第二章 习题解答
更新时间:2024-06-18 18:53:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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习题二答案
2.1 质量为16kg的质点在XOY平面内运动,受一恒力作用,力的分量为fx?6N,
fy??7N ,当t?0时,x?y?0,vx?2m?s?1,vy?0。求当t?2s时质点的位矢和
速度。
f63?解:ax?x?m1682m?s?2????????ay?fym??716m?s?2?
35vx?vx0??axdt??2??2??m?s?1084?????
2?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168于是质点在??时的速度?
57v??i?j48????
m?s?1?
r?(v0t?
11131?7137axt2)i?ayt2j?(?2?2???4)i?()?4j??i?j222821648m?
2.2 质量为0.25kg的质点受力F?ti(N)的作用,t?0时该质点以v?2j(ms)的速度通过坐标原点,则该质点任意时刻的位置矢量是
????????2(A)2ti?2j(m)(B)(2ti3)?2tj(m)
2??3(C)3ti4?2tj3(m)(D)条件不足不能确定
4答案:B
2.3 用一种钳子夹住一块质量M=50kg的混凝土砌块起吊(如图示)。已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数??0.4。如果
(1)钳子匀速上升,
(2)钳子以0.2m/s2的加速度上升,
(3)钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时,上端悬挂点突然停止运动(设悬挂点到砌块重心之间的距离l?4m),为使砌块不从钳子口滑出,至少必须对砌块施加多大正压力? 解:(1)水平方向N1?N2,竖直方向f1?f2?Mg,又f1??N1,f2??N2,
?N1?N2?Mg50?9.8??612.5N 2?2?0.4(2)水平方向N1?N2,竖直方向f1?f2?Mg?Ma,
?N1?N2?M(g?a)50?(9.8?0.2)??625N
2?2?0.4(3)物体以v?4m/s的速率,在半径为l的圆周上运动,
v2水平方向N1?N2,竖直方向f1?f2?Mg?M,
lv242M(g?)50?(9.8?)l?4?862.5N ?N1?N2?2?2?0.4
2.4 一滑轮两边分别挂着A和B两物体,它们的质量分别为mA=20kg,mB=10kg,今用力
?F将滑轮提起(如图示),当F分别等于(1)98N,(2)196N,
(3)392N,(4)784N时,求物体A和B的加速度以及两边绳中的张力(滑轮的质量与摩擦不计)。
解:F?2T?0,T?mAg?mAaA,T?mBg?mBaB,
?aA?FF?g,aB??g, 2mA2mB9898?9.8??7.35m/s2,aB??9.8??4.9m/s2, 2?202?10FaA?0,aB?0不合理,说明提不起。T??49N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0
2196196?9.8??4.9m/s2,aB??9.8?0, (2)F?196N,aA?2?202?10196?98N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0 表示仍提不起。T?2392392?9.8?0,aB??9.8?9.8m/s2,表(3)aA?2?202?10(1)F?98N,aA?示
A
不动,B
以9.8m/s2的加速度上升,
T?392?19N6.T?mAg,T?mBg. 2(4)
784784?9.8?9.8m/s2,aB??9.8?29.4m/s2, 2?202?10784T??392N.T?mAg,T?mBg.
2aA?(取竖直向上为正方向)
2.5质量为m质点在流体中作直线运动,,受与速度成正比的阻力F??kv(k为常数)作用,t?0时质点的速度为v0,证明: (1)t时刻的速度为v?v0e?ktm;
(2)由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e?ktm]; (3)停止运动前经过的距离为mv0k; (4)证明当t?mk时速度减至v0的1e。 证明:???∵a?即
?kvdvdv?kdt??分离变量,得?mdtvm?vv0t?kdtdvv?kt??????ln?lnem?0vmv0k?mt∴???????v?v0e???x?vdt??
k?mtkmv0mv0?mtdt?(1?e)???或令?→∞?x??
kk??ve00t???质点停止运动时速度为零,即?→∞,故有x????0v0ek?mtdt?mv0?kkmvm1?m??1????当??时,其速度为v?v0ek?v0e?0,即速度减至??的??
kee
2.6 质量为m的物体沿斜面向下滑动。当斜面的倾角为?时,物体正好匀速下滑。问:当斜面的倾角增大到?时,物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间? 解:当斜面倾角为α时,物体正好匀速下滑, x方向:mgsin??f1?0 y方向:N1?mgcos??0 又f1??N1
由以上几式,解得??tg? 当斜面倾角增大至β时, x方向:mgsin??f2?ma
y方向:N2?mgcos??0 又f2??N2
???gcos??gsin??gt?gcos? 由以上几式,解得 a?gsin斜面长L?h12h2h1?at2 ?t??? sin?2sin?asin?g(si?n?tg?cos?)?
2hcos??gsin?(sin?cos??cos?sin?)2hcos?
gsin?sin(???)2.7 把一段单位长度质量为?的绳子AB放在平放着的光滑圆
木上,A端固定在圆木的最高点,绳子等于该圆木的14周长,如图所示,圆木的半径为R
(1)画出?与????之间这一小段绳子的受力图,求出绳中张力
T的表达式。并证明上端的张力TA??Rg;
(2)写出圆木作用在?与????之间小段绳子上的法向力N的表达式。对这个水平分量求积分(对整段绳子),其结果等于TA,试说明这个结果的物理意义。 答案:(略)
2.8 一根绳子,一端被水平的拉着,另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为m的物
体,设绳子的质量可略去不计,绳子和棒之间的摩擦系数??14,如图所示,问当物体处于静止状态时,拉绳子的水平力F是多少?
答案:0.14mg?F?7.12mg
2.9 一根长为L、质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑木钉上,如图示。开始时BC?b。试证当BC=2L/3时,绳的加速度为a=g/3,速度为
v?2g(?b2?bL?2L29)L。
证明:设软绳的线密度为λ,
T??(L?y)g??(L?y)a
?yg?T??ya?a??g?2g2Lgy,当y?时,a? L33a?2gy?Lgdvdy2gy?Lgdv2gy?Lgdy ? vdv?LdydtLdtL2L3?vdv??0vb2gy?Lg1dy v2L2v20gy2?Lgy2L3?b
L22g(L)2?LgL2g422212gb2?Lgb233(L?L?b2?Lb) v?v??L932LL?v?2g22(? L?bL?b2) L9(也可以求解二阶常系数非其次微分方程来证明,或利用机械能守恒来证明)
2.10 一根绳子跨过一定滑轮,一端 拴在爬绳人的身上,另一端握在爬绳人的手中,人以自身体重的23的力往下拉绳。略去滑轮和绳子的质量以及它们之间的摩擦,绳子的长度不变,求人的加速度和绳中的张力。 解: 人拉绳的力和绳拉人的力是一对作用力和反作用力,∴绳中的张力
T?2mg 34gmg?mg?ma,?a? 33如图,对人做受力分析,F?ma,
2.11 如图,一条长为L的柔软链条,开始时静止地放在一光滑表面AB上,其一端D至B的距离为L-a。试证当D端滑到B点时,链条的速度为v?g2(L?a2)sin?。 L
解:?F(r)?dE(r)nk??n?1?drr方向与位矢?的方向相反,即指向力心.?
2.37 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点,距月球表面的距离是多少?地球质量5.98?1024kg,地球中心到月球中心的距离3.84?10m,月球质量7.35?1022kg,月球半径1.74?10m。
(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零,那么它在P点的势能为多少?
解:???设在距月球中心为?处?月引??地引,由万有引力定律,有??
mM月r286??
mM地?R?r?M月2?
经整理,得???
M地?M月R?
??
7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108?
??????????????
则?点处至月球表面的距离为?
?????月??????????????×???=????×??????????质量为????的物体在?点的引力势能为???????
EP??GM月mr月11?GM地m?
?R?r月?7.35?10225.98?1024?11??????6.67?10???6.67?10?77?38.4?3.83??103.83?10???????????106J?
2.38 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端,挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B,B的下端又挂一重物C,C的质量为M,,如图所示。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解:弹簧?、?及重物?受力如题????图所示平衡时,有??????????又??????Δ????????Δ???
所以静止时两弹簧伸长量之比为??
?x1k2???x2k1弹性势能之比为??
Ep1Ep21k1?x12k?2?2?1k12k2?x22
2.39 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸缩的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题图所示装置,弹簧的劲度系数为k,自然长度等于水平距离BC,m2与桌面间的摩擦系数为?,最初m1静止在A点,AB=BC= h,绳已拉直,现令m1滑块落下,求它下落到B处时的速率。
解:取?点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有??μ?????
11???????????[???????Δ???]?22式中Δ?为弹簧在?点时比原长的伸长量,则?Δ?????????2?????
2?m1?m2?gh?kh2联立上述两式,得????
m1?m2?2?1?2?
2.40 一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为v=vxi+vyj,质点受到一个沿x负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。 解:?由题知,质点的位矢为?
??????????
作用在质点上的力为?
??????
所以,质点对原点的角动量为?????×???
??????????×???????????
????????????????
作用在质点上的力的力矩为?
????×???????????×???????????
2.41 物体质量为3kg,t=0时位于r=4im,v=i+6j m s-1,如一恒力f=5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相对z轴角动量的变化。 解:??????p?fdt???305jdt?15jkg?m?s?1?
???解?一??????????????????
y?v0yt?1215at?6?3???32?25.5?223即???????????????????????????
5vy?v0y?at?6??3?11?
3即?????????????????
∴??????×??????×????????????
?????×??????????????×????????????????∴Δ??????????????????·??·????解?二??∵M?∴???L?dz?dtt0?t0M?dt??(r?F)dt?
3?15????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023???????????
??5(4?t)kdt?82.5k03kg?m2?s?1
2.42 平板中央开一小孔,质量为m的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动,当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量M2为的物体,如题2-24图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?
解:在只挂重物??时,小球作圆周运动的向心力为???,即?
???????ω??????????????????????????????????????????①?
挂上??后,则有?
????????????′ω′?????????????????????????????②?
重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.?即????????′??′?
?r02?0?r?2??2?????????????????????????????③?
联立①、②、③得?
?0????r??(M1gmr0M1gM1?M23()?mr0M1M1)3?r0M1?M22?
?????质量20g为的子弹以400m?s的速率沿如图所示的方向击入一原来静止的质量为980g的摆球中。摆线长为?米,不可伸缩,质量不计。子弹击入后摆球速度为?
(A)4ms;(B)8m?s;(C)2m?s;(D)8?rad?s。 答案:A
2.44 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?1010m时的速率是v1?5.46?104ms?1,它离太阳最远时的速率是v2?9.08?102ms?1,这时它离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解:哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有?????????????????????????
?1?1?1?1?1r1v18.75?1010?5.46?104∴r2???5.26?10122v29.08?10m?
2.45 电子质量为?×???????,在半径为???×??????的圆周上绕氢核作匀速运动,已知电子的角动量为
h,求它的角速度。?2??2解:电子角动量L?rmvsin??rm?rsin90?rm??对基态电子rm??2h,得电子角速度?2?h6.63?10?3416????4.18?10rad/s?2?31?1122?mr2?3.14?9?10?(5.3?10)?
2.46 升降机内有两物体,质量分别为m1,m2,且m1=2m2。用细绳连接,跨过滑轮,绳子不可伸长,滑轮质量及一切摩擦都忽略不计,当升降机以匀加速a=g/2上升时,求:(1)m1和m2相对升降机的加速度;(2)在地面上观察m1,m2的加速度各为多少? 解:分别以?????为研究对象,其受力图如图???所示.?
???设??相对滑轮?即升降机?的加速度为?′,则??对地加速度????′??;因绳不可伸长,故??对滑轮的加速度亦为?′,又??在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以??在水平方向对地加速度亦为?′,由牛顿定律,有?
??????????′????
?????′?
?
题????图?
联立,解得?′??方向向下???????对地加速度为?????′???
g??方向向上?2??在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即?绝??相′??牵?
g25∴a1?a??a?g??g?
42222θ???????
a1????????????°,左偏上.?a?2
2.47 火箭起飞时,从尾部喷出的气体的速度为3000m/s,每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为50t,求火箭得到的加速度。
解:火箭的运动是变质量系统的反冲运动。当喷出dm气体,其速度增加dv
mv?(m?dm)(v?dv)?(?dm)(v?u)∴dv??u则a?
dm, mdv1dm1??u??3000?(?600)??36m/s2 3dtmdt50?102.48 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动,圆的半径为R0,速率为v0。因火箭爆发,给飞船增加了向外的速度分量vx?v0。于是它的轨迹成为椭圆。?
⑴试证引力可写成?
2mv0R0F??2r⑵试用R0、v0以及vx写出椭圆方程,并利用相应的计算机语言编程作图。
2v0Mm2(1)证明:m作圆周运动时,G02?m, ?G0M?R0v0 (1)
R0R02R0Mmmv0M作椭圆运动时,F?G02?
rr2
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