第四章不定积分习题课-带解答

第四章 不定积分 习题课

1．原函数 若F?(x)?f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数． 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可表示为F(x)?C．

2．不定积分 f(x)的带有任意常数项的原函数叫做f(x)的不定积分，记作?f(x)dx．

若F(x)是f(x)的一个原函数，则?f(x)dx?F(x)?C， 3．基本性质

1）[?f(x)dx]??f(x)，或d[?f(x)dx]?f(x)dx； 2）?dF(x)?F(x)?C，或?F?(x)dx?F(x)?C； 3）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx； 4）?kf(x)dx?k?f(x)dx，（k?0，常数）．

4．基本积分公式（20个）

原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题

例1 已知f(x)的一个原函数是ln2x，求f?(x)．

?21?2lnx??(1?lnx)． 解 f(x)?(lnx)??2lnx?， f?(x)???2xx?x?2. 1 .

例2 设?f(x)dx?2sinx2?C，求f(x)． 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以

f(x)?[?f(x)dx]??[2sinx2?C]??cosx2．

例3 若f(x)的一个原函数是2x，求?f?(x)dx．

解 因为2x是f(x)的原函数，故f(x)?(2x)??2xln2，所以

?f?(x)dx?f(x)?C?2xln2?C．

例4 求不定积分?3?xexdx．

解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即

?3?xexdx??(3?1e)xdx ?13?xex?1xln(3?1e)(3e)?C?1?ln3?C．

例5 求不定积分???sinx???x2??dx． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得

????sinx?sinx?x2??dx?x2?C．

例6 求不定积分?x?3x5dx．

x3解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．

?x?3x11265?x3dx??x1?133?5dx?x15dx?151526x?C．

. 2 .

例7 求不定积分?x3?x2?3x?1dx． 3x?x解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即

?x3?x2?3x?1x3?x?x2?1?2xdx??dx 33x?xx?x

2??1???1??2?dx?x?ln|x|?2arctanx?C．

xx?1??

例8 求不定积分?1dx．

1?cos2x解 用三角恒等式cos2x?1?2sin2x将被积函数变形，然后积分．

?

11112?cscxdx??cotx?C． dx??dx1?cos2x2?22sin2x例9 求不定积分?(tan2x?sec2x)dx．

解 用三角恒等式tan2x?sec2x?1将被积函数统一化为sec2x的函

数，再积分．

?(tan2x?sec2x)dx??(sec2x?1?sec2x)dx

x?x?C． ??(2sec2x?1)dx?2tan

1?2x2例10 求不定积分?2dx． 2x(1?x)解

?1?2x2x2?1?x2dx??2dx??x2(1?x2)x(1?x2)11??1?arctanx??C． ?dx??22x1?xx??. 3 .

例11 求不定积分?1dx．

x4(1?x2)解 类似于例10，拆项后再积分

?1?x2?x2?x4?x41dx??dx

x4(1?x2)x4(1?x2)11111?????arctanx?C． ???dx?4?2??32?xx1?x?3xx

例12 一连续曲线过点(e2,3)，且在任一点处的切线斜率等于求该曲线的方程．

解 设曲线方程为y?f(x)，则f?(x)? f(x)??2，积分得 x2，x2dx?2lnx?C． （曲线连续，过点(e2,3)，故x?0） x将f(e2)?3代入，得3?2lne2?C，解出C??1．所以，曲线方程为y?2lnx?1．

例13 判断下列计算结果是否正确

1(arctanx)21x3???C． dx?ln1?edx?(arctanx)?C1）?； 2）x?21?e31?x?(arctanx)2?1?3解 1）?(arctanx)?C??，所以计算结果正确． 21?x?3?ex1??2）ln(1?e)?C?， 计算结果不正确，即

1?ex1?ex?x??

1dx?ln1?ex?C． x1?e??. 4 .

以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）a?0时，?f(ax?b)dx?1f(ax?b)d(ax?b)． ?a2）?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx． 3）?f(cosx)sinxdx? 4）?f(lnx)dx?

5）a?0，a?1时，?f(ax)axdx? 6）??0时，?f(x?)x??1dx? 7）?f(tanx)sec2xdx? 8）?f(cotx)csc2xdx? 9）?f(arcsinx)10）?f(arctanx)11）?11?x21xdx?

1dx? 21?xf?(x)dx? f(x)lntanxdx．

sinxcosx例14 求? 解

?lntanxlntanxlntanxdx???sec2xdx??dtanx

sinxcosxtanxtanx ??lntanxd(lntanx)??lntanx?2?C．

. 5 .

12

注 由于被积函数中含有lntaxn，表明taxn?0，故

1． dtanx?dlntaxntanx例15 求下列不定积分 1）?lnxx1?lnxdx； 2）?x(1?x)100dx．

dx??lnx?1?11?dx (请注意加1、减1的技巧) 1?lnxx解 1）?lnxx1?lnx ?????1?lnx??d(1?lnx) 1?lnx??2 ?(1?lnx)2?2(1?lnx)2?C．

331?1?2）?x(1?x)100dx??(x?1?1)(1?x)100dx

??(x?1)101d(x?1)??(x?1)100d(x?1) ?11(x?1)102?(x?1)101?C． 102101例16 设?f(x)dx?x2?C，不求出f(x)，试计算不定积分?xf(1?x2)dx． 解 ?xf(1?x2)dx??1222f(1?x)d(1?x)1?x （将看作变量u） ?21??(1?x2)2?C． 2

例17 设f(x)?e?x，求?f?(lnx)dx． x解 先凑微分，然后利用?f?(u)du?f(u)?C写出计算结果．即

?

f?(lnx)1dx??f?(lnx)dlnx?f(lnx)?C?e?lnx?C??C． xx. 6 .

例18 计算不定积分?1dx．

x4(1?x2)1t 【提示】 分母中有xk时，考虑用“倒代换”x?．

解 设x?11，则dx??2dt， tt1 ?4dx??21x(1?x)t4?1?2?1??t?1??2??t?1t4t4?1?1?dt???dt ?dt???221?t1?t?t31??2 ????t?1?dt???t?arctant?C 2?31?t?? ??例19 求不定积分?解

111??arctan?C． 3xx3x1x(x?4)6dx．

?1x(x6?4)dx??1x5?dx6x6(x6?4)?1d(x6) 66x(x?4)?11????tt?4??dt ??

x6?t16?11dt ?24?t?t?4?1x61tln?C． ?ln?C ?24x6?424t?4分部积分

?uv?dx凑微分?udv交换u、vuv??vdu?uv??u?vdx．

目的，使公式右边的积分?u?vdx要比左边的积分?uv?dx容易计算，关键在于正确地选取u和凑出． 例 20 求不定积分?arcsinxxdx．

解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令t?x，

. 7 .

则x?t2，dx?2tdt，

?arcsinxxdx??arcsinttdt2tdt?2?arcsin? ???tvu

?2tarcsint??tdarcsint?2tarcsint?2???t1?t2dt

?2tarcsint??11?t2d(1?t2)

?2tarcsint?21?t2?C

?2xarcsinx?21?x?C．

解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即

?arcsinxxdx?2?arcsinxdxt1?t2x?t2?arcsintdt

?2tarcsint?2?dt

n?21?x?C． ?2tarcsti?n21?t2?C?2xarcsix

例 21 已知f(x)的一个原函数是e?x2，求?xf?(x)dx．

【提 示】 不必求出f?(x)，直接运用分部积分公式． 解 由已知条件，f(x)?e??，且?f(x)dx?e?x2??x2?C，故

?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx

?xe?x????e2?x2?C??2x2e?x?e?x?C．

22

. 8 .

例 22 设f?(lnx)?(x?1)lnx，求f(x)．

解 先求出f?(x)的表达式．设lnx?t，则x?et，

f?(t)?t(et?1)．

f(t)??t(et?1)dt??tdet??tdt

t2t2tt ?te??edt??te?e??C,

22ttx2所以 f(x)?xe?e??C．

2xx例23 求不定积分?解 将分子凑成

x5?x4?2dx． x3?xx2(x3?x)?x(x3?x)?x3?x?x2?x?2，

把分式化为多项式与真分式的和

x5?x4?2x2?x?22?x?x?1?； 33x?xx?xx2?x?2再将真分式3化为最简分式的和，

x?xx2?x?2(x?2)(x?1)x?22(x?1)?x21， ?????x3?xx(x?1)(x?1)x(x?1)x(x?1)xx?1于是

?x5?x4?2212dx?(x?x?1??)dx 3?x?xxx?1x3x2 ???x?2lnx?lnx?1?C．

32

. 9 .

例24 求不定积分? 解

1?x8dx．

x(1?x8)?1?x8dx?8x(1?x)?1?x817xdx?8x8(1?x8)?1?x88d(x) 88x(1?x) ?11?u8u?x （换元，令） du?8u(1?u)?1?12????du 8??u1?u?18141814 ?lnu?ln(1?u)?C?lnx8?ln?1?x8??C ?ln|x|?ln?1?x8??C． 例25 求不定积分? 解

1dx． 1?sinx1411?sinx1?sinxdx?dx??1?sinx?1?sin2x?cos2xdx

??(sec2x?tanxsecx)dx?tanx?secx?C． 例26 求不定积分?1?1?x6(1?x)(1?1?x)53dx．

解 为同时去掉三个根式，设61?x?t，则x?t6?1，dx?6t5dt，

?1?1?x6(1?x)(1?1?x)53dx??1?t3t3?t?t?156tdt ?6?dt 522t(1?t)1?t ?6???t??t1??dt 22?1?t1?t??3t2?3ln1?t2?6arctant?C??

?331?x?3ln1?31?x?6arctan61?x?C．

??

. 10 .

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