出轨道曲线;(2)求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。

分析:将运动方程x和y的两个分量式消去参数t,便可得到质点的轨道方程。写出质点的运

2?Kx

???动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t),把时间代入可得某时刻

质点的位置、速度、加速度。

2解:(1)由x?2t,得:t?x,代入y?4t?8

2 可得:y?x?8,即轨道曲线。

画图略

2???2(2)质点的位置可表示为:r?2ti?(4t?8)j

????? 由v?dr/dt则速度:v?2i?8tj

???? 由a?dv/dt则加速度:a?8j

????????则:当t=1s时,有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j

22????????当t=2s时,有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j

1-4.一质点的运动学方程为x?t,y?(t?1),x和y均以m为单位,t以s为单位。(1)求质点的轨迹方程;(2)在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

1

解:(1)由题意可知:x≥0,y≥0,由x?t2,,可得t?

x,代入y?(t?1)2

y?x?1,即轨迹方程

??2?2 (2)质点的运动方程可表示为:r?ti?(t?1)j

???? 则:v?dr/dt?2ti?2(t?1)j

???? a?dv/dt?2i?2j

?????? 因此, 当t?2s时,有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)

11-5.一质点沿半径为R的圆周运动,运动学方程为s?v0t?bt2,其中v0,b都是常量。(1)

2整理得:求t时刻质点的加速度大小及方向;(2)在何时加速度大小等于b; (3)到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。

分析:由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?,求导可求出质点的运动速率v?ds,因dtv2???dv22而,a??,an?,a?a??0?ann0,a?a??an,当a?b时,可求出t,代入运动

?dt学方程s?s?t?,可求得a?b时质点运动的路程,解:(1)速率:v?dss即为质点运动的圈数。 2?R??b

dtdt?dv?v2??(v0?bt)2??0?n0??b?0?n0 加速度:a?dt?R 则大小:a??v0?bt,且dva2??a2n?(v0?bt)2?2?b???????????①

R??

2 方向:tan????v0?bt?2bRv(2)当a=b时,由①可得:t?0

b2v0v012(3)当a=b时,t?,代入s?v0t?bt,可得:s?

2bb22v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR1-6.一枚从地面发射的火箭以20m?s?2的加速度竖直上升0.5min后,燃料用完,于是像一个

自由质点一样运动,略去空气阻力,试求(1)火箭达到的最大高度;(2)它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

2分析:分段求解:0?t?30s时,a?20ms,求出v、a;t>30s时,a??g。求出v2(t)、

x2(t)。当v2?0时,求出t、x,根据题意取舍。再根据x?0,求出总时间。

解:(1)以地面为坐标原点,竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系,且在坐标原点时,t=0s,且0.5min=30s

tvxdvx2, 得?axdt??dvx,ax?20(m/s),

00dt vx?20t(m/s),t?30(s)时,v1?600(m/s)

则:当0≤t≤30s,由ax? 2

30x1dx 由vx?,得?vxdt??dx,则:x1?9000(m)

00dt当火箭未落地, 且t>30s,又有:

?t30ax2dt??vx2v1dvx2,ax2??9.8(m/s2),

则:vx2?894?9.8t(m/s) 且:

?t30vx2dt??dx,则:x??4.9t2?894t?13410(m)?①

x1x当vx2?0,即t?91.2(s)时,由①得,xmax?27.4km

(2)由(1)式,可知,当x?0时,t?166(s),t≈16(s)<30(s)(舍去)

1-7. 物体以初速度20m?s?1被抛出,抛射仰角60°,略去空气阻力,问(1)物体开始运动后

的1.5s末,运动方向与水平方向的夹角是多少? 2.5s末的夹角又是多少?(2)物体抛出后经过多少时间,运动方向才与水平成45°角?这时物体的高度是多少?(3)在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大?(4)在物体落地点处,轨迹的曲率半径有多大?

??分析:(1)建立坐标系,写出初速度v0,求出v(t)、tan?,代入t求解。

(2)由(1)中的tan?关系,求出时间t;再根据y方向的运动特征写出y?t?,代入t求y。 (3)物体轨迹最高点处,vy?0,且加速度a?an?v2??g,求出?。

v2,求出?。

(4)由对称性,落地点与抛射点的曲率相同 an?gcos???解:以水平向右为x轴正向,竖直向上为y轴正向建立二维坐标系

?????00(1)初速度v0?20cos60i?20sin60j?10i?103j(m/s),

??2 且加速度a??9.8j(m/s),

??? 则任一时刻:v?10i?(103?9.8t)j(m/s)??????①

103?9.8t???????????②

10当t=1.5(s)时,tan??0.262,??14?41'

与水平方向夹角有tan??当t=2.5(s)时,tan???0.718,???35?41' (2)此时tan??1, 由②得t=0.75(s)

121gt?103?0.75??9.8?0.752?10.23(m) 22?v2?v?10i(m/s),v?10(m/s),an??g,(3)在最高处,

高度y?vyot??v2?10.2(m) 则:??g(4)由对称性,落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知:

an?acos??gcos??g ?gvx v10?4.9(m/s2) 20v2400????82(m)

an4.93

1-8.应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出, 才能使它在水平方向的射程为h的n倍? 分析:若水平射程vt?hn,由h?1gt消去t,即得v?h?。 2解:设从抛出到落地需要时间t

则,从水平方向考虑vt?hn,即

从竖直方向考虑h?则有: v?12gt,消去t, 2n2gh 21-9.汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶,设在某一时刻,汽车的速率为10m?s-1,切向加速度的大小为0.2m?s-2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析:由某一位置的?、v求出法向加速度an,再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。

102??0.25(m/s2), 方向指向圆心 解:法向加速度的大小an??400总加速度的大小

v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2) a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'

如图1-9,tan??

? v0 ?????an?at ?v ???g 图1-10

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动,初速度的大小为v0,与水平方向成?角.求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度,法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径(忽略空气阻力).已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v /? 。

分析:运动过程中,质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用,所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0,其方向与水平线夹角也是?。可求出an ,如图1-10。再根据关系

2an ? v 2/? 求解。

解:切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa

2v0v2 ? ???因 an? ?angcos?v2 4

1-11.火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地,A,B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动,当速度达到v后再匀速行驶一段时间,然后刹车,并以加速度大小为a2作匀减速行驶,使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。

分析:做v-t图,直线斜率为加速度,直线包围面积为路程S。 解:由题意,做v-t图(图1-11)

则梯形面积为S,下底为经过的时间t, tan??a1,tan??a2

v?t?(t?vcot??vcot?)? 2S111则:t??v(?)

v2a1a2则:S?

1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落,当它下落了距离h时,与一个斜面发生碰撞,并以原速率水平弹出,问h为多大时,小球弹的最远?

分析:先求出小球落到A点的小球速度,再由A点下落的距离求出下落时间,根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。

2解:如图1-12,当小球到达A点时,有v?2gh 则速度大小:v?2gh, 12gt, 2 设从A点落地的时间为t,则有H?h? 则t?2(H?h) g2小球弹射的距离,l?vt?2(H?h)h?2?h?Hh

则当h?1H时,l有最大值。 2 1-13.离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸,人以恒定速率v0拉绳子,求当船离岸的距离为s时,船的速度和加速度的大小。

分析:收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向,由沿绳的分量与垂直绳的分量合成,沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系,以及an与a关系求解a。

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