江苏省苏州中学2010届高三阶段测试二(数学)

江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二

高三数学

本试卷分A,B两部分,文科只做A部分,满分160分,考试时间120分钟;理科做A,B两部分,满分160分+40分,考试时间150分钟。答案直接做在答案专页上。

A 正题部分（文理必做）

（满分160分，考试用时120分钟）

一、填空题(本大题共有14道小题,每小题5分,计70分)

1．在空间直角坐标系O xyz中，点A(1, 1,2)，点B(2,1,3)，则线段AB长为 2．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是.

3．若直线l1：ax 2y 6 0与直线l2：x (a 1)y a 1 0垂直，则a 4．双曲线5y2 20x2 4的焦点坐标为.

2

5．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．

6．已知点A( 1, 5)和向量a (2,3)，若AB 3a，则点B的坐标为

7．若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则实数a的取值范围

2

是 ★ .

8．设命题P:a a，命题Q: 对任何x R，都有x 4ax 1 0. 命题P与Q中有且仅

22

有一个成立，则整数a的值为 ★ .

y x 1

9. 在平面直角坐标系xOy中，平面区域D： ，则能覆盖平面区域D的最小的

y 2x 3

圆的方程为 ★ ．

10．已知F是抛物线C:y2 4x的焦点, P是抛物线C上任意一点，点A(2,1)，则当

PF PA取得最小值时，点P的坐标为

11

．设f(x) x3 log2x，则不等式f(m) f(m 2) 0（m R）成立的充

要条件是 ★ .（注：填写m的取值范围）.

2

12. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是 ★ .

13．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽

10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、

高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 ★ cm3．

→→14．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO ＝ ★ ．

二、解答题(本大题共有6道题,计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）

△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c，且满足(1)求角B的值；

（2

）若ba c 5，求a,c的值.

cosBb

. cosC2a c

16. （本小题满分14分）

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东 角）,其中tan

1

，在距离O3

地5a km（a为正数）北偏东 角的N处住有一位医学专家，其中sin

3

.现110指挥部紧急征调离O地正东p 5

km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时. （1）求S关于p的函数关系；

（2）当p为何值时，抢救最及时？

17. （本小题满分15分）

x2y2已知椭圆2 2 1(a b 0)的两准线间距离为6，

离心率e .过椭圆上任意

ab3

一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得PH HQ( >0)．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为(x0,y0). （1）求椭圆方程；

（2

）求证：PF2

（3）当点P在椭圆上运动时，试探究是否存在实数 ，使得点Q在同一个定圆上，若存

在，求出 的值及定圆方程；否则,请说明理由.

18. （本小题满分15分）

一个公差不为0的等差数列{an}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,试求正整数m，使得Sm T12； （3）求证：数列{bn}中任意三项都不能构成等差数列.

19. （本小题满分16分）

g(x) 2elnx(x 0)已知函数f(x) x2，（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f (x)、g (x).

（1）当x

0时，求证：f (x) g (x)

（2）求F(x) f(x) g(x)(x 0)的单调区间及最小值；

（3）试探究是否存在一次函数y kx b(k,b R)，使得f(x) kx b且g(x) kx b对一切x 0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分16分）

2

已知函数f(x) ax 4x b(a<0,且a,b R).设关于x的不等式f(x) 0的解集为

（x1,x2),且方程f(x) x的两实根为 , .

（1）若 1，求a,b的关系式；

（2）若a,b都是负整数，且 1，求f(x)的解析式； （3）若 1 2，求证：(x1 1)(x2 1) 7.

江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二

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题 号

1- 14

15

16

17

18

19

20

总 分

复核

得 分

批 阅

-5-

一、填空题 1. 5. 9. 12. 二、解答题 15.

2. 6. 10. 13.

3. 7. 11. 14.

4. 8.

-6-

16. 北 C A N

O 第 16 题 B

东

17.

-7-

18.

19.

-8-

20.

-9-

江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二

高三数学理科附加题(B)

本试卷满分40分，考试时间30分钟.解答直接做在试卷上,请在规定区域内答题．

21. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy上，动点P到定直线l:x 2与到定点F(1,0)的距离之和为3，求动点P的轨迹方程. 22. （本小题满分10分）已知f(n) 1 求证：100 f(1) f(2) f(3) 23. （本小题满分10分）已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f(x)，满足两个条件：①对任意实数x,y都有f(x y) f(x) f(y) 2xy成立；②f (0) 2.

11 231

，n 1,2,3,n

.

f(99) 100f(100).

（1）求函数的f(x)的表达式；

（2）对任意x1,x2 [ 1,1]，求证：|f(x1) f(x2)| 4|x1 x2|. 24. （本小题满分10分）已知数列 an ，前n项和为Sn，若Sn an n2 3n 1，n N.

（1）求a1,a2,a3,a4；

（2）是否存在常数p,q，使得数列 an pn q 为等比数列，若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由。

2009-2010学年第一学期高三年级阶段测试二

数学参考答案 正题部分（A）

一、填空题

1.

2. 2； 3.

2

； 4. （0，-1），（0，1）； 5. 0； 6.（5，4）； 7. 0≤a＜1；8. 3

1

0； 9.x2 (y 2)2 25； 10. ,1 11. m 1或m 2； 12. 45；13. 78000；

4

14.

25.2

二、解答题 15.解：（1）∵

cosBb

，由正弦定理得 cosC2a c

cosBsinB

，∴cosB(2sinA sinC) sinBcosC 0， cosC2sinA sinC

∴2cosBsinA cosBsinC sinBcosC 0，即2cosBsinA sin(C B) 0. 又∵sinA sin(C B)，sinA 0，∴cosB

2

2

2

2 1

，∴B .…………………7分

32

2

2

（2）依题意，由余弦定理b a c 2accosB得，a c ac 19， 又∵a c 5，解得a 2,c 3或a 3,c 2.……………………………………14分 16.解（1）建立如图所示的直角坐标系，∵

3

ON 5a,sin ，si BON∴n

5

∴N点的坐标为 3a,4a . 又射线OA的方程为y 3x，

43cos BON ，，55

又B(p,0)，∴直线BN的方程为

y 0x p p 3a

4a 03a p

∴y

4a

x p , x 3a .………………………4分

3a p

1272

3a9a a. 22

当p 3a时，C 3a,9a ，S

4ap

x , y 3x, 3p 5a5

当p 3a时，方程组 ，解为 (p a) 4a

3 y 12ap. y 3a p x p 3p 5a

∴点C的坐标为

4ap12ap 5

,p a .

3 3p 5a3p 5a

1112ap6ap25∴S |OB||yc| p (p a).对p 3a也成立.

223p 5a3p 5a36ap25∴S (p a).………………………………………………………8分

3p 5a3

6ap22ap25

(p a). （2）由（1）得S

3p 5ap a3

3

5 2a a t

25a210 40253 令p a t 0，∴S 2a t a a,

3t9t3 3

5a10a10a25a2

Km时，S有最小当且仅当t ,即t ，此时p ，上式取等号，∴当p

3339t

值，即抢救最及时. …………………………………………………………………

14分

2

x2y2

117.解：（1）………………………………………………………4分 32

（2）离心率e

x 3

∴

PF2 e PH 3 x0， PH ………………………………………………………8分 3 x0

∴PF2

(3)设Q的坐标为 x,y ，H 3,y0 ，∴y y0.∵PH HQ 0 ∴3 x0 x 3 ,∴x0 3 3 x

3 3

x 3 3 x y2 x02y02y2 1，∴ 1，即

又∵ 1

332322

2

当且仅当

3

2

2，即

时， 点Q在定圆x 3 2

y2 2上. ……………………………………………15分

18.解：（1）设 an 的公差为d, ∴a4 a1 3d,a16 a1 15d

2又b1 a1,b3 a4,b5 a16,∴b3 bb15

∴ a1 3d a1 a1 15d ,∴9a1d 9d2.∵d 0,a1 d.…………………2分 ∴d 1,an n. ………………………………………………………4分 又 bn 的公比为q, ∴q

2

2

b3a4

4,而bn 0，∴q 0，∴q 2， b1a1

∴bn 2n 1. …………………………………………………………………………6分 (2) ∵Sm

m m 1

,Tn 20 21 22 ... 2n 1 2n 1 2

m m 1

212 1，∴m2 m 8190 0. 由Sm T12，∴

2

∴m 90,m 91(舍)，∴m 90. ……………………………………10分 (3)反证法：假设 bn 中存在三项bi,bj,bk i j k 组成等差数列，∴2bj bi bk ∴2 2∴2

j 1

2i 1 2k 1，（※）∵i j k，j i N,k i N

j i 1

2k i 1.∵2j i 1是偶数，2k i 1是奇数，∴等式（※）不成立. ∴反设不真.

∴ bn 中不存在三项构成等差数列. ………………………………………………15分 19.解：（1）∵x 0，f (x) 2x,g (x) 当且仅当x

2ee

x)2 (x ) 2 ，

∴f (x) g(

xx

e

，即x .

∴f (x) g (x) …………………4分 x

e2(x2 e)

（2）F (x) f (x) g (x) 2(x ) （x 0），

xx

令F (x)

0，得x

，

x ∴当0 x F (x) 0，F(x

)在上单调递减；

当x ∴当x

F (x) 0，F(x

)在 )上单调递增. …………………………8分

F(x

)有极小值，也是最小值，即F(x)min F e 2e 0.

∴F(x

)的单调递增区间为

)，单调递减区间为， 最小值为0. …………………10分

（3）由（2）知，f(x)与g(x

)的图象有且仅有一个公共点e)， ∴猜想：一次函数的图像就是f(x)与g(x

)的图象在点e)处的公切线，

其方程为y e. ………………………………………………………12分 下面证明：当x

0时，f(x)

e，且g(x) e恒成立.

又∵f(x) e) (x2

0，∴f(x) e对x 0恒成立.

又令G(x) e g(x) e

2elnx，∴G (x) ∴当0 x G (x) 0，G(x

)在上单调递减；

当x ∴当x

2ex，

xx

G (x) 0，G(x

)在 )上单调递增.

G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min G 2e e 2e 0，∴G(x)

0，即g(x) e恒成立.

故存在一次函数y e，使得当x

0时，f(x) e，

且g(x) 2 e恒成立. ……………………………………………………………………………………16分

2

20.解：（1）由f x 得ax 3x b 0，由已知得9 4ab 0， x，

3b

, aa

∴

2

1，∴

2

94b

1. 2aa

∴a 4ab 9,∴a、b的关系式为a 4ab 9. ……………………………………5分 (2)∵a、b是负整数，∴a 1,b 1.

由a 4ab 9得：a 4b a 9，且4b a a.

2

∴a 1,b 2,∴f x x 4x 2. ……………………………………10分

2

(3)令g x ax 3x b，又a 0, 1 2.

2

∴

g 1 0, g 1 a b 3 0,

,即 ……………………………………12分

g(2) 0, g(2) 4a b 6 0,

又x1,x2是方程ax 4x b 0的两根， ∴x1 x2

2

4b,x1x2 . aa

b4b 4

1 1 aaa

∴ x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1=

a b 3 0,

b 4

由线性约束条件 4a b 6 0,，画图可知. 的取值范围为 4,6 ，…………14分

a a 0.

∴ 3

b 4

1 6 1 7. a

∴ x1 1 x2 1 7.………………………………………………………………………16分

附加题部分(B)

21.解：设点p x,y ，∴

x 2当x

2当x

2 3，……………………………………4分

1 x，∴y2 4x，但x 0. 5 x.∴y2 8 x 3 ，但x 3.

∴当0 x 2时，点P的轨迹方程为y2 4x；

2

当2 x 3时，点P的轨迹方程为y 8 x 3 . …………………10分

22.证明：先用数学归纳法证明等式： n 1 f 1 f 2 ... f n n 1 f n 1 . 证（1）当n 1时，左边=2 f 1 2 1 3,右边=2f 2 2 1

1 3 2

∴左边=右边，∴等式成立. ………………………………………………………3分 (2)假设n k时，等式成立，即 n 1 f 1 f 2 ... f k k 1 f k 1 上式两边同时加1 f k 1 得：

k 1 1 f 1 f 2 ...f k f k 1 k 1 f k 1 1 f k 1

∵ k 1 f k 1 1 f k 1 k 2 f k 1 1，

∴ k 1 f k 2 f k 1 1 k 2 f k 2 k 2 f k 1 f k 2 1 = k 2

1

1 0.

k 2

∴ k 1 f k 1 1 f k 1 k 2 f k 2

∴ k 1 1 f 1 f 2 ... f k f k 1 k 2 f k 2

∴n k 1时等式也成立. ………………………………………………………8分 由（1）、（2）知，等式 n 1 f 1 f 2 ... f n n 1 f n 1 对一切n N都成立.

∴100 f 1 f 2 ... f 99 100f 100 . ……………………………………10分 23.解：（1）∵f x y f x f y 2xy x,y R ，

令x y 0，得f 0 0.将f x y f x f y 2xy中x固定，对y求导， 得f∴f

/

x y x y

/

f/ y 2x，令y 0得：f/ x 1 f/ 0 2x，

/

x 2x 2，设f x x2 2x c.又f 0 0，∴c 0.

2

∴f x x 2x.…………………………………………………………………………6分

（2）f x1 f x2 x1 x2

2

2

2 x x x x

1

2

1

2

x1 x2 2

x1 x12 2

x1 x211 2

4 x1。 x 2

∴f x1 f x2 4x1 x2. ……………………………………10分 24.解：（1）∵Sn an n2 3n 1,∴s1 a1 3，∴a1

3

. 2

153

9，∴a2 .

42

4721

n 3时， a1 a2 a3 a3 32 3 3 1,∴2a3 17,∴a3 .

84

89

n 4时， a1 a2 a3 a4 a4 42 3 4 1，∴2a4 27，

8

127∴a4 .…………………………………………………………………………4分

16n 2时， a1 a2 a2 22 3 2 1，∴2a2

（2）∵Sn an n 3n 1, ① ∴Sn 1 an 1 (n 1) 3(n 1) 1, ② ②-① 得Sn 1 Sn an 1 an 2n 4，

22

∴2an 1 an 2n 4，∴an 1 设an 1 p n 1 q

1

an n 2. ……………………………………6分 2

1

(an pn q). 2

111

∴an 1 an pn q p.

222

1

p 1, 1q 2

令 pn p n 2.∴

22 p q 2.

2

∴

p 2,

q 0.

11

，公比为，

22

∴存在常数p 2,q 0.使 an 2n 构成等比数列，首项

n

n

1 1

∴an 2n ，∴an 2n .…………………………………………………10分

2 2

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