点线面位置关系

一、选择题

1．已知m,n是不同的直线， ?,?,?是不同的平面，命题：（1）若m/,?/n（2）若m//?,m//则m//n；?，

（3）若m??,n??，则m//n；（4）若m??,m???则?//?；

则?//?；（5）若???,???则?//? ；错误命题的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2．如图，两个正方形????????和????????所在平面互相垂直，设??,??分别是????和????的中点，那么 ①????⊥????； ②????//平面??????；③????//????；④????,????异面，其中假命题的个数为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3．在空间四边形ABCD中， AB?CD，且异面直线AB与CD所成的角为60?，

E、F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为

A. 30? B. 45? C. 60? D. 30?或60?

4．下列各个条件中，可以确定一个平面的是( )

A. 三个点 B. 两条不重合直线 C. 一个点和一条直线 D. 不共点的两两相交的三条直线

5．设l表示直线, ?,?表示平面.给出四个结论:

①如果l∥?,则?内有无数条直线与l平行;②如果l∥?,则?内任意的直线与l平行;

③如果?∥?,则?内任意的直线与?平行;

④如果?∥?,对于?内的一条确定的直线a,在?内仅有唯一的直线与a平行. 以上四个结论中,正确结论的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6．下列命题中,错误的是( )

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交, 则必与另一个平面相交 B. 平行于同一平面的两个不同平面平行 C. 若直线不平行平面D. 如果平面

, 则在平面

内不存在与平行的直线

内一定不存在直线垂直于平面

不垂直平面, 那么平面

7．四棱锥P?ABCD的底面是一个正方形， PA?平面ABCD,PA?AB?2,E是棱

PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是 （ ）

试卷第1页，总7页

A.

15 B. 51066 C. D. 5328．下列命题中正确的是

A. 若直线??与平面??平行，则??与平面??内的任意一条直线都没有公共点; B. 若直线??与平面??平行，则??与平面??内的任意一条直线都平行; C. 若直线??上有无数个点不在平面??内，则??//??;

D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. 9．如图，在三棱锥A?BCD中， AB?AC?BD?CD?3， AD?BC?2，点M,N分别为AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是（ ）

A.

1357 B. C. D. 4488

P在线段AD1上运10．在长方体ABCD?A1BC11D1中, AA1?A1D1?a,A1B1?2a,点

动,当异面直线CP与BA1所成的角最大时,则三棱锥C?PA1D1的体积为( )

a3a3a33A. B. C. D. a

43211．在底面为正方形的四棱锥S?ABCD中， SA?SB?SC?SD，异面直线AD与SC所成的角为60?， AB?2，则四棱锥S?ABCD的外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 8? C. 12? D. 16π

0012．在直三棱柱ABC?A已知?BCA?90,?BAC?60， AC?4， E为1B1C1中，

AA1的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA1上，且A1H?3HC，则线段FH的

长为（ ）

试卷第2页，总7页

A. 23 B. 4 C.

13 D. 3

13．四棱锥P?ABCD的底面ABCD为平行四边形，且AB?2,BC?1,AC?2，记平面PAD与平面PBC的交线为m，平面PAB与平面PDC的交线为n，则m与n所成的锐角的余弦值为（ ） A.

1177 B. C. D. 2483214．在四面体ABCD中，若AB?CD?3， AC?BD?2， AD?BC?5，则直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A. ?1111 B. ? C. D. 344315．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（ ）

A. 平行 B. 相交成60°角

C. 异面成60°角 D. 异面且垂直

?16．四棱维P?ABCD 的底面是一个菱形且?DAB?60， PA?平面ABCD，

PA?AB?2, E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A.

5 B. 510 C. 5156 D. 5517．已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P?ABCD中，四棱锥的侧棱长都为4， E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为（ ） A.

1632 B. C. D. 2432M是棱A1D1的中点，过C1， B，18．在棱长为2的正方体ABCD?A 1BC11D1中， M作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）

A.

993535 B. C. D. 282819．设m,n是两条不同的直线， ?,?是两个不同的平面，考查下列命题，其中

试卷第3页，总7页

正确的命题是（ ）

A. ?//?,m??,n//??m?n B. m//?,n??,m?n???? C. ???,????m,n?m?n?? D. ???,m??,n//??m?n

MN和20．点M,N分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则

CD1所成角的大小为

A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200

二、填空题

21．如图，正四面体P-ABCD中，D,E分别是AB及PC的中点，则直线AE与PD所成的角的余弦值为__________．

22．设l,m是不重合的两直线， ?,?是不重合的两平面，其中正确命题的序号是_____． ①若l// ?,???，则l??； ②若l?m,l??,m??，则???； ③若l??,???,m??，则l//

m； ④若l??,???，则l// ?或l??

23．在四棱柱ABCD?A底面是正方形，侧棱垂直于底面，若BB1?2AB，1BC11D1中，则CA1与AB所成的角的大小为 _________

24．如图，长方体???????????1??1??1??1中，????1=????=2， ????=1，点??，??，??分别是????1，????，????1的中点，则异面直线??1??与????所成的角是_______．

25．在正四面体????????中，??，??分别是????和????的中点，则异面直线????和????所成角的余弦值为__________．

P在正方形ABCD的边界及26．如图，正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为2，点P组成，则W的面积是其内部运动，平面区域W由所有满足A1P?5的点试卷第4页，总7页

__________，四面体P?A1BC的体积的最大值是__________．

AC与直线27．如图所示，在正方体AC1中， AB?2， AC11?B1D1?E，直线

DE所成的角为?，直线DE与平面BCC1B1所成的角为?，则cos??????__________．

28．已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P?ABC的侧面积的最大值为__________．

29．如图，在直三棱柱?????????1??1??1中，????=2，????=????1=2 2，????=2 3，??是线段????上一点，且????1//平面??????1，则直线????1与????所成角的余弦值为__________．

30．如图，三棱锥?????????中，若????=2 3,????=????=????=????=????=4,??为棱????的中点，则直线????与????所成角的余弦值为___,直线????与平面??????所成的角为 _________．

三、解答题

31．如图，在梯形ABCD中， AB//CD， AD?CD?CB?a， ?ABC?60?，

平面ACFE?平面ABCD，四边形ACFE是矩形， AE?a，点M在线段EF上，且MF?2EM．

试卷第5页，总7页

（1）求证： AM//平面BDF；

（2）求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．

32．如图，在三棱柱?????????1??1??1中，侧面??????1??1，??????1??1均为正方形，∠??????90°,点??是棱??1??1的中点.请建立适当的坐标系，求解下列问题：

（Ⅰ）求证：异面直线??1??与????互相垂直； （Ⅱ）求二面角（钝角）?????1?????的余弦值.

?33．如图（1），在平行四边形ABB1A1中，?ABB1?60,AB?4,AA1?2,C,C1, 分别

为AB,A1B1的中点.现把平行四边形AAC11C沿CC1折起，如图（2）所示，连结

B1C,B1A,B1A1.

（1）求证: AB1?CC1；

（2）若AB1?6，求二面角C?AB1?A1的余弦值.

34．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC??BAD?90?， AD?AP?4，AB?BC?2，M为PC的中点． （1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN??，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为求?的值．

4，5试卷第6页，总7页

试卷第7页，总7页

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参考答案

1．C

【解析】(1)平行于同一平面的两直线并不一定平行，可能相交，可能异面，所以错（2）平行于同一直线的两平面可能相交，可能平行，所以错（3）垂直同一平面的两直线平行，对（4）垂直同一直线两平面平行，对（5）垂直于同一平面的两平面，可能平行，可能相交，错。有三个错，选C. 2．D 【解析】∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M、N分别是BD和AE的中点， 取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确； 连接AC,CE,根据三角形中位线定理,可得MN∥CE,由线面平行的判定定理,可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE错误； ∴其中假命题的个数为：1 本题选择D选项.

3．D

【解析】取AC中点M，则异面直线AB与CD所成的角为直线EM和FM所成的角，异面直线EF和AB所成的角为直线EF和EM所成的角,因为异面直线AB与CD所成的角

?00为60，所以?EMF?60或120 ，因为AB?CD，所以EM?FM ,因此

?MEF?300或600 ,即异面直线EF和AB所成的角为30?或60?，选D.

4．D

【解析】有空间基本定理可知，三点确定一个平面，即不共点的两两相交的三条直线可以确定一个平面. 本题选择D选项. 5．C

【解析】对于①，正确；

对于②，除了平行，还有异面情况存在，故错误； 对于③，由平面与平面平行的定义知，正确；

对于④，在?内可以有无数条直线与之平行，故错误.所以正确结论的个数为2个.

本题选择C选项.

点睛：线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材． 6．C

【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；

答案第1页，总18页

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由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；

若直线l不平行平面α，则当l?α时，在平面α内存在与l平行的直线，故C不正确； 由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确。 本题选择C选项. 7．B

【解析】取PC的中点F，连接EF，BF.

∵E为PA的中点，∴EF//AC，∴?BEF就是异面直线BE与AC所成的角.∵AB?2，四边形ABCD是正方形，∴AC?22，∴EF?2.又∵PA?平面ABCD，∴

PA?AB，∴BE?AB2?AE2?5.连接BD，与AC 交于O，连接FO.∵四边形

ABCD是正方形，∴O为AC的中点，∴OF//PA，∴OF? 平面ABCD，∴OF?OB.

11AB2?AC2?2，OF?PA?1，∴BF?OF2?OB2?3.∵在∵OB?22???BEF中， BF2?EF2?BE2，∴?BFE?90?，∴cos?BEF?EF210 ，??BE55即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为10；故选B. 5点睛：本题是一道有关异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取PC的中点F，连接EF，BF，分析可知?BEF就是异面直线BE与AC所成的角；然后再由勾股定理可知， ?BEF为直角三角形，由此即可求出?BEF的余弦值，进而求出结果. 8．A

【解析】对于A，用反证法易知，直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，命题正确；

对于B，若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线无公共点， 所以l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行或异面，B错误；

对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以命题错误； 对于D，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在平面内，所以命题错误． 故选：A．

答案第2页，总18页

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9．D

【解析】如图，连接BM，取BM的中点O，连接ON，因为N是BC中点，则ON//CM，所以?ANO（或其补角）就是异面直线AN,CM所成的角，由已知

1AN?CM?3?1?22， NO?CM?2， AO?12?222?2?2?3，

22???2???3??cos?ANO?2222?22?2?7，故选D． 8

点睛：求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是?0,10．B

【解析】如图所示，连结CD1，则?DCP为锐角， ?DCP即为异面直线CP与BA1所成11的角，

很明显，当点P位于点A处时异面直线CP与BA1所成的角最大,此时

????2??．

VC?P1A1D?V?Ca3?. 1AA1D3本题选择B选项.

答案第3页，总18页

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点睛： (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是?0,????，当所作的角为钝角时，应取它的补角?2?作为两条异面直线所成的角．

(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 11．B

?【解析】由题意得异面直线AD与SC所成的角等于?SCB?60 ,因此

SA?SB?SC?S2?D ,即正方形ABCD中心即为四棱锥S?ABCD的外接球的球心，半

径为2 ，表面积为4π12．C

??22?8π ，选B.

【解析】由题意知， AB?8，过点F作FD∥AB交AA1于点D，连接DH，则D为AE中点， FD?AHAD1?3AB?4，又1?1?3，所以DH∥AC， ?FDH?,DH?AC?3，2HCAD34由余弦定理得： FH?13．B

42?32?2?4?3?cos?3?13，故选C．

【解析】分别过顶点P作MP?BC， NP?AB ,则直线MP为平面PAD与平面PBC的交

线，即为m, 直线NP为平面PAB与平面PDC的交线，即为n，所以AB与BC所成的角即

答案第4页，总18页

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22?12?21? ，所以m与n所成的锐为m与n所成的角，在?ABC中， cos?ABC?2?2?14角的余弦值为14．D

【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的 长宽高分别为a,b,c，则：

1 ，选B. 4a?1a2?b2?3{a2?c2?4，解得： {b?2， b2?c2?5c?3问题等价于求解线段AB与线段C'D'夹角的余弦值， 结合边长和余弦定理可得：直线AB与CD所成角的余弦值为 本题选择D选项.

1。 3

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 15．C

【解析】由图

答案第5页，总18页

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可知还原立体图像为：所以可知AB，CD异面，因为CE平行AB，所以∠DCE为所求角，因为三角形CDE为等边三角形，故∠DCE=60°选C 16．C 【解析】连接BD，交AC于点O， 取PC中点H，连接HO， HB， HE，则HE//AC， HO?平面ABCD ，所以异面直线BE 与AC所成的角等于BE与HE所成的角，即

?BEH，由底面ABCD为菱形且?DAB?60?， AB?2，则EH?3， BE?5，

BE2?EH2?BH215BH?2 ，在?BEH中，由余弦定理cos?BEH?.故选择?2BE?EH5C.

点睛：本题主要考查立体几何中异面直线成角问题，求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，主要解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移、辅助线、补形等手段将异面直线转化到共面，一般转化到一个三角形中，然后运用余弦定理求解；还有一种方法是空间向量求异面直线成角，即建立恰当的空间直角坐标系，根据向量数量积定义，利用坐标法求向量成角的余弦值.另外还要注意到异面直线成角的取值范围是?0,17．A

【解析】解：如图所示，由于棱锥的底面为正方形，故?ECB 或其补角为异面直线AD与CE所成的角，

取BC的中点F，由题意可知： cos?PBF?在△BCE中应用余弦定理可得： CE?????. ?2?BF1? ， BP4BC2?BE2?2BC?BE?cos?EBC?6 ，

答案第6页，总18页

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cos?BCE?6?4?46 ， ?42?2?66 . 4即：异面直线AD与CE所成角的余弦值为 本题选择A选项.

点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是?0,作为两条异面直线所成的角． 18．C

????2??，当所作的角为钝角时，应取它的补角答案第7页，总18页

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【解析】

设AA1 的中点为N ，则MN?BC1 ，连接MN,NB,BC1，MC1 ，则梯形MNBC1 就是过C1， B， M正方体的截面，其面积为19．A

【解析】如下图所示，可排除B选项.

1?2?2+22??329= ，故选C. 22

如下图所示，可排除C选项.

如下图所示，可排除D选项.

答案第8页，总18页

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综上，选A. 20．B

【解析】解：因为M、N分别是棱BB1和B1C1的中点，所以MN∥BC1∥AD1．

所以直线MN与直线CD1所成角的大小和直线AD1与直线CD1所成角的大小相等． 因为ABCD?A1BC11D1是正方体，

∴AD1=AC=CD1，

所以直线AD1与直线CD1所成角的大小为60°， 所以MN与CD1所成的角的大小为60°．

21．2 3

【解析】

连接CD，取CD中点为O，连接AO,OE，则有OE//PO,则， ?AEO或其补角即为所求； 设正四面体的棱长为

2，则AE?P?O，3 OE?13， PO?22AO?AD2?OD2?1?37?. 42答案第9页，总18页

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373??AE?OE?AO44?2. 在?AEO中，由余弦定理可得： cos?AEO??2AE?EO332?3?22故答案为.

322222．②④

【解析】①若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l?β，故①错误；

②若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故②正确； ③若l⊥α，α⊥β，m?β，则l与m相交、平行或异面，故③错误； ④若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l?α，故④正确。 故答案为：②④。 23．60?

【解析】连结AC,B1C ，不妨设AB?1 ,则BB1?2 ， 底面ABCD为正方形，则AC?2 ， 在Rt?BCB1 中， B1C?BC2?BB12?3 ,

AA12?AC2?2 ，由AB?A1B1 可知， ?B1AC1 为CA1 与

?由线面垂直关系可得AC1AB所成的角，

在△A1B1C中，由勾股定理可得A1B1?B1C 则sin?B1AC?1B1C3 , ?AC21?据此可得CA1与AB所成的角的大小为60

点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问

题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是?0,作为两条异面直线所成的角． 24．90°

【解析】连接??1??,??1??，由于??1??//??1??，所以∠??1????即为所求， ??1??= 5,??1??= 2,????= 3，满足勾股定理，故∠??1????=90°． 25．2 2????，当所作的角为钝角时，应取它的补角?2?答案第10页，总18页

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【解析】

设正四面体棱长为2,取BD中点Q,连接MQ,NQ,MN,则∠??????或其补角为所求,且

????=????=1,????????中,????=????= 3,????=2,∴????= 2,????????中,∠??????=45°,∴cos∠??????=

2,故2

填 .

2

26．

2?4 435为半径的球及其内部P是以A1为球心， 【解析】由题意可知，满足A1P?5的点的点，又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，所以平面区域W是以A为

1?PBC的距离为h?2，圆心，1位半径的圆的，所以可知W的面积是；设点A1 到平面

4412?h?S??S?PBC,所以当点P是AD的中点时， 所以四面体P?A的体积为BC?PBC1334S?PBC取得最大值为2，四面体P?A1BC的体积最大值是.

3P是以A1为球心， 点睛：本题的关键是对A1P?5的理解，满足A1P?5的点5为半径的球及其内部的，然后再根据平面和球的关系可得点P的轨迹，由此即可求

出结果.

27．6 6【解析】由题得：设AC与BD交于点O，连接B1O,则?B1OC??,又可知

?BO?6,OC?2,BC1OC???90，过点O做OH 垂直BC交BC11?22,所以?B于H，连接B1H,所以?OB1H??,所以cos??????sin??OH16 ??OB166点睛：根据题意先分析线线角通过计算求出??90?，然后根据线面角得定义作出?然后根据直接三角形求出sin?，要注意多分析题目条件

28．8

【解析】又因为三棱锥P?ABC的四个顶点均在半径为2的球面?PA,PB,PC两两垂直，

答案第11页，总18页

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上，所以以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，

?16?PA2?PB2?PC2，则由基本不等式可得PA2?PB2?2PA?PB，

PA2?PC2?2PA?PC,PB2?PC2?2PB?PC1?P2，即

6A?2·P?·P，则三棱锥??ABCB的侧面积? P1PB?PB·PC?PA·PC??8，则三棱锥P?ABC的侧面积的最大值为8，故答?PA·2案为8. S?29．

31

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则??(0,0,0),??(2,0,0),??1(0,0,2 2),??1(0,2 2,2 2),??(??,??,0)，

?? =(??,??,0), 所以??????????1的一个法1=(?2,0,2 2),????1=(0,2 2,2 2)，设??=(??,??,0)是平面????+??=0

??向量，则由题设{????+????=0，令??=1，则??=?1,??= 2?????= 2，即??= 2??，所

?2??+2 2??=0

?? ? 以| ????|= ??2+2??2= 3|??|,| ??????????所成1|= 4+8=2 3，则??1=?2??，故直线????1与??角的余弦值为cos??= 3|??|×2 3=3，应填答案3。

点睛：本题旨在考查空间的线面的位置关系与数量关系的计算问题，求解时充分借助题设条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量的有关知识进行分析求解，最终使得问题简捷、巧妙 获解。 30．4600

【解析】

(1)取????中点??，连????,???? ，则直线????与????所成角等于直线????与????所成角，因为????= 3,????=

1

|?2??|11

????=2 3,cos∠??????=2×3+12?12 3×2 =4 ，所以直线????与????所成角的余弦值为4，(2)取????中点??,则

311

答案第12页，总18页

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????⊥????,????⊥?????????⊥面???????面??????⊥面?????? ，因此直线????与平面??????所成的角为∠?????? ,因为????=????=????=2 3 ,所以∠??????=60°，因此直线????与平面??????所成的角为600.

31．（1）见解析;（2）10. 4【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从

线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设AC与BDAM交于点N，利用三角形相似可得AN?2CN,再根据平行四边形性质可得FN线面角，关键在找平面BEF的垂线，由AC?CF, AC?BC可得： AC?平面BCF，

即EF?平面BCF, 平面BEF?平面BCF,因此过点C作BF的垂线交BF于点H，则由面面垂直性质定理可得CH?平面BEF.又AC//EF，所以点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，最后根据直角三角形求线面角. 试题解析：（1）证明：在梯形ABCD中， ∵AB//CD， AD?DC?CB?a， ?ABC?60?，

∴四边形ABCD是等腰梯形，且?DCA??DAC?30?， ?DCB?120?， ∴?ACB??DCB??DCA?90?，∴AC?BC， 又∵AC?BD?3a，∴AB?2a.

设AC与BD交于点N， ?NBC??NBA?30?，

,（2）求

ABAN??2，连接FN， BCNC则AN//MF且AN?MF， ∴四边形AMFN是平行四边形，∴AM//NF， 又NF?平面BDF，∴AM//平面BDF. （2）由题知： AC//EF，∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H， ∵AC?CF， AC?BC， BC?CF?C， ∴AC?平面BCF，即EF?平面BCF，∴CH?EF， 又∵CH?BF， EF?BF?F，∴CH?平面BEF. 由角平分线定理知： 在Rt?BCF中， CH?2a， 2AE2?EM2?23a， 3CH6， ?AM4在?AEM中， AM?∴直线AM与平面BEF所成角的正弦值为答案第13页，总18页

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即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为32．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）?3.

310. 4【解析】试题分析：（Ⅰ）由各面间的垂直关系，可建立以??为坐标原点的空间直角坐

,?? 标系，进一步写出各点的坐标，求出 ????坐标，利用两者数量积为0可证异面直线 1??与????互相垂直；（Ⅱ）通过空间向量间的运算，求出平面的法向量，

平面??????1??1，得出平面??????1??1的法向量为????．进一步利用二面角与两平面法向量夹角

间的关系求出二面角的余弦值． 试题解析：

证：因为侧面??????1??1，??????1??1均为正方形， 所以

，

两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系

设，则

11

.

（Ⅰ）证明：由上可知： ????=(?1,1,0)， 1??=(2,2,0)， ?? 所以 ????=(?1,1,0)?(2,2,0)=?2+2+0=0,所以 ????，所以，异面直线??1??与????1?????1??⊥??11

1

1

互相垂直.

（Ⅱ）解： 设平面

的法向量为

，

，则有

，

取又因为

，得

，

，

平面??????1??1，所以平面??????1??1的法向量为

答案第14页，总18页

，分

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∴因为二面角

是钝角，所以，二面角

的余弦值为? .

3

3

33．（1）证明见解析；（2）?【解析】

10. 5试题分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明CC1?平面AOB1，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角C?AB1?A1的余弦值.

2的菱形，且试题解析：（1）由已知可得，四边形ACC1A1均为边长为1,BCC1B?.在图 （1）中，取CC1中点O, 连结AO,B1O,AC1，故?ACC1?ACC1??BCC?6011是等边三角形，所以AO?CC1，同理可得，B1O?CC1, 又因为AO?B1O?O，所以

CC1?平面AOB1, 又因为AB1?平面AOB1, 所以AB1?CC1.

（2）由已知得,OA?OB1?3,AB1?6, 所以OA2?OB12?AB12, 故OA?OB1.如图（2），分别以

?????????????OB1,OC1,OA为x轴，y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系，得

C?0,?1,0?,B1??m??1x,y,??3,0,0,A0,0,3,A10,2,3?????A1B3?,0,1z,?????,设平面CA1B的法向量

1???????????????AB?m?03?A,C?, ?0,由1?,????1??3??AC?m?0?, 得

??3x1?3z1?0, 令x1?1, 得z1?1,y1??3, 所以平面CAB?1的法向量为

???y1?3z1?0答案第15页，总18页

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??m?1,?3,1, 设平面AA1B1的法向量

???????n??x2,y2,z2?,AB1??????3,0,?3,AA1??0,2,0??, 由

???????AB1?n?0????????AA1?n?0, 得

???3x2?3z2?0n??1,0,1?, , 令x2?1,得z2?1,y2?0, 所以平面AA?1B1的法向量为

??2y2?0??????m?n210于是cos?m,n??????,因为二面角C?AB1?A1的平面角为钝角,所?55?2mn以二面角C?AB1?A1的余弦值为?10. 5

考点：1.二面角的平面角及求法；2.线面垂直判定及性质.

634．（1）3（2）1．

【解析】 试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线线角与向量夹角关系得线线角余弦值（2）利用空间向量求线面角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系列等量关系，解出?的值． 试题解析：（1）

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因为PA?平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD， 所以PA?AB，PA?AD，

又因为?BAD?90?，所以PA,AB,AD两两互相垂直． 分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则由AD?2AB?2BC?4，PA?4可得

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．

?????????所以BM?(?1,1,2)，AP?(0,0,4)，????2分 ??????????????????AP?BM??????cos?AP,BM?????|AP||BM| 所以? 0?(?1)?0?1?4?24?6?63，

6所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为3．??????????5分

?????（2）因为AN??，所以N(0,?,0)(0≤?≤4)，则MN?(?1,??1,?2)， ????????BC?(0,2,0)，PB?(2,0,?4)，

设平面PBC的法向量为m?(x,y,z)，

?????m?BC?0,??2y?0,??????m?PD?0,?2x?4z?0.?则 即? 令x?2，解得y?0，z?1，

答案第17页，总18页

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所以m?(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．???????????7分

4因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为5，

???????????2?2|MN?m|4?|cos?MN,m?|???????|MN||m|5?(??1)2?55所以解得

，

??1??0,4?，

所以?的值为1．???????????????????????10分

考点：利用空间向量求空间角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

答案第18页，总18页

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所以m?(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．???????????7分

4因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为5，

???????????2?2|MN?m|4?|cos?MN,m?|???????|MN||m|5?(??1)2?55所以解得

，

??1??0,4?，

所以?的值为1．???????????????????????10分

考点：利用空间向量求空间角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

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