解析几何中高考热点问题例析

解析几何中高考热点问题例析

解析几何是历年高考必考内容,是一个热点,也是一个难点.由于这道题灵活性大,综合性强,得分率往往偏低,许多考生和老师感到头疼.本文拟就常见的问题作一归纳解析,以求对大家有所帮助.

一求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程

x2y2C：??1(m?0)的左，右焦点． 例1:设F1，F2分别是椭圆

6m22m2????????（1）当P?C，且PF PF2?0，|PF1|?|PF2|?8时，求椭圆C的左，右焦点F1、F2．1?（2）F1、F2是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知?F2的半径是1，过动点Q的作?F2切线QM，使得QF1?2QM（M是切点），如下图．求动点Q的轨迹方程．

y Q（x，y） M F1 O F2 x ∴PF1?PF2， 解：（1）∵c2?a2?b2，∴c2?4m2．……2分 又∵PF1?PF2?0∴PF1?PF222??2c??16m2

2由椭圆定义可知PF1?PF2?2a?26m，PF1?PF2??2?16m2?8?24m2，…6分

0?、F2?2，0?． 从而得m2?1，c2?4m2?4，c?2． ∴F1??2，F1（-2，0）（2）∵，F2（2，0），

由已知：QF1?2QM，即QF1?2QM，所以有：QF1?2QF2?1，设P（x，y）， …9分 则?x?2??y?2??x?2??y?1?

2222222?2???2即?x?6??y?32（或x2?y2?12x?4?0） 2综上所述，所求轨迹方程为：?x?6??y?32 22y Q（x，y）

M F1 O F2 x x2y2例2:如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离

aby心率e＝

3，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的 2AF1oBF2MxN直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

????????(Ⅱ) 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA?AB?m?4，（m?R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上. 解：(Ⅰ)∵MF2?x轴，∴|MF2|?11,由椭圆的定义得：|MF1|??2a， 221121222∵|MF1|?(2c)?，∴(2a?)?4c?，

424又e?23232得c?a ∴4a2?2a?3a2, ?a?0 ?a?2

4222∴b?a?c?12a?1， 4x2?y2?1． ∴所求椭圆C的方程为4(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(x,y)

????????则PA?(?2?x,?y)，AB?(2,?1), ????????由PA?AB?m－4得－4?2x?y?m?4，

∴点P的轨迹方程为y?2x?m

设点B关于P的轨迹的对称点为B'(x0,y0)，则由轴对称的性质可得：

y0?1x1y?1??,0?2?0?m， x0222?4?4m2m?3,y0? 55?4?4m22m?32)?4()?4，整理得2m2?m?3?0解得∵点B'(x0,y0)在椭圆上，∴ (553m??1或 m?

23∴点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?，

2解得：x0?经检验y?2x?1和y?2x?3都符合题设， 23． 2∴满足条件的点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?二探究性问题

例3已知椭圆C的中心为原点，点F(1,0)是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A,B两点，且当直线l垂直于x轴时，OA?OB?5． 6（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足?ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

x2y222解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为：2?2?1(a?b?0)，则a?b?1．……①

abb2b2?当l垂直于x轴时，A,B两点坐标分别是(1,)和(1,?)，

aab2b2b4b45?OA?OB?(1,)?(1,?)?1?2，则1?2?，即a2?6b4．………②

aa6aa由①，②消去a，得6b?b?1?0．

42?b2?112或b??（舍去）． 231322当b?时，a?．

222x2?2y2?1． 因此，椭圆C的方程为3（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．

2b26(1)当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知AB?，焦点F到右准线的距?a3a213?c?，此时不满足d?AB． 离为d?c22因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．

（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)．

?y?k(x?1),?2222由?2x2(6k?2)x?12kx?6k?3?0， ?2?2y?1??3设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则

6k26k2?3x1?x2?2，x1x2?． 23k?16k?2AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]

6(k2?1)6k226k2?3． ?(1?k)[(2)?4(2)]?3k2?13k?16k?22又设AB的中点为M，则xMx1?x23k2??2．

23k?11． k当?ABP为正三角形时，直线MP的斜率为kMP???xP?3， 21133k21?k23(k2?1)． ?MP?1?2xP?xM?1?2?(?2)??23k?1kkk22(3k2?1)1?k23(k2?1)36(k2?1)3?当?ABP为正三角形时，MP?＝， ?AB，即222k2(3k?1)223k?12解得k?1，k??1．

因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x?y?1?0或x?y?1?0．

x2y2??1的焦点为焦点，以抛物线例4双曲线M的中心在原点，并以椭圆

2513y2??23x的准线为右准线.

（Ⅰ）求双曲线M的方程；

（Ⅱ）设直线l：y?kx?3 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点. ① 当k为何值时，使得OA?OB?0?

② 是否存在这样的实数k,使A、B两点关于直线y?mx?12对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

x2y2??1的半焦距为：c?23， 解：（Ⅰ）易知，椭圆

2513 又抛物线y2??23x的准线为：x?3. 2x2y2a23设双曲线M的方程为2?2?1，依题意有， ?c2ab故a?233c??23?3，又b2?c2?a2?12?3?9. 22x2y2??1. ∴双曲线M的方程为39（Ⅱ）设直线l与双曲线M的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)两点

?x2y2?1??22联立方程组?3 消去y得 (k?3)x?6k?18?0， 9?y?kx?3?∵A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴k?3?0 ∴??(6k)2?4(k2?3)?18?0??6?k?6，从而有

2x1?x2??6k18xx?，. 12k2?3k2?3又y1?kx1?3，y2?kx2?3

18k218k2??9?9. ∴y1y2?(kx1?3)(kx2?3)?kx1x2?3k(x1?x2)?9?2k?3k2?32① 若OA?OB?0，则有 x1x2?y1y2?0，即∴当k??1时，使得OA?OB?0.

18?9?0 ?k2?1?k??1. 2k?3② 若存在实数k,使A、B两点关于直线y?mx?12对称，则必有 k??因此，当m=0时，不存在满足条件的k；

22??3x1?y1?92222当m?0时，由? 得 3(x?x)?(y?y1212)?0 22??3x2?y2?91， m?y?y2x?x2y1?y2y1?y2y?y2?31 ??3 ?k?1?3 ?k?122x1?x2x1?x2x1?x2

∵A、B中点P(x1?x2y1?y2,)在直线y?mx?12上， 22∴

y1?y2x?x2?m1?6 代入上式得 22x1?x2x?x2?12；又km??1， ∴x1?x2?6k ?6k?31226k2k?0代入并注意到，得 k?2?k??2. 2k?3km?将x1?x2??∴当m?0时，存在实数k??2，使A、B两点关于直线y?mx?12对称.--14分

三取值范围问题

例5:已知平面上一定点C(?1,0)和一定直线l:x??4.Ｐ为该平面上一动点，作PQ?l,垂足为

Q，(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0.

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

????????????????(2) 点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OA??OB?求?的取值范（1??）OC，围．

????????????????????2????2解:(1)由(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0,得: PQ?4PC?0,

x2y2设P(x,y),则(x?4)?4??(x?1)?y???0,化简得: 4?3?1,

222x2y2??1. 点P在椭圆上,其方程为43?????????????????????(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由OA??OB?(1??)OC得：CA??CB?0，所以，A、B 、

C三点共线.且??0,得:(x1?1,y1)??(x2?1,y2)?0,即: ??x1??1????x2

?y1???y2x12y12(?1????x2)(??y2)2??1 ① ??1,所以因为

4343x22y22(?x2)2(?y2)2??1,所以???2 ② 又因为43433?5?2?(??1)x2?(??1)2?1??2 ,化简得: x2?由①-②得: ,

2?4因为?2?x2?2,所以?2?解得:

3?5??2. 2?1?1????3所以?的取值范围为?,3?. 3?3?2y2例6:已知点（x，y）在椭圆C：x2?2?1（a?b?0)的第一象限上运动．

ab（Ⅰ）求点x,xy的轨迹C1的方程；

?y???（Ⅱ）若把轨迹C1的方程表达式记为y?f?x?，且在?0,3?内y?f?x?有最大值，

?3?试求椭圆C的离心率的取值范围．

y??x0?x,解:（Ⅰ）设点（x0，y0）是轨迹C1上的动点，∴?

??y0?xy.y∴x0y0=y2，x0?x2．

02y2x∵点（x，y）在椭圆C: 2?2?1（a?b?0)的第一象限上运动，则x0>0，y0>0． abyxy ∴20?020?1．

ax0b故所求的轨迹C1方程是

yxy??1（x?0，y?0）． a2xb222yxya（Ⅱ）由轨迹C1方程是2?2?1（x>0，y>0），得y?2b2x2（x>0）．

axbb?ax222222ababxab?ab． ∴ f(x)?222?2?b?axb?a2x2b?a2x2xx222所以，当且仅当b?ax，即x?ba时，f?x?有最大值． xb??如果在开区间?0,3?内y?f?x?有最大值，只有??3?aa3． 322c2?1， 解得此时，b2?1?a?2a336?e?1．

3???∴椭圆C的离心率的取值范围是?6,1?．

3?四最值问题

例7:已知M(4,0),N(1,0)若动点P满足MN?MP?6|NP| （1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l:x?2y?12?0的距离的最小值. 解：（1）设动点P（x，y），则MP(x?4,y),MN?(?3,0),PN?(1?x,?y)

2222由已知得?3(x?4)?6(1?x)?(?y),化简得3x?4y?12

x2y2即??1

43x2y2??1 ∴点P的轨迹方程是椭圆C：43（2）解一：由几何意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的

距离的最小值。 设l':x?2y?D?0

代入椭圆方程消去x化简得：16y2?12Dy?3(D2?4)?0

‘

???144D2?192(D2?4)?0?D??4|12?4|l'与l距离的为585?Q与l距离的最小值为5解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的距离的

22x0xy0yx0y0??1,且??1 最小值。设切点为R(x0,y0),则l:4343'‘

k??3x01?? 4y02?x0?1?x0??1??解得?或3?3

y?y??00?2?2???l'为x?2y?4?0

|12?4|l'与l距离为585?Q与l距离的最小值为5

解三：由椭圆参数方程设Q(2cos?,3sin?）

则Q与l距离d?|2cos??23sin??12|512?45?85 5?12?4sin(??30?)5

?sin(??30?)?1时dmin?22x0y0??1 解四：设Q(x0,y0),43且Q与l距离d?|x0?2y0?12|5

22x0y0xy由柯西不等式16?(?)(4?12)?(0?2?0?23)2?(x0?2y0)2

4323?|x0?2y0|?4

?dmin?12?45?85 5例8:如图，线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a)，A、B两点到y轴距离的差为2k。 (Ⅰ)若AB所在的直线的斜率为k(k?0)，求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的

y抛物线的方程；

(Ⅱ)设(Ⅰ)中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点，若 直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，

M(0,a)AoBx试求△PAB面积的最大值。

(Ⅰ) 解：依题意设所求的抛物线方程为x??2py (p?0)

∵直线AB的斜率为k且过点M(0,a)∴直线AB的方程为y?kx?a

2?y?kx?a2由?2得x?2pkx?2pa?0 ----------① ?x??2py设A(x1,y1),B(x2,y2)（x1?0,x2?0,y1?0,y2?0） 则x1,x2是方程①的两个实根

∴

x1?x2??2pk， 若|x1|?|x2|?2k

则?x1?x2?2k，?2pk??2k ∴p?1 若|x2|?|x1|?2k

则x1?x2??2pk?2k ∴p??1与p?0矛盾 ∴该抛物线的方程为x2??2y．-------7分

(Ⅱ)解法1：抛物线x2??2y的焦点为（0,?直线AB的斜率k?tan60?3 ∴直线AB的方程为y??11）即M点坐标为（0,?） 22yoPBADMx3x?1， 2?x2??3?2?x1??3?2?x2??2y???解方程组?得 ?17?43?7?43 ?y2???y1???y?3x??2?2?2即点A(?3?2,?7?437?43)，B(?3?2,?) 22∴|AB|?42?(43)2?8

1?3?2?m??3?2，且n??m2

2111|3m?n?||m2?3m?||?(m?3)2?4|2＝22＝则点P到直线AB的距离d?

422设点P(m，n)，依题意知当m??3时，dmax?1，

11|AB|dmax??8?1?8。 2211[解法2：抛物线x2??2y的焦点为（0,?）即M点坐标为（0,?）

22这时(S?PAB)max?直线AB的斜率k?tan60?3 ∴直线AB的方程为y??3x?1， 2?x2??2y?2由?1得x?23x?1?0 ?y?3x??2?x1?x2??23，x1x2??1，

?|AB|?1?k2|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?212?4?8

以下同上。]

五 定值问题

例9:已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?25． 512x的焦点，离心率等于4(1) 求椭圆C的方程；

??????????(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．若MA??1AF，

?????????MB??2BF，求证：?1??2为定值．

x2y2.解：(1).设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?,则由题意得b?1.

ab125a2?b2252,即,所以a?5. 1????22a5a5x2?y2?1. 故椭圆C的方程为5(2).设点A,B,M的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,?0,y0?. 易知点F的坐标为?2,0?.

?????????MA??1AF,??x1,y1?y0???1?2?x1,?y1?,

则x1?y2?1,y1?0. 1??11??1y12?12)?(0)2?1.

51??11??1将点A的坐标代入到椭圆方程中,得(2化简得?12?10?1?5?5y0?0.

????????22同理,由MB??2BF得?2?10?2?5?5y0?0,

所以,?1,?2是方程x?10x?5?5y0?0的两个根,

22??1??2??10.

例10:在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2?2py(p?0)相交于A、B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值； （II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC

为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由．

?p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解:（I）依题意，点N的坐标为N(0，?x2?2py，直线AB的方程为y?kx?p，与x?2py联立得??y?kx?p．

2消去y得x2?2pkx?2p2?0．

由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p2． 于是S△AMN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2． y 12B C A O N x ?px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2 ?p4pk?8p?2p22222k?2，

2∴ 当k?0，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，

，PQ的中点为H， 设AC的中点为O?，l与AC为直径的圆相交于点P，Q则O?H?PQ，Q?点的坐标为??x1y1?p?，?．

2??2∵O?P?1121AC?x1?(y1?p)2?y12?p2， 222O?H?a?2y1?p1?2a?y1?p， 2222y ∴PH?O?P?O?HB l A O?C O N x ?121(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44p????a??y1?a(p?a)，

2????p??2∴PQ?(2PH)2?4??a??y1?a(p?a)?．

2????令a?pp?0，得a?，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22y?p，即抛物线的通径所在的直线． 2六 定点问题

pp(,0)x??例11:已知动圆过定点，且与直线相切，其中p?0 。 22（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?,

当?、?变化且?????时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标。 4解:(Ⅰ）设动圆圆心为M(x,y)

则(x?)2?y2?x?化简，得：y2p2p， 2?2px(p?0)

2∴所求动圆圆心的轨迹C的方程是：y⑵设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意得x1?2px(p?0)

?x2（否则?????），且x1?0,x2?0，

所以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，

2y12y2y2py2p显然x1?,x2?,即:1?,2?，

2p2px1y1x2y2把y?kx?b代入y2?2px：得ky2?2py?2pb?0，

2p2pb① ,y1?y2?kk由韦达定理知，y1?y2?y1y2??x1x22p(y1?y2)tan??tan?由????得：1?tan(???)? ??2yy41?tan?tan?1?1?2y1y2?4px1x22p?b?2p?2pk 把①代入上式，整理化简，得：1?b?2pk此时，直线AB的方程可表示为：y?kx?2p?2pk，即k(x?2p)?(y?2p)?0

?直线AB恒过定点(?2p,2p).

例12:已知一动圆P与定圆(x?1)2?y2?1和y轴都相切， （1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；

（2）过定点A(1,2)，作△ABC，使?BAC?90，且动点B,C在P的轨迹M上移动（B,C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论。 解：（1）设动点P的坐标为(x，y)，由题设知：

0(x?1)2?y2?1?|x|………………………………………………3'

化简得：x?0时，y2?4x…………………………………………4'

' x?0时，y?0……………………………………………5

P点的轨迹方程为y2?4x(x?0)和y?0(x?0)……………………6'

2) （2）设B、C的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，又A(1，??????????BAC=90，?AB?AC?(x1?1，y1?2)?(x2?1，y2?2)?0

0即(x1?1)(x2?1)?(y1?2)(y2?2)?0…………………①

而BC的直线方程为(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)……②……8

'y12y22?B、C在抛物线y?4x上，?x1?，x2?代入①式化简得

442?2(y1?y2)?y1y2?20………③……………………………………10'

y12y22，x2?把x1?代入②式化简得BC的方程为 44(y1?y2)y?y1y2?4x……④………………………………………12'

?2)， 对比③④可知，直线BC过点(5，?2)………………………………………14' ?直线BC恒过一定点(5，

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