《数学模型》习题解答

《数学模型》习题解答

1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要

组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；

（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： A B C

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

p1?235, p2?333, p3?432, 方法一（按比例分配）

1 2 3 4 5 235 117.5 78.3 58.75 ? 333 166.5 111 83.25 ? 432 216 144 108 86.4 第二章(1)（2008年9月16日）

?pi?13i?1000.

q1?p1N?pi?13?2.35, q2?p2Ni?pi?13?3.33, q3?p3Ni?pi?13?4.32

i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

第一章作业解答第 1 页 共 56 页

n1?2, n2?3, n3?4

第10个席位：计算Q值为

235233324322Q1??9204.17, Q2??9240.75, Q3??9331.2

2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5

方法三（d’Hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2, n2?3, n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.

pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的

pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接近. nini 再考虑N?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

宿舍 （1） （2） （3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 （1） （2） （3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15 总计 10 10 10

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得

?t0vdt?2?k?(r?wkn)dn

0n2?rk?wk22n2? vt?2πk(r n ?wk) ? t?n?n.

2vv《数学模型》作业解答

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获

第一章作业解答第 2 页 共 56 页

得的功率P与v、S、?的关系.

解: 设P、v、S、?的关系为f(P,v,s,?)?0， 其量纲表达式为: [P]=MLT2?3, [v]=LT?1,[s]=L,[?]=ML,这里L,M,T是基本量纲.

2?3量纲矩阵为：

1?2?10A=????3?1(P)(v)

齐次线性方程组为：

2?3?(L)01??(M) 00??(T)(s)(???2y1?y2?2y3?3y4?0? ?y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲Pi定理得

??P?1v3s1?1， ?P??v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，

用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=LMT，[?]=LMT，

0-1

-3

0

[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

量纲矩阵为

?1?3?11?(L)?0?(M)110?A=? ???10?1?2(T)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即

? y1-3y2-y3?y4?0? ?0 ?y2?y3 ?-y -y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲Pi定理 得

*??v?3??1?g. ?v??3?g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系

第一章作业解答第 3 页 共 56 页

数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

[v]=LMT，[?]=LMT，[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[?]=LM0T0 ，[g]=LMT

0-1

-3

0

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为

?1?0A=????1(v)齐次线性方程组Ay=0 即

?(L)?(M)?

00?1?2?(T)?(?)(?)(?)(g)1?3?101110?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0? 的基本解为

11?y?(1,?,0,0,?)?122

?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量

??1?v??1/2g?1/2 ??3/2?1?1/2??g??2??即 v??1) ?g?1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2 ?

???g?(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

f(t,l,m,g,k)?0

其量纲表达式为：

[t]?L0M0T,[l]?LM0T0,[m]?L0MT0,[g]?LM0T?2,[k]?[f][v]?1?MLT?2(LT?1)?1?L0MT?1， 其中L，M，T是基本量纲.

量纲矩阵为

第一章作业解答第 4 页 共 56 页

?0?0A=???1(t)?(L)?(M)?

00?2?1??(T)(l)(m)(g)(k)10011001齐次线性方程组

y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为

11?Y?(1,?,0,,0)?122 ?11?Y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量

?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2?lmgk??2

∴t?

kl1/2l ?1, ?1??(?2), ?2?gmg1/2∴t?lkl1/2?(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg' 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；

l?kl?1/2l,l;m,m. 又t???() 1/2gm?g''当无量纲量

m?l?t?l?gl?时， 就有 ?. ???mltgll《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批

量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．

10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

第一章作业解答第 5 页 共 56 页

C(T)?c1c2rT??kr T2

ccrdC??12?2 dT2T 令

dC?0 ， 解得 T*?dT2c1 c2r2c1r c2 由Q?rT ， 得Q??rT??与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

20 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

1 C(T,Q)?T??c2Q2c32c??(rT?Q)?kQ?1?

2r2r??c1c2Q2c3rc3Q2kQ?C??2????2 22?T22rTT2rTT

cQk?Cc2Q??c3?3? ?QrTrTT??C?0???T 令? ， 得到驻点：

?C?0???Q???? ??Q????T??2c1c2?c3k2?rc2c3c2c322c3kr2c1rc3kr??c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，

k?r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间?0?t?T0?一边生产一边销售，后来的

一段时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和

第一章作业解答第 6 页 共 56 页

k?r的情况.

解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：

O ng g(t) k?r r T0 T Tt (k?r)T0?T

2 贮存费为 c2lim?t?0?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2i?10又? (k?r)T0?r(T?T0) ? T0?rr(k?r)T?TT , ? 贮存费变为 c2? k2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

c1c2r(k?r)T2c1r(k?r)T???c2 C(T)? T2kTT2k

cdCr(k?r)??12?c2. dT2kTdC?0 , 得T??dT 令2c1k

c2r(k?r)2c1k

c2r(k?r) 易得函数C(T)在T?处取得最小值，即最优周期为： T?? 当k??r时，T???2c1 . 相当于不考虑生产的情况. c2r 当k?r时，T?? . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）

3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下

第一章作业解答第 7 页 共 56 页

假设: ?(b)?k， b?1中的1是防止b?0时???而加的. 分母b?1c1?t12c1?2t12(b?1)c2?t1x(b?1)总费用函数C?x?????c3x

22(kx??b??)kx??b??最优解为 x??ckb12?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)??

k2c3k2?5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设

q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售期

分为0?t?T2和T2?t?T两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，使

销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0，再求p1,p2的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为

T??a?bp1,0?t?2 x??

Ta?bp2,?t?T?2?又? q(t)?q0??t.于是总利润为

?(p1,p2)??T20?p1?q(t)?(a?bp1)dt??T?p2?q(t)?(a?bp2)dt

2TTT?2??2???=(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?T

2?2???02p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2??)?(a?bp2)(??) =(a?bp1)(228228??p1Tq0T?T2T??b(??)?(a?bp1) ?p12282p2Tq0t3?T2??T??b(??)?(a?bp2) ?p22282令?????0,?0, 得到最优价格为: ?p1?p2第一章作业解答第 8 页 共 56 页

?1??T?p?a?b(q?)?0??12b?4?? ??p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4????在销售期T内的总销量为

Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2) 2于是得到如下极值问题：

p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)

228228s.t aT?bT(p1?p2)?Q0 2利用拉格朗日乘数法，解得：

aQ0?T?p??1b?bT?8 ?aQ0?T?p2???bbT8?即为p1,p2的最优值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？

解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费c1＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费c2＝0.18（元）.又现在的订货周期T0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：C(T)?得：C(T)?c11?c2rT?kr T22500?9T?100k TdC2500

??2?9dTT

第一章作业解答第 9 页 共 56 页

令

dC?0 ， 解得：T*?dT*250050 ?935050（即订货周期为）时，总费用将最小. 333?250050*?9??100k＝300＋100k 又C(T)?5032500?9?30?100k=353．33＋100k C(T0)?302C(T0)－C(T*)＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33.

350*故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T=，能节约费用约53．33元.

3 由实际意义知：当T?

《数学模型》作业解答

第四章（2008年10月28日）

1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克, B原料5千克；一件乙产品用A原料2千克, B原料4千克.现有A原料20千克, B原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？

解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：

max S=20x+30y

?x?2y?20? s.t. ?5x?4y?70

?x,y?0,x,y?Z?这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解

可行域为：由直线l1：x+2y=20, l2:5x+4y＝70

l2 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.

易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x S取最大值.

?x?2y?20?x?10 由? 解得?

5x?4y?70y?5?? 此时 Smax＝20?10?30?5＝350（元）

第一章作业解答第 10 页 共 56 页

2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表： 货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13

?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内平

行移动x2 .

l1

l2

l

易知：当l过l1与l2x1

的交点时，z取最大值

由??5x1?2x1?4x2?24?5x2?13 解得 ??x1?x2?4?1

zmax?20?4?10?1?90.

3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单

第一章作业解答第 11 页 共 56 页

位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.

解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：

max S=3x +2y

?2x?3y?100? s.t. ?4x?2y?120

?x?6,y?12,x,y?Z?这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解

可行域为：由直线l1：2x+3y=100, l2:4x+2y＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.

直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时, S取最大值.

?2x?3y?100 由? 解得

4x?2y?120? ??x?20.

?y?20 Smax＝3?20?2?20＝100.

《数学模型》作业解答

第五章1（2008年11月12日）

1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明： （1）若s0?1?,则i(t)先增加，在s?1?处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少至

第一章作业解答第 12 页 共 56 页

s?.

（2）若s0?1?,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s?.

解：传染病的SIR模型（14）可写成

?di?dt??i(?s?1) ?

ds????si?dtdsds由???si,知?0. s(t)单调减少. 而s(t)?0. ? lims(t)?s?存在.

t??dtdt故s(t)单调减少至s?.

（1）若s0? 当1?. 由s(t)单调减少. ?s(t)?s0.

di?0,i(t)单调增加;

?dt1di ??0,i(t)单调减少. 当s?时,?s?1?0. ?dt?s?s0时,?s?1?0. ?即limi(t)?0. 又由书上(18)式知i??0. t??1di?0. ?i(t)达到最大值im.

?dt11di从而?s-1?0. ?0. （2）若s0?,则s?t??, ??dt 当s?1时, ?i?t?单调减少且limi?t??0.即i??0.

t??4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

a?4. b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.

解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00?第一章作业解答第 13 页 共 56 页

?0?a?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???

?b0???a?E?A???2?ab?0. ??1,2??ab

b???2??2???? ，????1??1??2???C2??1??e????1,?2对应的特征向量分别为??x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得

abtabt.

?x?x?t???0?y0?e?2?dybx?. dxayabt?x???0?y0?e??2?abt ???2?

又由?1?可得22其解为 ay2?bx2?k, 而k?ay0?bx0 ???3?

22ay0?bx0kb3(1) 当x?t1??0时，y?t1????y01??y0.

aaa2即乙方取胜时的剩余兵力数为

3y0. 2又令x?t1??0,由（2）得??x0??y0?e?2?abt1?x???0?y0?e??2?abt1?0.

注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则

第一章作业解答第 14 页 共 56 页

?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx由?4?得rr?r2?2. 此相轨线比书图11中的轨线上移了k?ay?2ry0?bx或a?y???bx??k.aa?a?202.02r?b2r2?乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2.

a?aa?2第五章2（2008年11月14日）

6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为?）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.

中心室

f0?t? C?t?,x?t? V

k 排除 V, 解: 设给药速率为f0?t?,中心室药量为x?t?,血药浓度为C?t? ,容积为排除速率为常数k,则x/?t??kx?t??f0?t?,x?t??VC?t?.

D0D,解得C?t??0e?kt. VV(1)快速静脉注射: 设给药量为D0, 则f0?t??0,C?0??(2)恒速静脉滴注(持续时间为?): 设滴注速率为k0，则f0?t??k0,C?0??0,解得

第一章作业解答第 15 页 共 56 页

?k0?kt?Vk1?e, 0?t?? C?t???

k0?kt?k?t????1?ee,t???Vk????(3) 口服或肌肉注射: f0?t??k01D0e?k01t?见5.4节（13）式?，解得

?k01D0?k01t?kte?e,k?k01??V?k01?k? C?t??? kD?te?kt, k?k01??V??3种情况下的血药浓度曲线如下：

(1) (2) (3) O ? t

第五章3（2008年11月18日）

8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,

(1) 设M?800mg,l1?80mm,l2?20mm,b?0.02,??0.08,??50mm/s,a?0.3

求Q和Q1/Q2.

(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下，进入人体毒物量的区别.

第一章作业解答第 16 页 共 56 页

解Q?aw0vea/b??l2vabl1?0.08?200.7?0.02?80??????50?1?ev??0.3?10?50e50?1?e??229.857563(毫克)

????0.7?0.02????/?其中w0?M/l1?10?，

?Q1 ?eQ2???b?l2v?e??0.08?0.02??2050 ?0.97628571abl?aw0v?(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q3?‘?1?evab??'?? ???aw0v?v2??只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4?'e1?e?ab?bla'bl1v?? ??abl???blabl0.02?1000.3?0.02?100e?1?ev???Q3ev?eve50?e50e0.04?e0.012????bl1?0.02?80?0.032?1.256531719.abl10.3?0.02?800.0096bl1?a'bl1?Q4e?e?vve50?e50ev?1?ev?e?e????blv'Q3?295.84,　Ｑ4?235.44

a?4. b4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.

解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00?第一章作业解答第 17 页 共 56 页

?0?a?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???

?b0???a?E?A???2?ab?0. ??1,2??ab

b???2??2???? ，????1??1??2???C2??1??e????1,?2对应的特征向量分别为??x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得

abtabt.

?x?x?t???0?y0?e?2?dybx?. dxayabt?x???0?y0?e??2?abt ???2?

又由?1?可得22其解为 ay2?bx2?k, 而k?ay0?bx0 ???3?

22ay0?bx0kb3(1) 当x?t1??0时，y?t1????y01??y0.

aaa2即乙方取胜时的剩余兵力数为

3y0. 2又令x?t1??0,由（2）得??x0??y0?e?2?abt1?x???0?y0?e??2?abt1?0.

注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则

第一章作业解答第 18 页 共 56 页

?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx由?4?得rr?r2?2. 此相轨线比书图11中的轨线上移了k?ay?2ry0?bx或a?y???bx??k.aa?a?202.02r?b2r2?乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2.

a?aa?

2《数学模型》作业解答

第六章（2008年11月20日）

1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．

(1)分别就h?rN/4，h?rN/4，h?rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．

解：设时刻t的渔场中鱼的数量为x?t?，则由题设条件知：x?t?变化规律的数学模型为

dx(t)x?rx(1?)?h dtN记F(x)?rx(1?(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F?x??0，得rx(1?即

x)?h Nx)?h?0 ． Nr2x?rx?h?0??????????1? N??r2?4rh4h?r(r?) ， NN第一章作业解答第 19 页 共 56 页

N?1?(1)的解为：x1,2?4hNrN2

①当h?rN/4，??0，(1)无实根，此时无平衡点； ②当h?rN/4，??0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0?N. 2xrx2rx，F'(x0)?0 不能断定其稳定性. )??r?NNNdxxrN?0．?x0不稳定； 但?x?x0 及x?x0 均有F(x)?rx(1?)??0 ，即dtN4F'(x)?r(1?③当h?rN/4，??0时，得到两个平衡点：

N?1?x1?易知：x1?4hNrNN?1?， x2?4hNrN22

NN ， x2? ，F'(x1)?0 ，F'(x2)?0 22?平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.

(2)最大持续产量的数学模型为

maxh? ??s.t.F(x)?0x)， NNrN*x1 x2 N/2 易得 x0? 此时 h?，

24N*但x0?这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．

2即 maxh?rx(1?要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?h?rN/4 h?rN/4 h?rN/4 rx?1?x/N? x NNN，且尽量接近，但不能等于． 222'2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：x?t??rxln中r和N的意义与Logistic模型相同．

N．其x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex．讨论渔场鱼量的平

*衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0．

解：x?t?变化规律的数学模型为

dx?t?N?rxln?Ex dtx第一章作业解答第 20 页 共 56 页

记 F(x)?rxlnN?Ex xE?N① 令F?x??0，得rxln?Ex?0 ?x0?Ner，x1?0．

x?平衡点为x0,x1 . 又?F'?x??rlnN?r?E，F'?x0???r?0,F'?x1???． x? 平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.

y rxln rN

②最大持续产量的数学模型为：

0 N xy?Ex

e y?f?x?

N ex0 x?maxh?Ex? N?s.t.　　rxln?Ex?0,x?0.?x?由前面的结果可得 h?ENe?Er

EE?dhEN?rdh?Ner?e，令?0. dErdE得最大产量的捕捞强度Em?r．从而得到最大持续产量hm?rN/e，此时渔场鱼量水平

*x0?N． edx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.

3．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：1．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

*2．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0. 00解：1．x(t)变化规律的数学模型为

dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2x?rx?h?0----（1）记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即

NNN0第一章作业解答第 21 页 共 56 页

??r2?4rh4h?r(r?) ， （1）的解为：x1,2?NNN?1?2N. 24hNrN

① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?xrx2rx)??r? ，f'(x0)?0 不能断定其稳定性. NNNdxxrN?0?x0不稳定； ?0 ，即但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)?dtN4f'(x)?r(1?③ 当??0时，得到两个平衡点：

N?N1?x1?易知 x1?4hrNN?N1? ， x2?4hrN22

NN ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0 22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定. maxh?2．最大持续产量的数学模型为： ?

s.t.f(x)?0?0

NrNNx**? 此时 h?)， 易得 x0，但x0?这个平衡点不稳定. 242NNNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?,且尽量接近,但不能等于.

222即 maxh?rx(1?

《数学模型》第七章作业

（2008年12月4日）

1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.

2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的

第一章作业解答第 22 页 共 56 页

一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和

xk?1?g(yk?yk?1).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 2

3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.

《数学模型》作业解答

第七章（2008年12月4日）

2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第

k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于

yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.

（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk和yk?1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.

解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：

x?xk??yk?1?f(k?1) ? 2?xk?1?h(yk)? 在P0(x0,y0)点附近用直线来近似曲线f,h，得到

x?xk??yk?1?y0???(k?1?x0),??0 ?(1) ? 2? ??0 ?(2)?xk?1?x0??(yk?y0) , 由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) ?(3)

第一章作业解答第 23 页 共 56 页

（1）代入（3）得 xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0

对应齐次方程的特征方程为 2?2????????0

特征根为?1,2????(??)2?8?? ?4当???8时，则有特征根在单位圆外，设???8，则

?1,2?(??)2?8???? ?()??4242??2???2 ??1,2?1 ? 即平衡稳定的条件为 ???2与P207的结果一致.

（2）此时需求函数、供应函数在P0(x0,y0)处附近的直线近似表达式分别为：

xk?1?xk?y?y???(?x0),??0 ?(4)0?k?12 ? yk?yk?1?xk?1?x0??(?y0) , ??0 ?(5)2?由（5）得，2(xk?3?x0)?β(yk?2?y0?yk?1?y0) ?(6) 将（4）代入（6），得 2(xk?3?x0)?????(??xk?2?xk?1x?xk??x0)??(k?1?x0)? 22?? 4xk?3???xk?2?2??xk?1???xk?4x0?4??x0

对应齐次方程的特征方程为 4?3????2?2???????0 ?(7) 代数方程（7）无正实根，且???, ?为?1,?2,?3，则

αβ??, ?不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别24第一章作业解答第 24 页 共 56 页

??????????123?4???? ??1?2??2?3??3?1?2?????1?2?3???4???, 则 对（7）作变换：????12 ?3?p??q?0,

1?2?218?3?3?2?2), q?(????) 其中 p?(2???41241236?q??1?3??2??q?用卡丹公式：??2?w3??2??q2??3?w3??2??其中w?qpqqp()2?()3?3??()2?()323223qpqqp()2?()3?w23??()2?()3 23223qpqqp()2?()3?w3??()2?()323223?1?i3, 2求出?1,?2,?3，从而得到?1,?2,?3，于是得到所有特征根??1的条件.

2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.

解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1).试建立关于2yk?yk?1). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：

yk?y0???(xk?x0),??0 ----------------------（1）

xk?1?x0??(yk?yk?1?y0),??0 --------------------（2） 2从上述两式中消去yk可得

2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?， -----------（3）

第一章作业解答第 25 页 共 56 页

上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：

2?2????????0

容易算出其特征根为

?1,2????(??)2?8?? ---------------（4） ?4当???8时，显然有

????(??)2?8???? -----------（5） ?2???44从而

?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2???2

要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2．

故P0点稳定平衡条件为 ???2．

3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建立关2xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：

yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2 xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）

由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3） （1）代入（3），可得xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2 ? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.

第一章作业解答第 26 页 共 56 页

为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：

2?2????????0

容易算出其特征根为

?1,2????(??)2?8?? ---------------（4） ?4当???8时，显然有

????(??)2?8???? -----------（5） ?2???44从而

?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2???2

要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2．

故P0点稳定平衡条件为 ???2．

《数学模型》作业解答

第八章（2008年12月9日）

1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足

aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n

于是对于任意两列i,j，有

aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：

?b11b12?00A?初等行变换?????????0?0这里B?0.?秩?B??1，从

?b1n??0??? B ?????0??A??1

第一章作业解答第 27 页 共 56 页

再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是

?c11c12?00?1?1PAP?BP??????0?0?c1n??0???C ?????0?易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.

又?A～C，?A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11，又?对于任意矩阵有?1??2????n?Tr?A??a11?a22???ann?1?1???1?n.故A的唯一非零特征根为n.

（2）对于A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?，?k?1,2,?,n?

T有 A?a1k,a2k,?,ank?T?n??n?aaa??1jjk?1k???j?1j?1?n??n??na1k??aa??a??na2k?2jjk????2k?????n?a,a,?,a?T???1k2knkj?1j?1????????n???n???na???aa???a??nk?njjknk????j?1j?1????

?A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?T都是对应于n的特征向量.

7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.

解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3?1?4?5?2?3.所以此竞赛图是双向连通的.

2 4?5?1?2?32?4?5?3?11 3 5?3?1?2?4 3?1?4?5?2

等都是完全路径.

此竞赛图的邻接矩阵为

?0?0?A??1??0??11010?0110??0000?

?0101?1100??5 4 第一章作业解答第 28 页 共 56 页

令e??1,1,1,1,1?，各级得分向量为

TTTS?1??Ae??2,2,1,2,3?， S?2??AS?1???4,3,2,4,5?， TTS?3??AS?2???7,6,4,7,9? ， S?4??AS?3???13,11,7,13,17?

由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.

注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根?和对应特征向量S得到：

??1.8393，S??0.2137?T ,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769数学模型作业（12月16日）解答

1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.

解：目标层 越海方案的最优经济效益

准则层

省收岸间当地建筑

时 入 商 业 商业 就 业

方案层 建桥梁 修隧道 设渡轮

2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？

答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.

3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n

第一章作业解答第 29 页 共 56 页

阶正负反阵A为一致阵的充要条件.

答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：CI?

??nn?1．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根?=n．

《数学模型》作业解答

第九章（2008年12月18日）

1．在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．

解：两种情况的钩子数均为2m．第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子．

① 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为

n2m??1?? D??? ?1??1?n?2m????? 当

n较小，n??1时，有 2m D?2m??1n?n?1???n?1 1?1???1?????2n??2m4m8m??n 4m D?1?E ， E? ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：

对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．

1； m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1?；

m 任一只钩对被一名工人接触到的概率是

第一章作业解答第 30 页 共 56 页

记p?11,q?1?．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的mm概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npqn?1，其空钩数为

m．所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为

2m?qn?m?npqn?1?m2qn?npqn?1 于是带走产品的平均数是 2m?m2qn?npqn?1， 未带走产品的平均数是 n?2m?m2qn?npqn?1） ?此时传送带效率公式为

nn?112m?m2qn?npn?qm?1?n?1?????2?2?1????1??? D'?nn?m?m???m????????????? ③ 近似效率公式：

1?nn?n?1?1n?n?1??n?2?1?由于 ?1???1?? ?23mm26mm??n1?? ?1???m?n?1?1?n?1?n?1??n?2?1 ?2m2m? D'?1??n?1??n?2?

6m2n2当n??1时，并令E'?1?D'，则 E'? 26m④ 两种办法的比较：

nn2 由上知：E?，E'?

4m6m2 ? E'/E?2n2n?1， ? E'?E． ，当m?n时，3m3m所以第二种办法比第一种办法好．

《数学模型》作业解答

第九章（2008年12月23日）

一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表：

第一章作业解答第 31 页 共 56 页

售出报纸数r（百份） 概率P(r) 0 0．05 1 0.1 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.1 试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n百份纸，则收益函数为

?7r?(?4)(n?r)r?n f(r)??r?n?7n收益的期望值为G(n) =

?(11r?4n)P(r)+7n?P(r)

r?0r?n?1n?现分别求出 n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=?4×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (?8?0.05?3?0.1?14?0.25)?14?(0.35?0.15?0.1)?11.8; G(3)=(?12?0.05?1?0.1?10?0.25?21?0.35)?21?(0.15?0.1)?14.4 G(4)=(

?16?0.05?5?0.1?6?0.25?17?0.35?28?0.15)

?28?0.1?13.15

G(5)=?20?0.05?9?0.1?2?0.25?13?0.35?24?0.15?35?0.1 ?10.25 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.

数模复习资料

第一章 1. 原型与模型

原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.

??直观模型形象模型???物理模型??模型??思维模型??抽象模型?符号模型??数学模型???2. 数学模型

如玩具、照片等如某一试验装置如某一操作

如地图、电路图对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结

d2x构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式F?mdt2第一章作业解答第 32 页 共 56 页

来描述受

力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口N?t?随时间t自由增长过程的微分方程

dN?t??rN?t?. dt3. 数学建模

所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于

现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.

数学建模过程流程图为： 实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地

求解模型 估计参数

否 检验模型 (用实例或有关知识) 4.数学建模的步骤

依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：

是 符合否？ 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 ?人口模型??交通模型?环境模型（污染模型）??a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ?生态模型

?城镇规划模型??水资源模型???再生资源利用模型b. 按建模的数学方法分类

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?初等数学模型??几何模型?微分方程模型?? 数学模型 ?图论模型

?组合数学模型??概率模型???规划论模型?描述模型??分析模型??预报模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ?

?优化模型?决策模型???控制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验

e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为n f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法

4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.

解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角?表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为f(?);C、D与地面距离之和记为g(?).并旋转180.于是，设f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.

0数学模型：设f???、g???是?0,2??上?的非负连续函数.若????0,2??,有f???g????0,且g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使f??0??g??0??0. 模型求解:令h(?)?f(?)?g(?) .就有h(0)?0, h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.再由f???,g???的连续性,得到h???是一个连续函数. 从而h???是?0,??上的连续函数.由连续函数的介值定理：??0??0,??,使h??0??0.即??0??0,??,使

f??0??g??0??0.

又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.

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9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？

（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？

解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点p0(t0,d0),

两天都在t0时刻经过d0地点. x

d

方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0 时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??) t

早8 t0 晚5

方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为

a(a>0).由题意知：f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有

h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使

h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).

（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮.

2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产

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