《等差数列前n项和公式》教学设计

西宁二十八中教师大比武校内选拔赛

教 学 设 计

西宁二十八中 刘 伟

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《等差数列前n项和公式》教学设计

西宁市第二十八中学 刘 伟

一、教学设计理论依据

教育界有一句名言：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”。这充分体现了数学学习中的启发性原则。基于数学学科自身抽象和严谨的特点，教师在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学生的动手、动脑能力。在讲授式的教学中，课堂实施过于注重知识的机械传授，忽略了学生学习的主体性，也抑制了学生综合能力的提高和综合素质的发展。当代学生观重视学生的自主发展，认为教育就应看到学生的未完成性，给学生创造发展的环境和机会。

本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前n项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。

二、教材分析

1、教学内容：《等差数列前n项和》是现行教材高一上册第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。 2、地位与作用：

（1）教材知识编排角度：本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进行，其学习平台是学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。

（2）解决问题方法角度：数列是特殊的函数，其前n项和公式Sn?f(n)是数列的前n项和Sn与n之间的函数解析式。从这个角度出发，寻求等差数列的前n项和公式的本质就是寻求Sn与n之间的函数关系式。这一概念将有助于学生自主探求等差数列前n项和公式。因此，问题的被动解决过程有效的转化成了学生的主动探求过程。在探求之中，采用了头脑风暴训练法，讨论多多益善，为学生的发散思维提供了更加广阔的空间。

（3）培养学生能力角度：等差数列前n项和公式的探讨遵循了“提问—预测—析疑—总结”的问题解决模式，将整个探求过程交由学生主宰，充分调动学生积极性，发挥学生的主体地位，对学生“提出问题—理解问题—分析问题—解决问题—评价问题”的能力起到了良好的训练作用，加强和提高了学生解决问题的能力。

三、学情分析

1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。

2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。

3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让

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学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

四、教学目标

1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； 2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；

3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；

4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；

五、教学重点与难点

1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用 2、教学难点：公式推导的思路

3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。

六、教学流程

情境导入——学导结合——探究深化——总结反思 七、教学过程设计

<数学课前操>——激发出学生的数学学习状态

创作：刘伟

拍拍脑袋拍拍手（动手动脑），

眼睛耳朵心对口（聪） 迎难而上不再难（决心） 一鼓作气艳阳天（信心）

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（一）情境导入

欣赏图片——泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪莫卧儿帝国皇帝为纪念其爱妃所建。泰姬陵宏伟壮观，被誉为世界七大奇迹之一。泰姬陵中的陵寝以宝石镶嵌，用掉的金银珠宝不计其数。。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的宝石镶饰而成，共有100层，

极尽奢华。

问题1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？

教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。

学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1. 活动预设：

（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。 （2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石？ 【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。

（二）学导结合

教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，讲解高斯故事。

学生活动：思考高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？ 教师活动：指导学生快速找出规律。

学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？

活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？ 教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。

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学生活动：性质：等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq。

【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。

问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？ 方法1：分类讨论法

教师活动：给出一般数列：设等差数列{an}前n项和为Sn，Sn?a1?a2?a3??an，则如何用有限的项表示Sn？

说明：Sn?a1?a2?a3??an只是给出了等差数列前n项和的形式定义，而我们推导的求和公式是在等差数列确定的情况下，探究Sn与n之间所满足的对应关系，即寻求Sn?f(a1,an,n)或Sn?f(a1,d,n)的表达式。

学生活动：类比高斯算法，分小组讨论并探求等差数列前n项和公式。 活动预设：以小组为单位讨论，并让其对过程在白板上做出解释和说明。 a1?a2?a3??an?2?an?1?an n(a1?an)2S?n(a?a)?S?n1nn 2

倒序相加法

教师活动：回到开始三角形宝石图片，假设有n层，如何快速计算宝石总数？给出提示：将三角形宝石做倒置再和原来三角形宝石拼接成平行四边形。 学生活动：计算拼接之后的宝石数量。

活动预设：拼接之后每一层的宝石数量为a1?an，总共有n层，所以又2Sn?(a1?an)n。由此引入倒序相加法：

Sn?a1?a2?a3??an?2?an?1?anSn?an?an?1?an?2??a3?a2?a1

2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)??(an?2?a3)?(an?1?a2)?(an?a1)

由性质“若m?n?p?q，则am?an?ap?aq”可得：

（等差数列前n项和公式）

【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导学生利用图形倒置进而联想算式的倒序是非常必要的，也让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；

（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；

（3）图形的倒置展示让学生感受数学的对称美以及如何运用数学知识拼接出美丽的图案。

（三）探究深化

公式一、

Sn?n(a1?an)2第5页，共8页

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问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？ 教师活动：引导学生找出变量 学生活动：观察公式，找出变量。

活动预设：此公式中，共有四个变量：Sn,n,a1,an，可知三求一。

【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。

问题2：此公式还可进行怎样的变形？

教师活动：引导学生从an下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。 学生活动：尝试对公式进行变形。

活动预设：公式二、 Sn?na1?n(n?1)d2

【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。 问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？ 教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。 学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。 活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：a1,n,d,an,Sn，可知三求二 （2）若已知an，优先选用公式一，若已知d，优先选用公式二。

【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。

求S?2?4?6?8????2000

例1、

教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，引导学生将文字语言转化为数学语言，再进行公式的应用。

学生活动：将文字语言转化为数学语言后再进行公式的选择。

【设计意图】透过此题，培养学生数学语言提炼能力，熟练地选取恰当的公式进行求解。

和。

例2已知差数列{an}满足a2+ a5=14, a10=20， 求相应等差数列{an}的Sn.

和。

例3知等差数列{an}的前n项和为Sn. 且S1=2，S4=20， 求数列{an}的通项an.

例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.

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（四）总结反思

1.教学目标是否达成？

(1)知识与能力目标：掌握等差数列的两个前n项和公式及其适用范围。

(2)过程与方法目标： 在等差求和公式的推导过程中使用了什么方法？在公式的应用中应学会什么“四字原则”？

(3)情感态度与价值观目标：通过数学家高斯在解决1—100的求和故事，你有哪些感受？ 2.教学重难点是否突破？

（1）.重点：是否会推导等差数列的两个求和公式？

(2)难点：是否学会借鉴常用的数学思想解决数学推导问题？

【设计意图】学会反思，及时归纳总结，通过独立思考，自我评价学习效果，发现问题、解决问题，养成良好的反思习惯。

八、课后作业： 1、（必做）

2、（选做）

【设计意图】必做题旨在巩固“双基”，选做题主要针对学有余力的同学拓展能力，层次分明，有效地避免了学生“吃不了、吃不饱”的现象，也尊重了学生发展的个体差异性。

九、板书设计：

一、高斯算法 二、公式的推导 、 公式一： 公式二： 3.3等差数列前n项和 四、例题及解答 十、板书设计 ） 第7页，共8页 西宁二十八中教师大比武校内选拔赛

十、教学反思：

1、教学设计的反思

建构主义理论的核心用一句话可以概括为：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。基于这一核心，本节课有如下几个特点： （1）注重学生主动建构知识，自主探究学习

学生学习的根本特点是接受前人经验，具有间接性。虽然要学的数学知识都是前人总结的经验，但对学生来说，一切都是从头开始。因此在本堂课中，没有直接给出倒序相加法求前n项和公式，而是从高斯算法类比首尾相加法，没有因为n的奇偶讨论繁琐而阻断学生流畅的思维，相反顺水推舟，顺应学生思路对n进行讨论，且讨论过程完全交给学生，这充分体现了尊重学生主体发展和注重学生自主探究的新课改理念，给学生提供了充分的再创造机会。 （2）重视知识的融会贯通

数学知识博大精深，前后的知识点有千丝万缕的联系。我们要善于在学生已学过的内容中搜寻有价值、有联系的“旧知”，来引导学生学习“新知”。在等差数列前n项和公式的推导中，反复利用等差数列的通项性质：若m?n?p?q，则am?an?ap?aq，不断对前n项和公式进行化简，并给出了如何利用此性质快速求解前n项和的相关例题，前后知识过渡自然。 （3）资料搜集，丰富学生的课外生活

让学生课前搜集高斯故事、数学发展中数列的发展情况及相关题型的这一活动，潜意识地让学生对数学发展有个初步的认识，扩充了学生数学学习视野，激发了数学学习的好奇心。 2、教学效果的反思

从实际教学效果来看，整体效果是不错的。正如学生所谈到：“这节课老师给了我们足够的讨论时间，顺应我们思路循序渐进，不急于告诉我们方法和结论，而是通过我们的自主探究发现问题，寻求更优推导方法”，“从激烈的讨论中，我感受到了思考问题的个别差异，别人的解题新方法，让我的思维也一下子明朗起来”，“小组合作让我真正体会到了团结就是力量，其优越性不是个人能力所能比拟的，真是众人拾柴火焰高啊！”

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