1.2正余弦定理应用举例

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1.2 正余弦定理应用举例

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复习、请回答下列问题：

(1)解斜三角形的主要理论依据 是什么？(2)关于解三角形，应该掌握了 哪几种类型？

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复习. 下列解三角形问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？

余弦定理先求出A,或先求出B,C (1)a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ; (2)b=1,c= 2 ,A=105º_________________________________ ;余弦定理先求出a

正弦定理先求出b (3)A=45º =60º a=10; ,B , ________________________________(4)a=2 3 ,b=6,A=30º ________________________________ o) . 正弦定理先求出B(60o或120

无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________

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正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 :(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.

包含不可达到的点

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要测量不可到达的两点间的距离,可用 哪些方法?如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测 量两点之间的距离?B

A

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方案一:构造直角三角形在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BC 若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出 B

A

此方案有缺限吗?

C

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例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测 量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在 所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是 55m,∠BAC=510,∠ACB=750.求A、B两点 的距离(精确到0.1m)B

A

C

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练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C 岛间的距离是 。 C 60°

解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 答：

A75°

5 6 海里B

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例2、如图，A、B两点都在河的对岸(不 可到达),设计一种测量A、B两点间距 离的方法。

.

A

.

B

D.

基 线

.C

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练习2、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1 公里长的基线CD,并测得∠ACD=90o,∠BCD=60o, ∠BDC=75o,∠ADC=30o,求A、B两点的距离.

B D

AC

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分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系 的三角形有△ABC和△ABD,利用其一可求AB。 略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o △BCD中，1/sin45=BD/sin60,可求BD。

由余弦定理在△ABD中可求AB。( AB 30 0.913) 6

BD A C

∠ACD=90o,∠BCD=60o, ∠BDC=75o,∠ADC=30o,

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练习：海中有岛A,已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货 轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°,航行20 2 海里后，

见此岛在北偏东30°,如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。

A北 北

B

20 2

C

M

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解： 在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：

AC BC sin15 sin 45 由BC=20 2 ,可求AC ∴ 得AM= 15 2 5 6 ≈8.97>8

A∴无触礁危险 北 75 北 30 20 2

B

C

M

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思 考 背景 资料

如何测量地球与月亮之间 的距离?早

在1671年,两位法国天文学家为了测量地 球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子 午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小 和两地之间的距离,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km. A

B

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例3:如图:甲船以每小时30 2 海里的速度向正 北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处，此时两船相距20海里.当 甲船航行20分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲 船的北偏西120°方向的 B2 处，此时两船相 距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？120

A2

B2

105 A1

B1

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小结：求解三角形应用题的一般步骤：

1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；

3、将实际问题转化为数学问题，写出

已知所求；4、正确运用正、余弦定理。

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实际问题

抽象概括 示意图

数学模型 推 演 理 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

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几个概念： 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线 的夹角。方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度. N 视 线

方位角 60度目标方向线

仰角水平线

俯角视 线

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问题.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑 物高度AB的方法。A

D

CB

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例4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟 囱底部在同一水平直线上的C,D两处，测得烟囱的仰角

分别是α=35°12′和β=49°28′,CD间的距离是11.12m.已知测角仪器高1.52m,求烟囱的高.

49028 35012

11.12 m

1.52m

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B49028

35012 C1

求A1 B

D1

A1

C 11.12 m D解 : 在 BC1 D1中, 已知 BC1 D1 35012 , C1 D1 B 1800 1300 32 ,

A

1.52m

C1 BD1 14016

C1 D1 BC1 根据正弦定理得 sin C1 BD1 sin C1 D1 B

11.12 sin1300 32 BC1 34.30, 在Rt A1 BC1中, 0 sin14 16 A1 B BC1 sin35012 19.77,

故烟囱的高度为 .29m. 21

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