2014年高考数学（理）真题分类汇编：选修4系列

2014年高考数学(理)真题分类汇编： 选修4 系列

选修4-1：几何证明选讲

15．[2014·广东卷] )如图1-1所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交 △CDF的面积 于点F，则＝________9．

△AEF的面积

图1-1

15．[2014·湖北卷] 如图1-2，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交

⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝_____4___． 图1-2 图1-3

12．[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则

3

⊙O的半径等于________．

2

22．[2014·辽宁卷]如图1-7所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD， 连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；

(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.

证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，

又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA.

又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径． (2)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.

又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，

所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.

22．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1：几何证明选讲

如图1-6，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE. 图1-6

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD， 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]

如图1-4，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为

PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.

图1-4

证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC. 因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

2

所以AD·DE＝2PB.

15．[2014·陕西卷]

如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F， 若AC＝2AE，则EF＝________．3

6．[2014·天津卷]

的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是( D )

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

图1-2

14．[2014·重庆卷] 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)， 再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9， 则AB＝________．4

如图1-2所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆

选修4-4：坐标系与参数方程

13．[2014·天津卷] 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．3

4．[2014·安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系?x＝t＋1，中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，

?y＝t－3则直线l被圆C截得的弦长为( D )

A.14 B．214 C.2 D．22

?x＝－1＋cos θ，

3．[2014·北京卷] 曲线?(θ为参数)的对称中心( B )

?y＝2＋sin θ

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 21． [2014·福建卷]

?x＝a－2t，?x＝4cos θ，已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝－4t?y＝4sin θ(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝

≤4， 解得－25≤a≤25.

14．[2014·广东卷]在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．(1，1)

??x＝

16．[2014·湖北卷]已知曲线C1的参数方程是?

?y＝?

t，

3t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

3

极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．(3，1)

?x＝2＋cos α，π

11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：?(α为参数)

4?y＝1＋sin α交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方

程是________．ρcos θ－ρsin θ＝1

11．[2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A )

A．ρ＝

π1

，0≤θ≤

2cos θ＋sin θ

π1

B．ρ＝，0≤θ≤ 4cos θ＋sin θC．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

π 2π 4

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

23．[2014·辽宁卷] 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

?x＝x1，2

23．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得?由x21＋y1＝1

?y＝2y1，

2yy222

得x＋2＝1，即曲线C的方程为x＋＝1.

4

?x＝cos t，

故C的参数方程为?(t为参数)．

?y＝2sin t

y22?x＋＝1，?x＝1，?x＝0，4(2)由?解得?或?

y＝0y＝2.???2x＋y－2＝0，

11

不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线的斜率k＝，于是所求直线2

11

方程为y－1＝x－2，

2

化为极坐标方程，并整理得

3

2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝. 4sin θ－2cos θ

()

()

()23．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程 ?x＝2＋t，x2y2

已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．

49?y＝2－2t

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． ?x＝2cos θ，

23．解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，

?y＝3sin θ直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离 d＝

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 5

d25

＝|5sin(θ＋α)－6|，

5sin 30°

则|PA|＝

4

其中α为锐角，且tan α＝. 3

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为

225

. 5

25

. 5

23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

π

ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.

?2?

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

23．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 ?x＝1＋cos t，?(t为参数，0≤t≤π)． ?y＝sin t，

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线

π. 3

与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝

ππ33

故D的直角坐标为?1＋cos，sin?，即?，?.

33???22?ππ

15．[2014·陕西卷] C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin?θ－?＝1

6??6??的距离是________．

15． C．1

自选模块2．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤集合A所表示区域的面积；

(2)在直角坐标系xOy中，

?x＝－4＋tcosπ，?4

直线l：?(t为参数)，

π

??y＝tsin4

?x＝acos θ，

曲线C：?(θ为参数)，其中a＞0.

?y＝2sin θ

若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围． 解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得

ρ2＝ρcos θ.

化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，

211

即x－2＋y2＝.

4

π

，0≤ρ≤cos θ}，求4

()

1

所以集合A所表示的区域为：由射线y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆x－2

π1

图所示的阴影部分，所求面积为＋. 168

()

2

1

＋y2＝所围成的区域，如

4

(2)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0. 因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acos θ－2sin θ＋4＞0恒成立，

2

即a2＋4cos(θ＋φ)＞－4其中tan φ＝a恒成立，

()

所以a2＋4＜4.又a＞0，得0＜a＜2

3.

?x＝2＋t，

15．[2014·重庆卷] 已知直线l的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

?y＝3＋t

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．5

选修4-5：不等式选讲

21．[2014·福建卷]已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a. (1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3. 21. (Ⅲ)解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，

所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3.

8．、[2014·广东卷] 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )

A．60 B．90 C．120 D．130 8．D

9．[2014·广东卷] 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 13．[2014·湖南卷] 若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为

{

51

x－＜x＜33

}，则a＝________．－3

11．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4

24．[2014·辽宁卷]

设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.

(1)求M；

1

(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.

4

?3x－3，x∈[1，＋∞），

解：(1)f(x)＝?

?1－x，x∈（－∞，1）.

44

当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；

33

当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.

4

所以f(x)≤1的解集M＝x0≤x≤3.

21132

(2)由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16x－4≤4，解得－≤x≤，

44

13

因此N＝x－4≤x≤4，

3

故M∩N＝x0≤x≤4.

当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是

211122

xf(x)＋x·[f(x)]＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－x－2≤.

44

{}

(){

{}}

()

24．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-5：不等式选讲 11

若a>0，b>0，且＋＝ab.

ab(1)求a3＋b3的最小值．

112

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.24.解：(1)由ab＝＋≥，得ab≥2，

abab当且仅当a＝b＝2时等号成立． 故a3＋b3≥2a3b3≥4

2，当且仅当a＝b＝

2时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为42.

(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.

由于43>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6. 24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲

1

设函数f(x)＝x＋a＋|x－a|(a＞0)． (1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

111

解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝x＋a＋|x－a|≥x＋a－（x－a）＝＋a≥2，所以f(x)≥2.

a

1

(2)f(3)＝3＋a＋|3－a|.

1

当a>3时，f(3)＝a＋，

a5＋21

由f(3)<5得3

1＋51

当0

a21＋55＋21?综上，a的取值范围是??2，2?.

||||||

||

15．[2014·陕西卷] (不等式选做题)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小 值为________．5

自选模块1．[2014·浙江卷] (1)解不等式2|x－2|－|x＋1|＞3；

(2)设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立条件． 解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x＋1)＞3，得x＜2，此时x≤－1； 当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x＋1)＞3，得x＜0，此时－12时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得x>8，此时x>8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．

111

(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得＋＋＝1.

abbcca

由柯西不等式，得

111

(ab＋4bc＋9ac)ab＋bc＋ca≥(1＋2＋3)2，

所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．

1

16．[2014·重庆卷] 若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

2

1

________．－1，2

()

[]

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