四升五暑假讲义

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四升五火箭班

暑 假 讲 义

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目 录

1. 数的整除性的复习与提高 2. 质数、合数和分解质因数 3. 最大公因数、最小公倍数 4. 同余问题 5. 奇偶性 6. 行程问题（一） 7. 列方程解应用题 8. 不定方程 9.

牛吃草问题

10. 逻辑推理 11. 抽屉原理 12. 多边形的面积 13. 用等量代换求面积

3 7 13 19 26 31 41 45 49 52 61 65 70

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1. 数的整除性的复习与提高

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。即a是b的倍数，而b是a的约数（因数）。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“?”； 因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 四、基本方法：1、利用整除性解数字谜；

2、求一个数除以另一个数的余数（同余法）； 3、简单验算。 例1 四位数7a4b能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？ 解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除. 要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11. 如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740； 如果b=2，只有a=5，此数是7542； 如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344； 如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146； 如果b＝8，只有a＝8，此数是7848. 因此其中最小数是7146.

根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.

例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上. 解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.

这笔帐是367.92元.

例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.

解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，

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为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是

122364.

例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数. 解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除. 要被5整除，个位数只能是0或5. 再考虑被11整除.

（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.

（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.

满足条件的四位数只有两个：7040，7645.

例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？ ，要使它被11整除，要满足

（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.

再介绍另一种解法.

先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.

要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.

43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504. 思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？ （答：1023495）

例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？

与上例题一样，有两种解法. 解一：从整除特征考虑.

这个七位数的最后一位数字显然是0.

另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.

1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：

1993500，1993320，1993680，

其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320. 解二：直接用除式来考虑.

2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除. 现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：

因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除. 例7 下面这个41位数

能被7整除，中间方格代表的数字是几？

5

解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以 555555＝5×111111和999999＝9×111111

都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.

右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.

把55□99拆成两个数的和：

55A00＋B99，

其中□=A+B.

因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6. 注意，记住111111能被7整除是很有用的. 例8 求645763除以7的余数.

解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

645763→15763→1763→363→13→6.

如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：

645763→15000→1000→6.

带余除法可以得出下面很有用的结论：

如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.

例9 检验下面的加法算式是否正确：

2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0≠1，所以这个算式不正确。

例10 检验下面的减法算式是否正确： 7832145-2167953＝5664192。

分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9+3）-6＝6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6＝6，所以这个减法运算可能正确。

值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，?，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。

例11 检验下面的乘法算式是否正确： 46876×9537＝447156412。

分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。

说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。

[思维拓展] 甲、乙两人进行下面的游戏.

两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中

每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.

如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？

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解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.

上面已经列出乙不能获胜的N的取值. 如果N＝1，很明显乙必获胜.

如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.

考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.

综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.

记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.

练 习

1、 32x5y能同时被2、3、5整除，求所有满足条件的五位数。 解：32250，32550，32850。

2、 已知72∣x931y，求满足条件的五位数。 解：39312。提示：注意x，y都是小等于9的数。

3、 已知五位数154xy能被8和9整除，求x＋y的值。 解：8。提示：同样注意x，y小等于9。 4、 求能被26整除的六位数x1991y。 解：819910，119912，719914，619918。 5、 求能被33整除的六位数x8919y。 解：489192、789195。

6、 王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，问每个圆规多少元？

解：4.51元。

7、 求同时能够被9、25、8整除的七位数x1992yz。 解：6199200。

8、 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 解：90。

9、 个位是6，而且能被3整除的五位数有多少个？

解：3000个。（整除性问题中有部分问题与计数问题结合在一起，下面是两个简单的例子，其中后一个例子中，用到了容斥原理）。

10、 分母是1001的最简真分数有多少个？ 解：994个。

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2. 质数、合数和分解质因数

一．基本概念和知识

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数（因数），那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何

一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a11r?a2r2?a3r3??anrn，其中a

1、2、3

aa??an都是合数N的质因数，且a1

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

两个不同的质数肯定互质，但两个合数也会互质，比如4和9；还有任意两个连续自然数都是互质的。

二、基本方法：

1、熟记100以内的所有质数，这是小学数学的基本功： 2、100以内的质数的特征：都是6的倍数前后的数； 3、分解质因数是重要工具，熟练使用；

4、求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×??×(rn+1)

例题

例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？ 分析与解：

1既不是质数也不是合数。

2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去； 3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去； 类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去； 把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。

经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 这些质数同学们应当熟记！

细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，?的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是

11×A≤100（其中A为整数），

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显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2，6=2×3，8=23，9=3，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。

要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，?，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。

例2 判断269，437两个数是合数还是质数。

分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平2

方数K，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。

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因为269＜17=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。

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因为437＜21=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。

8

对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

例3 判断数1111112111111是质数还是合数？

分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。

根据整数的意义，这个13位数可以写成： 1111112111111

=1111111000000+1111111 =1111111×（1000000+1） =1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。 这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。 例4：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵ 210=2×3×5×7

∴ 可知这三个数是5、6、7。

例5：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37

∵ 17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴ 所求的最大值是391。

例6：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。

因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例7：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（=3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。

这样，14×15=210=5×6×7。

∴ 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例8：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。

分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560，40×40×40=64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30~40之间。

6

解：42560=2×5×7×19

5

=2×（5×7）×（19×2） =32×35×38（合题意）

∴ 要求的三个自然数分别是32、35和38。

例9：有三个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10。求a×b×c是多少？ 解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。 ∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5)

222222

∴ a×b×c=2×3×5

22

∴ (a×b×c)=(2×3×5) ∴ a×b×c=2×3×5=30

222222222

在例9中有a=2,b=3,c=5，其中2=4，3=9，5=25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

222222

如：1=1，2=4，3=9，4=16，?，11=121，12=144，?其中1，4，9，16，?，121，144，?都叫做完全平方数。

下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。

9

例：把下列各完全平方数分解质因数。 9，36，144，1600，275625。

2222462242

解：9=3 36=2×3 144=3×2 1600=2×5 275625=3×5×7 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

反之，如果把一个自然数分解质因数之后 ，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

2222

如上例中，36=6，144=12，1600=40，275625=525。

例10：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。 分析 ∵ a与1080的乘积是一个完全平方数。

∴ 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。

33

解：∵ 1080×a=2×3×5×a，

33

又∵ 1080=2×3×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 ∴ a必含质因数2、3、5，因此，a最小为2×3×5。 ∴ 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。 答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。 例11：360共有多少个约数？

32

分析 360=2×3×5

223

为了求360有多少个约数，我们先来看3×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以1、2、2、2，

322

即得到2×3×5（=360）的所有约数。为了求3×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些

22

约数分别乘以1、3、3，即得到3×5的所有约数。

2

解：记5的约数个数为Y1，3×5的约数个数为Y2。

32

360（=2×3×5）的约数个数为Y3。 由上面的分析可知： Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，

显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。 因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。 所以，360共有24个约数。

2332

Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、2、2”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360=2×3×5

232

中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、3”中数的个数，也就是2×3×5中质因数3的个数

32

加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2×3×5中质因数5的个数加1。因此

Y3=（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）=24。

32

对于任何一个合数，用类似于2×3×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘积。 例12：求240的约数的个数。

411

解：∵ 240=2×3×5，

∴ 240的约数的个数是：

（4＋1）×（1＋1）×（1＋1）=20个， ∴ 240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？ 例13 1×2×3×?×100的末尾有连续多少个零？ 解：24个。

例14 1×2×3×?×999×1000的末尾有连续多少个零？ 解：249个。

例15 把若干个自然数1、2、3?乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？

解：55。

10

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习 题

1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有：24、57、63、87 质数有：13、29、41、79

2. 写出两个都是质数的连续自然数。 2和3

3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 9和15

4. 判断：

（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（×） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（×） （3）7的倍数都是合数。（×）

（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（√） （5）只有两个约数的数，一定是质数。（√） （6）两个质数的积，一定是质数。（×） （7）2是偶数也是合数。（×）

（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（×） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（√）

（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（√）

5. 在（ ）内填入适当的质数。 10＝（3）＋（7） 10＝（2）×（5）

20＝（2）＋（7）＋（11） 8＝（2）×（2）×（2）

6. 分解质因数。

65 56 94

5651365?5?13

76

25622821472944794?2?47

105

56?2?2?2?7

135

513527623819

87

327393

5105321776?2?2?19 135?5?3?3?3

93

105?5?3?7

12

387293933193?3?31 87?3?29

7.两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 这两个质数分别是3和15。

8. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（ ）。 13和31 37和73 79和97

9. 用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（375），最大是（735）。 可以这样想：（1）10以内质数有：2、3、5、7；（2）同时能被3、5整除，个位上数只能是5；这个三位数各数位之和也必须是3的倍数，所以只能用3和7。

10、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 105=1×105=3×35=5×21=7×15 共4种

11、五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。 55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11

12、自然数a乘338，恰好是自然数b的平方。求a的最小值以及自然数b。 338=2×13×13 a取2 a×338=2×2×13×13 b=2×13=26 13、 求10500的约数共有多少个？

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10500=2×5×3×7 故其约数个数是 （2+1）×（3+1）×（1+1）×（1+1）=48个

14、现有1，3，5，7四个数字,用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？ 11，13，17，31，37，53，71，73；

15、a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

17，5，3 提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一试算。 16、A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出一个满足要求的质数A。

5。 提示： A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+2，A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4五种情况，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，只能是余1、余2、余3、余4，所以A=5。

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3. 最大公因数、最小公倍数

一、基础知识：

约数和倍数： 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

最大公约数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，?，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

最小公倍数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，?，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

二、基本性质的性质：

1、 两个数都除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 5、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

6、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 三、基本方法：

1、写出一个数的约数的方法：成对写出； 2、求最大公约数基本方法：

1）、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来； 2）、短除法：先找公有的约数，然后相乘；

3）、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数； 3、求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。 ☆从两个数的最大公约数出发分析：

如果d是a、b的公约数，这d∣a，d∣b。则d的质因子应是a和b的公有的，而a、b所有公有的质因子构成的数即为最大公约数。

那么不难由质因子的互相归属关系得到下面的性质：

如果c是a、b的公约数，d是a、b的最大公约数，则c是d的约数―――[性质1] 不难对最小公倍数也做类似分析，则如果m是a、b的最小公倍数，则m的质因子恰好包括了a、b的质因子。

例1 、用辗转相除法求（5890，6327）。 答：19。

例2、育才中学初一（3）班有男同学27人，女同学18人，全班同学去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男、女同学都分别相等，至少应该租几条船？

解：（27，18） = 9（条） 答：至少要租9条船。

例3、 有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些水果最多可分成多少份同样的礼物？ 在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？

答：最多可分成40份同样的礼物每份礼发挥中有8个苹果，6个橘子，5个梨。

例4、某车站有开往甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆，到乙地的汽车每隔20分钟开出一辆，到丙地的汽车每隔50分钟开出一辆。如果三种车的头班车都在早6时开出，那么，最近在什么时间开往这三地的汽车又一次同时从该站发车？

答：11时。

例5、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个

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工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数，要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。

〔3，10，5〕=5×3×2=30 ∴ 各道工序均应加工30个零件。

30÷3=10（人） 30÷10=3（人） 30÷5= 6 （人）

答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。

例6、有一个数在700到800之间，用15、18和24去除。都不能整除。如果给这个数加1，就能同时被15，18和24整除。这个数是 。

解：这数加上1，是15，18，24的公倍数，因而是它们的最小公倍数[15，18，24]=360的倍数。由于这个数加个1在701到801之间，所以这个数是2×360-1=719。

例7、有一盒糖，如果按每4块一堆分开，结果多出1块；按每5块一堆分开，也多出1块；按每6块一堆分开，还是多出1块。问：这盒糖至少有多少块？

解：如果从何种拿走一块糖，那么剩下的糖分别按4块、5块、6块一堆分开，都是正好分完，即拿走一块后，剩下的块数，一定是4、5、6的公约数。由于题目的要求至少有多少块糖，所以应该是4、5、6的最小公倍数再加1。也就是说这盒糖至少有61块。

例8、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数。

解：60÷14 = 4??4 ，60÷11 = 5??5 ，60÷9 = 6??6

例9、四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数的和是多少？

例10、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是450，求这两个数的所有可能。 解：15，450 30，225 15，150 75，90

例11 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例12 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。

例13 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101

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×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

例14 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？

分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。

例15 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。

例16 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在 小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

接下来讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

（18，12）×[18，12]

=（2×3）×（2×3×3×2） =（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。

16

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即， （a，b）×[a，b]=a×b。

例17 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。 解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。

例18 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6，

由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

7×5=35和7×6=42。

例19已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

3

再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=2×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”

当a=60时，

b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24； 当a=120时，

b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

练习

学生__________

一、填空

1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）． 2、36和60相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是36和60的（ ）． 3、（ ）的两个数，叫做互质数．

4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（ ）． 二、判断（对的打“√”，错的打“×” ）．

1、互质数是没有公约数的两个数． （ ） 2、成为互质数的两个数，一定是质数． （ ） 3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数． （ ） 4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数． （ ） 三、解答题：

1． 五个连续自然数的和能分别被2、3、4、5、6整除，求这样的最小的一组数。 [2、3、4、5、6]＝60 60÷5＝12?五个连续自然数的中间数 ∴这五个连续的自然数为：10，11，12，13，14 答：这样的最小一组数是：10，11，12，13，14。

2． 把14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。

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14＝2×7 33＝3×11 30＝2×3×5 75＝3×5×5 39＝3×13 143＝11×13 169＝13×13 35＝5×7

169×33×14×75＝39×143×30×35 ????.30×35 ???14×75

3．甲、乙两个数的最小公倍数使90，乙丙两数的最小公倍数使105，甲丙两数的最小公倍数是126。那么，甲数是多少？

∵甲乙的最小公倍数90和甲丙的最小公倍数126中都含有甲数，∴排除乙丙的最小公倍数可求出甲。 （90，126）＝18 答：甲数是18。

4．一堆桔子，如果按10个或8个或7个一小堆地分，都多一个。这堆桔子至少有多少个？ [10、9、8、7]＝2520 2520＋1＝2521（个） 答：这堆桔子至少有2521个。

5． 有三根木条，第一根地长度是第二根的3倍，是第三根的一半。第三根比第二根长280厘米，把这三根木条锯成尽可能长，并且每根都相等的小段，不能有剩余。一共可锯成多少段？

把第二根木条长度看成是1份，则第一根木条长度是3份，第三根木条长度是6份。 280÷（6－1）＝56（厘米）?第二根 （56，168，336）＝56 56×3＝168（厘米）????第二根 . . . 56×6＝336（厘米）??第三根 . . . 1段 3段 6段 1＋3＋6＝10（段） 答：一共可锯成10段。

6． 6.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 根据：两个数的最大公因数×最小公倍数＝这两个数的积 4×252÷28=36

答：另一个数是36 7． 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

根据：两个数÷最小公倍数后所得的商互质，所以两个数的积÷31÷31的商就是两个互质的数的积

5766÷31÷31=6=1×6 =2×3

所以，这两个数分别是：31，186或62，93

8． 已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。 最小公倍数与最大公约数是倍数关系，所以他们的差也是最大公约数的倍数 同样，两个数的和也是最大公约数的倍数

所以，他们的最大公约数应该是54和114的公约数

（54，114）=6 54÷6=9 （这应该是两个数除以最大公约数的商的和，这两个商要互质） 114÷6=19 19+1=20 （这是最小公倍数除以最大公约数的商，这是两个数除以最大公约数的商的积）

分析得，两个数除以最大公约数的商分别是4，5.所以这两个数分别是24，30.

9． 将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

解： 首先将单位换算成厘米，长357厘米、宽105厘米、高84厘米。

要用料最省且小木块的体积总和最大，就是没有损耗，最好的情况是长、宽、高正好是小正方体的边长的倍数。

这样，我们就可以求长、宽、高的最大公约数来作为小正方体的边长。 （357，105，84）=21（厘米）

答：正方体的边长是21厘米时，用料最省且小木块的体积总和最大。

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10. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

6，10，15或10，12，15或10，15，18

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4. 同余问题

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，

，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样

就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7） “”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质 （1） （2）若 （3）若 （4）若性）

（5）若 如果 那么

（

的差一定能被k整除） （称为同余的可乘性） ，则

，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：

（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） ，那么，，

，则，则

（这称作同余的对称性）

（这称为同余的传递性） （

）（这称为同余的可加性、可减

这是为什么呢？

k也就是

的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。

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例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答：

假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以

，

，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的

最大公约数。

所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答：

如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

所以

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，是几？

分析与解答：

这个数除以13，商是有规律的。

这个数除以13，商的第100位是几？最后余数

商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”

的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。

余数是几呢？

则

21

所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

例4. 除以7，余数是几？ 分析与解答：

例5. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？ 分析：假设这个自然数为a 那么

这道题考虑的困难是它们的余数不相同。

如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：

一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：

105，210，315，??

分别被3，5，7除余2的数是 2，107，212，317，?? 最小的自然数是2。

回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？ 稍加变式，可以写成：

这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，?? 那么同时被3，5，7余8的数有： 8，113，218，323，?? 其中最小的自然数为8。

例6.在求51173526被7除的余数时，小明这样做： 所以余数是5

22

刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？ 分析与解答：

看了下面的算式，你就会明白的。

小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。

例7. 除以3的余数是几？为什么？ 分析与解答：

在上式的加项中，数是几。

由于 因此

显然可以被3整除，因此只须计算

被3除余

由此可知，只须计算由于

所以余数是1

，所以

被3除的余数，它又等于被3除的余数。

练 习

1、有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？

解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即 2001-1000=1001=7×11×13 1000-967=33=3×11

2001-967=1034=2×11×47

这个整数是这三个差的公约数11. 答：这个整数是11.

2.求2008的最小同余数.

解：可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成： 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6. 答：2008除以7的余数是6.

3.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？

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解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即 2001-1000=1001=7×11×13 1000-967=33=3×11

2001-967=1034=2×11×47

这个整数是这三个差的公约数11. 答：这个整数是11.

4、669977除以3的余数是多少？

解：?3669933 669933=669977-11

?669977?11 （mod3）

余数是1

5. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n. 解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即

2232-2001=231=3×7×11

由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件. 答：n是7或11或21或33或77或231.

6.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.

解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.

答：这个数是47.

此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.

7、分别求1111??????1除以7，6，3的余数 ?????1994个11）?7111111 1994?6?332余2

?所求余数就是11?7的余数4

2）从高位到低位的商对应的余数是：5，3，1，5，3，1，5，3，1。。工1993个。1993?3?664余1，

故余数是5

3）能被3整除的数，数位上数字的和是3的倍数，数位上数字的和是1994，

11??????1?1994?2 （mod3），所以余数是2 ?????1994个18、 利用同余的性质求下列各题的余数。

437?309?1993 除以 7

2

24 45除以11

21被61除 3除以19

169、求47?52?279的末位数字。

3581244735?5281?27924?74?20?3?24?20?1?94?5?4 （mod10）

?73?21?94?3?2?1?5 24

10、 把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112??199419951996，试求这一多位数除以9的余数．

分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．

解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），??，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：

（1＋9＋9+9）×1000=28000

而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：

1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81

所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:

28000-81=27919

27919÷9=3102?1

所以123456789??199419951996除以9的余数是1．

另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221?7，最后7个自然数为1990，1991，1992，?1996，这7个数的所有数字之和为：

1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋?+6=154

154÷9=17?1

所以123456789??199419951996这个多位数被9除余1．

为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，?，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，

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就等于这9个数之和0+1+2+?+8除以9的余数，由于0＋1＋2+?＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．

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5. 奇偶性

整数按照能不能被2整除，可以分为两类： （1）能被2整除的自然数叫偶数，例如

0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，? （2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，?

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

2n22

因为（2n）=42=4×n，所以（2n）能被4整除；

因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。 （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数？

1+2+3+4+?+1997+1998。

分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析与解：等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。

例3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？

分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：

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其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。

另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。

奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。

例4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。

分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。

把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。

A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。

握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。

例5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？

分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。

例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？

分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。 这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。

要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。

要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。 例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

分析与解：当m是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。

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当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：

由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。

综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

例4 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，?，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？

分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。

以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。 题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。

例5 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？

分析与解：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。

从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：

（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。

综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。

例6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，? 到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？

分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。 1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，?

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这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，??

容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333??1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。

练习

1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？ 2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？

3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。

4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？

5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？

6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。

7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？

8.在11，111，1111，11111，?这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？ 9.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，?，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？

10.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

11.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，?问：最右边的一个数是奇数还是偶数？

12.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？

13.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

14.将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？

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答案：

1.对。提示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如111?11的数除以4的余数与11除以4的余数相同，余3，所以不是平方数。

2.5个。提示：与例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其中有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。

3.3次。提示：见下表。

4.偶数。

提示：这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，? 这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，??

从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23??1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。 5.偶数。

提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。 6.不能。

提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。 7.偶数。

提示：如果是奇数，那么分到奇数件礼品的小朋友得到的礼品总数是奇数，而分到偶数件礼品的小朋友得到的礼品总数是偶数，于是得出所有礼品总数是奇数，与888件礼品矛盾。

8五个奇数的和不可能等于22。

9.与例3类似，这位同学计算有错误。 10.甲胜。

提示：七个整数中，奇、偶数的个数肯定不等，如果奇（偶）数多，那么至少有一列的两个数都是奇（偶）数，这列的差是偶数，七个差中有一个偶数，七个差之积必是偶数，所以甲胜。

11.偶数。

提示：因为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。又因为写了偶数封信的人写信的总数是偶数，所以写了奇数封信的人写信的总数也是偶数。因为只有偶数个奇数之和是偶数，所以写奇数封信的人数是偶数。

12.奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。 13.不可能。

提示：假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现了矛盾。所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。

14.提示：如果每个座位上、下午坐的都是同一个学校的学生，那么每个学校来看电影的学生数应当是偶数，与每所学校有1999名学生来看电影矛盾。这个矛盾说明必有上、下午坐的是不同学校的学生的座位。

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6. 行程问题 行程问题（一）

相遇问题

1、基本关系式：速度×时间＝路程 ； 路程÷速度和＝时间 ；路程÷时间＝速度和 2、中点问题

例：李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地每小时行4千米，两人同时出发，在离甲乙两地中点1千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米？

解题关键：谁走的路程多?多了多少?见图

1×2÷（5－4）＝2（小时）??相遇问题 （5＋4）×2＝18（千米）??两地路程 答：甲乙两地相距18千米。

练与讲：甲乙两人上午8时于东村到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即原路返回，在距西村15千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米？

15×2＝30（千米）??甲比乙多行路程 30÷6＝5（小时）??相遇时间

因为上午8时到中午12时，经过时间为12－8＝4小时??甲由东到西的时间

所以加由西到与乙相遇走了小时，1小时甲所行路程为15，则： 15×4＝60（千米）??东西相距 答：东西两村相距60千米。 3、二次相遇问题

例：A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次是在离甲站50千米处相遇，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，到达乙、甲站后立即原路返回，第二次是在离乙站30千米处相遇。问：如此下去，A、B两车第三次相遇在何处？

因为两车同时从两地相对开出到相遇，共同行完1个全程。 所以两车第二次相遇后共同行完3个全程。

那么，两车第三次相遇应共同行完（5）个全程。则解题关键应是全程是多少千米？

由两车第一次相遇离甲站50千米可知，A车、B车共同行完一个全程时A车行了50千米。 50×3＝150（千米）??第二次相遇时A车所行路程

150－30＝120（千米）??全程 想：第三次相遇时，两车合行了5个全程，这时50×5÷120＝2??10（千米） A车是由那个站（甲）开出的

答：第三次相遇是在离甲站10千米处。

练：客货两车同时从甲乙两地相对开出，第一次相遇在离乙地80千米的地方，相遇后继续行驶，均在达到对方出发地后立即返回，第二次相遇在在离甲地50千米处，求甲乙两地间的距离？

因为第二次相遇说明两车共同行驶了三个全程 所以80×3－502＝190（千米） 答：甲乙两地间相距190千米。

例1 A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？

分析 我们可以设乙车开出后X小时和甲车相遇。相遇时，甲车共行了38×（X＋0.5）千米，乙车共行了

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42X千米，用两车行的路程和是259千米来列出方程，最后求出解。

解：设乙车开出X小时和甲车相遇。 38×（X＋0.5）＋42X=259

解得 X=3 即：乙车开出3小时后和甲车相遇。

例2 一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。

分析 如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时，则返回时用了（7.5－X）小时，由于往、返的路程是一样的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出X值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。

解：设去时用X小时，则返回时用（7.5－X）小时。 20X=30（7.5－X） 解得 X=4.5

20×4.5=90（千米）

即：甲、乙两地间的路程是90千米。

例3 东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？

分析 设行了X分钟，这时甲行50X米，乙行60X米，丙行70X米。甲和乙之间的距离可用60X－50X表示，乙和丙之间的距离可用5400－70X－50X表示。由于这两个距离相等，所以有60X－50X=5400－70X－50X，求出此方程的解就得到所求问题。

解：设X分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 60X－50X=5400－70X－50X 解得 X=40

即：40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。

例4 快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达B地。求A、B两地间的距离。

分析 我们可以设快车行驶了X小时，那么，慢车就行驶了（X＋3）小时，利用快、慢两车所行的路程相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度×时间=路程”这一关系求出A、B两地间的距离。

解：设快车行驶了X小时。 54X=48×（X＋3） 解得 X=24

54×24=1296（千米）

即：A、B两地相距1296千米。

例5 一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。求他后一半路程用了多少时间？

分析 因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米，即在跑前半圈时的速度都是每秒5米，跑前半圈要用180÷5=36秒。如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2圈。

设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑720米。 5X＋4X=720 解得 X=80

80－36=44（秒）

即：他后一半路程用了44秒。

追及问题

1、基本关系式：速度差×追及时间＝路程差；路程差÷速度差＝追及时间； 路程差÷追及时间＝速度差

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1、追及 后追前，后速一定比前速快

例：王萍以每小时4千米的速度步行去县城，出发4小时后，陆素骑摩托车从同一地点出发出发沿同一路线去追王萍，每小时行44千米，问：陆素出发后几分钟追上王萍？

因为：路线差为4×4 速度差为44－4

所以：（4×4）÷（44－4）＝0.4小时＝24分钟 答：陆素出发后24分钟追上王萍。

练：A汽车每小时行驶50千米，B汽车每小时行驶40千米，这两辆汽车同时从甲城出发，沿同一路线送货到乙城，A汽车在途中发生故障，停车2小时，结果A、B两车同时到达乙城，求甲乙两城相距多少千米？

A车停车2小时，可理解为B车先走2小时，（路程差） 40×2÷（50－40）＝8小时??追及时间 50×8＝400（千米） 答：甲乙两城相距400千米。

练与讲：一列货车从甲城开往乙城，每小时行50千米，货车开出2小时后，一列客车也从甲城开往乙城，每小时行80千米，为保证安全行车，规定两车的距离不应小于10千米，按此规定，货车最晚应在开出后几小时停下来让客车通过？

货车先开2小时，则路程差为50×2，但是规定两车间距不应小于10千米，那么，路程差应为（50×2－10）千米

（50×2－10）÷（80－50）＝3小时 追及时间 3＋2＝5小时??停车让道时间

答：货车最晚应在开出后5小时停下来让客车通过。 3、转换

例：甲乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到目的地1小时，求两地间的距离是多少千米？

因为：甲车修车3小时可转化成甲车比乙车迟开3小时，由甲车比乙车迟到1小时，可知，乙停车了甲还行驶了1小时。则可转为乙车比原出发时间迟开小时，那么，就相当于甲车比乙车迟开2小时。

35×2÷（40－35）＝14（小时）??甲行驶时间 40×16＝560（千米）

答：两地间的距离是560千米。

练：AB两地相距20千米，甲乙二人从A地出发去B地，。甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，甲在途中停了一段时间修车，乙到达B地后，甲离B地还有2千米。问：甲修车用了多少千米？

20÷10＝2（小时）??甲不修车需要时间 20÷5＝4（小时）??乙行全程时间 2÷10＝0.2（小时）??乙到时，甲还要的时间 4＋0.2＝4.2（小时）??甲共用时间 4.2－2＝2.2（小时）

答：甲修车用了2.2小时。

例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？

分析 原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60=24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。

例2 一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？

分析 途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后，为了按时到达乙地，每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能到达乙地，汽车是在离甲地360－225=135千米处修车的。

例3 甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙？

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分析 当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行15＋15＋5=35分钟，行了60×35=2100米。甲骑车每分钟比乙步行多行（360－60）米，用2100米除以（360－60）米就得到甲骑车追上乙的时间。

例4 甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各是多少？

分析 出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米，就能算出甲骑车的速度是（700＋400）÷2=550米，乙跑步的速度是700－550=150米。

例5 甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。

分析 甲和乙相遇后，再过3分钟甲又能和丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行（100＋75）×3=525米。而乙每分钟比丙多行90－75=15米，多行525米需要用525÷15=35分钟。35分钟甲和乙相遇，说明A、B两地之间的距离是（100＋90）×35=6650米。

练 习

1、甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度为每小时15千米，乙车速度为每小时15千米。两人相遇后，距离两地中点3千米，求两地相距多少千米？

3×2÷（15－13）＝3（小时）??相遇时间 （15＋13）×3＝84（千米） 答：两地相距84千米。

2、一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米，1小时后，另一列火车以同样速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。问：甲乙两地相距多少千米？

6－1.5＝4.5（小时）??甲车行的时间 4.5－1＝3.5（小时）??乙车行的时间 60×（4.5＋3.5）＝480（千米） 或（60＋60）×3.5＋60＝480（千米） 答：甲乙两地相距480千米。

1、 甲乙两车同时从AB两地相向而行，在距A地60千米处相遇，他们各自到达对方出发点后立即返回。途中又在距A地40千米处相遇，求：A、B两地间距离？

60×3＝180（千米）??二次相遇甲行路程

180＋40＝220（千米）??如果把乙走的路程给甲，甲则行了两个路程 220÷2＝110（千米）

答：A、B两地相距110千米。

4、A、B两地相距960千米，甲、乙两车同时从A地出发开往B地，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米。甲车达到B地后休息了0.5小时，又以原速度返回A地，那么，两车会在离B地多少千米处相遇？

960÷80＝12（小时）??甲行全程时间

60×（12＋0.5）＝750（千米）??乙行的路程

（960－750）÷（80＋60）＝1.5（小时）??相遇时间 80×1.5＝120（千米）

答：两车在距离B地120千米处相遇。

5、两辆卡车为王村送化肥，第一辆车以每小时30千米的速度从仓库出发，12分钟后第二辆汽车以每小时

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40千米的速度也从此仓库出发，结果两车同时到达王村。求仓库距王村多少千米？

12分＝0.2小时

30×0.2＝6千米??路程差

6÷（40－30）＝0.6（小时）??追及时间

40×0.6＝24(千米) 或30.0.6＋6＝24（千米） 答：仓库到王村相距24千米。

6、兄弟二人同时沿同一路线从东城去西城，哥哥每天走24千米，弟弟每天走18千米，后来哥哥因有事在途中停留了4天，结果比弟弟晚到1天，求东西两城相距多少千米？

18×（4－1）＝54（千米） 54÷（24－18）＝9（天） 24×9＝216（千米）

答：东西两城相距216千米。

7、AB两城相距380千米。客车和货车分别从西城同时出发，相对而行，经过4小时两车相遇，货车比客车每小时快5千米。求这两辆车每小时各行多少千米？

380÷4＝95（千米）??速度和

（95－5）÷2＝45（千米）??客车速度 45＋5＝50（千米）??货车速度

答：客车速度为每小时45千米，货车速度为每小时50千米。

8、甲乙两车同时从A地出发，沿同一路线往返于A、B两地间。甲车每小时行4千米，乙车每小时行3千米，甲在距B地4千米的地方遇到乙。求AB两地的距离？

4×2÷（4－3）＝8小时

4×8－4＝32－4＝28（千米）

答：AB两地相距28千米。

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行程问题（二）

流水行程

船在流水中航行与在静水中航行是不同的，它的航行速度要受到水流速度的影响。 想一想：

1．小河里的水，每分钟流动lO米，用纸摺的小船放在小河里，纸船会怎样运动?

2．小河里的水，每分钟流动10米，把一艘电动玩具的小船放在河里，顺流而下，每分钟前进的路程和纸船相同吗?

准备题：

船在静水中，每小时行驶30千米，水流速度每小时4千米： (1)船顺水而下，每小时行多少千米? 30+4=34(千米／小时)

(2)船逆水而上，每小时行多少千米? 30-4=26(千米／小时) 由准备题可以得到：

船顺水速度 = 船速 + 水流速 船逆水速度 = 船速 - 水流速

注意：这里的船速指船在静水中的航行速度·

例l 已知甲、乙两个码头相距896千米，一艘快艇在静水中每小时行60千米，水流速度每小时4千米。那么

(1)快艇从甲到乙顺流而下，经过几小时到达乙码头? (2)快艇从乙到甲逆流而上，经过几小时到达甲码头? 解：(1)896÷(60+4)=14(小时) (2)896÷(60-4)=16(小时) -

答：(1)快艇从甲到乙需14小时；(2)快艇从乙到甲需16小时。

例2一只船逆水航行216千米需要12小时，这条河水流速每小时3千米。那么这只船顺水航行每小时行多少千米？

分析：船的逆水速度+水流速=船速 解：船速：216÷12+3=2l(千米／小时) 顺水速度：2l+3=24(千米／小时) ．

试一试：一条河水流速为每小时2千米，A、B两个码头间的河道长224千米，一艘游艇从A出发顺流而下到码头B用了7小时．那么它们从码头B回到码头A需要多少小时?

例3 一只船顺水航行，每小时2l千米，逆水航行每小时行15千米。那么这条船在静水中的速度和水流速各是每小时多少千米?

分析：船的顺水速度和逆水速度分别是船速和水流速的和与差。可以按和差问题的方法求解。 解：船速：(2l+15)÷2=18(千米／小时) 水流速：2l-18=3(千米／小时)

答：船速每小时18千米；水流速每小时3千米。

例4 甲、乙两港间水路长240千米，一艘轮船从上游甲港航行到下游乙港需要10小时；从乙港返回甲港需要12小时。求船在静水中的速度和水流速。

解：船顺水速度：240÷lO=24(千米／小时) 船逆水速度：240÷12=20(千米／小时) 船速：(24+20)÷2=22(千米／小时) 水流速：24—22=2(千米／小时)

答：船速每小时22千米；水流速每小时2千米。

例5轮船在静水中每小时行20千米，轮船从甲港逆水航行9小时，到达距甲港144千米的乙港。那么再从乙港返回甲港需要多少小时?

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解：船逆水速度：144÷9=16(千米／小时) 水流速：20 - 16=4(千米／小时) 从乙港返回甲港时间 144÷(20+4)=6(小时) 答：从乙港返回甲港需要6小时。

例6一艘客轮从武汉到九江，顺水每小时行26千米，从九江返回武汉逆水而行用了13小时。已知水流速每小时3千米，那么武汉与九江之间的水路长多少千米?

解：船逆水速度：26-3-3=20(千米／小时) 武汉与九江距离：20×13=260(千米)

例7某人在河中游泳逆流而上，游到某地丢失了水壶，水壶顺流而下，经过2小时他才发现水壶丢失，立即返回寻找，结果在离丢失水壶地点下游8千米处找到水壶．那么此人返回寻找水壶用了多少小时? 水流速每小时多少千米?

分析；丢水壶后，水壶漂流速度就是水流速，人逆水速度是人速-水流速，所以每小时人与水壶之间相距恰好是人1小时游泳路程。

人返甲寻找水壶时，人顺水速度是人速+水流速，水壶速度仍是水流速，所以每小时人能追上水壶的距离也是人l小时游泳路程。

解：丢水壶后2小时人与水壶距离

人逆水速度×2+水流速×2 = 人速×2 - 水流速×2 + 水流速×2 =人2小时游泳路程 人每小时追行水壶的路程 =人顺水速度 - 水流速 =人游泳1小时路程． 所以，人返回2小时找到水壶， 这时水壶已漂流(2+2)小时 水流速度：8÷(2+2)=2(千米/小时)

答：人返回2小时找到水壶；水流速为每小时2 千米

火车行程问题

1、基本关系及基本现象 同向行驶

（1）追上（头尾齐）——超过（A长＋B长）÷（A速－B速）＝时间 （2）头相齐——超过 A长÷（A速－B速）＝时间 （3）尾相齐——超过 B长÷（A速－B速）＝时间 相向行驶：

（1）相遇——错过 （A长＋B长）÷（A速＋B速）＝时间 （2）头相齐——尾相齐 A长÷（A速＋B速）＝时间

（3）头尾齐——尾头齐 （A长－B长）÷（A速＋B速）＝时间 （4）尾头齐——两尾齐 B长÷（A速＋B速）＝时间 2、解决问题

例：慢车车身长125米，车速每秒17米，快车车身长140米，车速每秒22米，慢车在前，快车在后面从追上到完全超过需要多少秒？

据关系（1）可知：（125＋140）÷（22－17）＝53（秒） 答：快车从追上到超过慢车需要53秒。

练：长150米的的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问：火车穿越这条隧道（从入隧道开始到完全离开）需要多少秒？

（150＋300）÷18＝25秒 答：火车穿越这条隧道需要25秒。

例：一列火车通过一座长1260米的桥（车头上桥到车尾离开）用了60秒，它穿越长2010米的隧道，用了90秒，问：这列火车的车速和车身长各是多少？

（2010－1260）÷（90－60）＝25米 路程差 时间差 车速

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或25×60－1260＝240米，25×9－2010＝240米 答：车速为每秒25米，车身长240米。

讲与练：两列火车相向而行，甲车每小时行36米，乙车每小时行54米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾离开他的车窗时共用了14秒，求：乙车的车长？

此题可以理解为：乘客以每小时36千米的速度与乙车以每小时54千米的速度，从同一起点同时作反向运动，因此，可用相遇问题的基本关系式解。

36000÷3600＝10（米）??甲每秒速 54000÷3600＝15（米）??乙车速 （10＋15）×14＝350（米）??乙车身长 答：乙车车身长350米。

例1 甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？

分析 甲火车从追上到超过乙火车，比乙火车多行了甲、乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18－13=5米，因此，甲火车从追上到超过乙火车所用的时间是：

（210＋140）÷（18－13）=70秒。

例2 一列火车长180米，每秒钟行25米。全车通过一条120米的山洞，需要多长时间？

分析 由于火车长180米，我们以车头为准，当车进入山洞行120米，虽然车头出山洞，但180米的车身仍在山洞里。因此，火车必须再行180米，才能全部通过山洞。即火车共要行180＋120=300米，需要300÷25=12秒。

例3 有两列火车，一车长130米，每秒行23米；另一列火车长250米，每秒行15米。现在两车相向而行，从相遇到离开需要几秒钟？

分析 从两车车头相遇到两车车尾相离，一共要行130＋250=380米，两车每秒共行23＋15=38米，所以，从相遇到相离一共要经过10秒钟。

例4 一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。求这列火车的速度。

分析 火车通过大桥时，所行的路程是桥长加火车的长，而通过电线杆时，行的路程就是火车的长度。因此，3分钟比1分钟多的2分钟内，就行了2400米，火车的速度是每分钟行2400÷2=1200米。

例5 甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙车；若两列车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙车。甲列车和乙列车各长多少米？

分析 根据题意可知：甲列车每秒比乙列车多行20－14=6米，当两列车齐头并进，甲列车超过乙列车时，比乙列车多行的路程就是甲列车的车长。6×40=240米；当两列车齐尾并进，甲列车超过乙列车时，比乙列车多行的路程就是乙列车的车长，即6×30=180米。

练习

1、 一只船在静水中每小时行8千米，逆水行4小时航行24千米，求水流速度是多少？

【分析】一只船在静水中的速度就是这只船的速度。逆水行4小时航行24千米，可求这只船逆水航行的速度。由于逆水速度是船速减去水速的结果，所以知道了船速与逆水速度，用船速减去逆水速度可以得出水速。

解：逆水速度＝24÷6＝6（千米∕小时） 水流速度＝8－6＝2（千米∕小时） 答：水流速度是2（千米∕小时）

2、 一条船顺水而行，5小时行60千米，逆水航行这段路程，10小时才行到达，求船速与水流速度。 【分析】根据顺水航行的路程和时间，可以求出顺水速度，根据逆水航行的路程和时间，可以求出逆水速度。由于船速与水速是大数、小数的关系，顺水速度与逆水速度又是和与差的关系，运用和差问题的数量关系，即可求出船速与水流速度。

解：顺水速度＝60÷5＝12（千米/小时） 逆水速度＝60÷10＝6（千米/小时）

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船速＝（12＋6）÷2＝9（千米/小时） 水流速度＝（12－6）÷2＝3（千米/小时）

答：船速为9千米/小时，水流速度为3千米/小时。

3、快车每秒行18米，慢车每秒行10米，这两辆火车同时同向齐头行进，经过10秒，快车超过慢车；如果两车车尾相齐行进，则7秒后，快车超过慢车。求两列火车的车身长各是多少？

（18－10）×10＝80（米）??快车长 （18－10）×7＝56（米）??慢车长

答：快车车身长80米，慢车车身长56米。

4、张师傅站在铁路旁，火车从头到尾经过他的身旁，共用了24秒；李师傅站在站台上，火车从进入站台到车尾离开站台，共用了50秒，已知车站站台长325米，火车匀速行驶，求火车的速度和车身长？

325÷（50－24）＝12.5（米）??车速 12.5×24＝300（米）??车身长 答：火车每秒行12.5米，车身长300米。

5、一列火车通过一座长456米的桥需要80秒，用同样的速度通过一条长399米的隧道需要用77秒。这列火车每秒行多少米?车身长多少米？

（456－399）÷（80－77）＝19米??车速 19×80－456＝1064米??车身长 或19×77－399＝1064米

答：这列火车每秒行19米，车身长1064米。

6、在与铁路平行的公路上，有一步行的人和一骑自相车的人同向前进，行人每秒走1米，骑车的人每秒行3米。在铁路上有列火车从这两人后面驶来，火车超过行人用了22秒，超过骑车的人用了22秒，求这列火车的长度是多少米？

（3×26－1×22）÷（26－22）＝14米??车速 （14－3）×26＝286米??车身长 或（14－1）×22＝286米 答：火车长286米。

7、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。问：该列车与另一列长320米、速度为64.8千米/时的列车错车而过需要多少秒？

答案：15秒

8、一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

答案：280÷（385÷11）＝8（秒）.

提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.

9、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

答案：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒）， 某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒） 某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），

两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

10、甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？

答案： 从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）。 从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）。 船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）。

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水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）。

11、两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

答案：（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）。

12、某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？

答案：船速：1000÷4=250（米/分）。

相遇时间：45000÷250=180（分）=3（小时）

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