高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值(1)导学案 新人教A版必修1

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

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引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x 的增大，y 的值有什么变化？

② 能否看出函数的最大、最小值？

③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数()2f x x =+、2()f x x =的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念

思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数2()f x x =的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

（1）()32f x x =-+； （2）1()f x x

=.

变式：指出y kx b =+、(0)k y k x

=≠的单调性. 例2 物理学中的玻意耳定律k p V

=（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.

小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；

② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简；

第三步：判断差的符号；

第四步：下结论.

※ 动手试试

练1.求证1()f x x x

=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.

（1）()||f x x =； （2）3()f x x =.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.

3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展

函数()(0)a f x x a =+>的增区间有)+∞、(,-∞，减区间有、[ .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）

A. (,1]-∞

B. [1,)+∞

C. R

D.不存在

2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）

A. 0k >

B. 0k <

C. 0b >

D. 0b <

3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）

A ．2y x =-

B ．2y x

= C ．||y x = D ．2y x =-

4. 函数31y x =-+的单调性是 .

5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

1. 讨论()f x x a

=-的单调性并证明.

2. 讨论2()(0)f x ax bx c a =++≠的单调性并证明.

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