江苏省常州市武进区2018年九年级第一次模拟考试数学试卷（含答案

九年级教学情况调研测试 2018.5

数 学 试 题

注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．

2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与?）． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效．

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一

个是正确的）

1．在下列实数中，无理数是

A．3.14

B．1

C．

1 3-5D．6

2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为

A．0.21?10

-4B． 2.1?10

-4C．0.21?10 D．2.1?10

-53．下列运算正确的是

A．2?3?5 B．2?3?6 C．a?a?a

623D．(?2)2??2

4．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，

下列关于这个几何体的说法正确的 A．主视图的面积为5 C．俯视图的面积为3

B．左视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4

正面 5．若

x?3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x?1B．x?3且x?1

2A．x?3 C．1?x?3 D．x?1且x?3

6．已知一元二次方程x?6x?c?0有一个根为2，则另一个根为

A．2

B．3

C．4

D．－8

7．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B为锐角且sinB＝ A．

3，则∠C的正弦值等于 5313 13D．5 6B．

2 3C．213 13

8．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为 A．

AEFD3 27 5B．

22 3 C．

D．2

BC二．填空题（本大题共9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出

解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．?(?3)＝ ▲ ，?12＝ ▲ ，(?2015)0＝ ▲ ，＝ ▲ . （2-1）210．已知一组数据为1，2，1，2，4，2，则这组数据的众数是 ▲ ，方差是 ▲ . 11．∠A的余角为60°，则∠A的补角为 ▲ °，tanA? ▲ .

12．点A关于x轴对称的点的坐标为（2，－1），则点A的坐标为 ▲ ，点A到原点的

距离是 ▲ .

13．若扇形的半径为3cm，扇形的面积为2πcm，则该扇形的圆心角为 ▲ °，弧长为

▲ cm．

14．分解因式：4x?4xy?xy? ▲ . 15．已知点P(a,b)在直线y?32221x?1上，点Q(?a,2b)在直线y?x?1上，则代数式2a2?4b2?1? ▲ .

16．如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′ 处，

点C恰好落在边B′ F上.若AE＝3，BE＝5，则FC＝ ▲ .

AEB'DyC'OBF第16题图

CO1O2O3x

第17题图

17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y?3x相切，3设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当r1?1时，r2015＝

▲ . 三、解答题（本大题共11小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明、证明过程或演算步骤） 18．化简：（本题满分8分）

⑴ 27?4cos30??tan60?tan45?

19．（本题满分10分）

⑴ 解方程：3x?1?1?11?x

⑵

a?1a?1?a?1a2?1?1 ⑵ 解不等式组：???2x?5?2x?3??7（x?1)

20．（本题满分7分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽

查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.

组别 正确字数x 人数 A B C D E 0≤x<8 8≤x<16 16≤x<24 24≤x<32 32≤x<40 10 15 25 m n

人数 30 B15% 20 AECD30% 20% 10 0 A B C D E 组别

根据以上信息解决下列问题：

⑴ 在统计表中，m＝ ▲ ，n＝ ▲ ，并补全条形统计图. ⑵ 扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ▲ .

⑶ 若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.

21．（本题满分8分）小明在学习反比例函数的图像时，他的老师要求同学们根据“探索一次函

数y1?x?1的图像”的基本步骤，在纸上逐步探索函数y2?2的图像，并且在黑板上写x-1)． ，2)，C(1出4个点的坐标：A(，)，B(1，)，D(-2，⑴ 在A、B、C、D四个点中，任取一个点，这个点既在直线y1?x?1又在双曲线y2?上的概率是多少？

⑵ 小明从A、B、C、D四个点中任取两个点进行描点，求两点都落在双曲线y2?概率.

3423122x2上的x

22．（本题满分6分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，

∠DCE＝∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明.

DFCAEB

23．（本小题6分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，

其中AB段与高速公路l1成30°夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离.（结果保留根号）

A30° l1BCDl2

24．（本题满分6分）如图，每个网格都是边长为1个单位的小正方形，△ABC的每个顶点都

在网格的格点上，且∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．

⑴ 试在图中作出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的图形

△AB1C1；

⑵ 试在图中建立直角坐标系，使x轴∥AC，且点B的坐标为（﹣3，5）；

⑶ 在⑴与⑵的基础上，若点P、Q是x轴上两点（点P在点Q左侧），PQ长为2个单位，则当点P的坐标为 ▲ 时，AP+PQ+QB1最小，最小值是 ▲ 个单位．

B C A

25．（本题满分7分）一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100

万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x（元）的一次函数，并得到如下部分数据：

销售单价x（元） 年销售量y（万件） ⑴ 求y关于x的函数关系式；

⑵ 写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？

⑶ 试通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．

60 50 5.5 60 5 70 4.5 80 4 yO80 120 x

26．（本题满分6分）△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成

两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

ADAB

图1

CBC图2

⑴ 如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC关于点B 的伴侣分割线，并注明角度；

⑵ △ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

27．（本题满分10分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，与点B、

C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF＝x，EC＝y． ⑴ 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． ⑵ 当CF＝1时，求EC的长．

⑶ 若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．

ADFBEC

28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax＋bx＋1（a≠0）的图像

与x的正半轴交于点A，与x的负半轴交于点B，与y轴交于点C．△PAC中，P（1，－1），∠P＝90°，PA＝PC． ⑴ 求点A的坐标．

⑵ 将△PAC沿AC翻折，若点P的对应点Q恰好落在函数y＝ax＋bx＋1（a≠0）的图像上，求a与b的值．

⑶ 将△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，在x轴上取一点M，将∠PMD沿PM翻折，若点D的对应点F恰好落在x轴上，求点M的坐标．

22y C B O P A y C x B O P A x

D E

参考答案及评分意见

一．选择题（（本题有8小题，每小题2分，共16分）

题 号 答 案 评分标准 1 D 2 D 3 B 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 选对一题给2分，不选，多选，错选均不给分 二.填空题 （第9小题4分，其余8小题每小题2分）

9．3，

113，1， 10．2，1 11．150， 12．（2，1），5 24342014π 14．x(2x?y)2 15．1 16．4 17．3 313．80，三、解答题 18．化简：

⑴ 原式= 33－4×

3+3 ------------------------------------------------------------------ 3′ 2 = 23 ----------------------------------------------------------------------------------- 4′

⑵ 原式=

a?1(a?1)(a?1)??1 -------------------------------------------------------------- 2′ a?1a?1 =a?1?1 ------------------------------------------------------------------------------- 3′ = a ------------------------------------------------------------------------------------------ 4′

19．⑴ 解分式方程：

31?1? x?11?x

解： 3?(x?1)??1 ------------------------------------------------------------------------- 2′

x?5 ----------------------------------------------------------------------------------------- 4′

经经验x?5是原方程的解. ----------------------------------------------------------- 5′

① ??2x?5 ⑵解不等式组：?（x?1)?2x?3??7②

解： 解不等式①得： x??5 ------------------------------------------------------------- 2′ 2

解不等式②得：x??10 ------------------------------------------------------------ 4′ 9510?x??. ----------------------------------------- 5′ 29人数 ∴ 原不等式组的解集是?20．⑴ m＝30 ------------------------------------------------------- 1′

n＝20 ----------------------------------------------------- 2′ ， 30 画图正确 ------------------------------------------------ 3′. ⑵ 扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的

度数是 90 . -------------------------------------- 4′

10 20 ⑶ 解：“听写正确的个数少于24个”的人数

有：10+15+25=50 人

比赛学生总人数有：15÷15%=100人 ------------- 5′

0 A B C D E 组别

900×

50= 450 人 --------- 6′ 100答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人. ------------------------- 7′

21．解：⑴点B与点D既在直线y＝x＋1上，又在双曲线y＝

2上 --------------------------- 2′ x 因此任取一个点，既在直线又在双曲线上的概率是

1 ------------------------ 4′ 2⑵ 由（1）可得，“从A、B、C、D四个点中任意挑选两个点进行描点”

有6种等可能的情况，分别是：AB，AC，AD，BC，BD，CD -------------- 6′

其中，“两点都落在双曲线y2?∴ P（两点都落在双曲线y2?2上”有AB、AD、BD 三种情况. --------- 7′ x

231上）=?. ------------------------------------ 8′ x6222．四边形AECF是平行四边形. ---------------------------------------------------------------------- 1′

证明：∵ 矩形ABCD中，AB∥DC ∴ ∠DCE＝∠CEB ------------------------------- 2′

∵ ∠DCE＝∠BAF ∴ ∠CEB＝∠BAF ∴ FA∥CE --------------------- 4′ 又矩形ABCD中，FC∥AE ∴ 四边形AECF是平行四边形. -------------- 6′

23．解：过点A，C作l1的垂线，过点B作l1的平行线，交于点E，F，F，H ------------ 1′

AEHCl2Bl1FGD

∵ △AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，AB＝20 ∴ AE＝10 ---------------- 2′ ∵ △BHC中，∠BHC＝90°，∠HBC＝60°，BC＝10 ∴ CH＝53 ---------- 3′ ∵ △CGD中，∠CGD＝90°，∠CDG＝30°，CD＝20 ∴ CG＝15 ------------- 4′ ∴ AF＝AE＋EF＝AE＋CH＋CG＝25＋53 ------------------------------------------------ 5′ 即两高速公路间的距离为（25＋53）km． -------------------------------------------------- 6′ 24．⑴ 画图正确 ---------------------------------------------------- 1′

⑵ 画图正确（包括标注x,y,以及原点O) ----------- 2′ ⑶ 点P坐标：（

25．⑴ 解：函数关系式为y??⑵ w?(?

2，0） ----------------------------------- 4′ 5最小值：2＋29 ---------------------------------------- 6′

1x?8. --------------------------------- 2′ 2011x?8)(x?40)?100??(x?100)2?80 ---------- 4′ 2020时，利润w有最大值，最大值为80. ------- 5′ 当x?100⑶ 在（2）中，当w=60时，

有：?1(x?100)2?80?60 20解得： x1?80,x2?120 ---------------------------------------- 6′

时，根据函数图像可得：当80?x?120

该公司产品的利润不低于60万元. ------------------------------ 7′

26．解：⑴ 画图正确，角度标注正确 ----------------------------------------------------------- 1′

AD90°ADC BAD

B20°C

BC

⑵ 考虑直角顶点，只有点A，B，D三种情况． 当点A为直角顶点时，如图，此时y＝90－x． 当点B为直角顶点时，再分两种情况： 若∠DBC＝90°，如图，此时y＝90＋

11（90－x）＝135－x． 22AADADD

BC

BC BC

若∠ABD＝90°，如图，此时y＝90＋x． 当点D为直角顶点时，又分两种情况：

若△ABD是等腰三角形，如图，此时y＝45＋（90－x）＝135－x． 若△DBC是等腰三角形，如图，此时x＝45，45＜y＜90． 注：共5种情况，每种情况各1分．

27．⑴ 如图1，y?1x（0?x?8） ------------------------------------------------------------------ 2′ 213或EC? -------------------------------------------- 4′ 22⑵ DF＝1或DF＝3，相应地，EC?⑶ 由∠DEC＝∠AFD得，∠BED＝∠DFG．

DF＝x，FG＝

2?x2121x?16，DE＝x?16，BE＝4－x -------------------- 6′ x22122?x21x?16＝x?16·（4－x）， ------------ 7′ 2x2 当∠DBE＝∠GDF时，x· 解得x＝

8． 5

ADADFFBECGBECG

当∠BDE＝∠GDF时，x（4－

12?x21x?16·x2?16， ------------- 8′ x）＝

2x2 解得x＝

4（x＝－4舍去） 384或． ---------------------------------------------------------------------------- 10′ 53 即DF的长为

28．解：⑴点A的坐标为（3，0） --------------------------------------------------------------------- 2′

⑵ Q（2，2） -------------------------------------------------------------------------------------------- 3′ a＝?513，b＝ ---------------------------------------------------------------------------------- 4′ 66⑶ 解：D（2，－3） ----------------------------------------------------------------------------------- 5′

设点M（m，0），

由PD＝PF得，F（－1，0）或F（3，0） ------------------------------------------------- 7′ 当点F（－1，0）时，由MD＝MF得，

(m?2)2?32?(m?1)2，解得m＝2 ------------------------------------------------------- 8′

当点F（3，0）时，由MD＝MF得，

(m?2)2?32?(m?3)2，解得m＝－2 ---------------------------------------------------- 9′

因此点M的坐标为（2，0）或（－2，0）． --------------------------------------------- 10′

yCBFOPMAyCBxMOPAxDE

DE

ADADFFBECGBECG

当∠BDE＝∠GDF时，x（4－

12?x21x?16·x2?16， ------------- 8′ x）＝

2x2 解得x＝

4（x＝－4舍去） 384或． ---------------------------------------------------------------------------- 10′ 53 即DF的长为

28．解：⑴点A的坐标为（3，0） --------------------------------------------------------------------- 2′

⑵ Q（2，2） -------------------------------------------------------------------------------------------- 3′ a＝?513，b＝ ---------------------------------------------------------------------------------- 4′ 66⑶ 解：D（2，－3） ----------------------------------------------------------------------------------- 5′

设点M（m，0），

由PD＝PF得，F（－1，0）或F（3，0） ------------------------------------------------- 7′ 当点F（－1，0）时，由MD＝MF得，

(m?2)2?32?(m?1)2，解得m＝2 ------------------------------------------------------- 8′

当点F（3，0）时，由MD＝MF得，

(m?2)2?32?(m?3)2，解得m＝－2 ---------------------------------------------------- 9′

因此点M的坐标为（2，0）或（－2，0）． --------------------------------------------- 10′

yCBFOPMAyCBxMOPAxDE

DE

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