2-1-3平方差、完全平方公式的应用 讲义教师版

平方差、完全平方公式的应用

例题精讲

板块一：平方差公式

模块一：平方差公式的几何运用

【例1】 如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上

述操作所能验证的公式是__________.

aabb

【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2005年，福州中考，代几综合

【解析】如图，左图中阴影部分的面积为a2?b2，右图中阴影部分的面积为(a?b)(a?b)，而两图中阴影部分

的面积应该是相等的，故验证的公式为(a?b)(a?b)?a2?b2(反过来写也可)

【答案】(a?b)(a?b)?a2?b2

【巩固】 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a?b)，把剩下的部分拼成一个梯形，

分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.

abb

【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2005年，福建漳州，代几综合

baa

1【解析】左图中阴影部分的面积为a2?b2，右图中阴影部分的面积为(2b?2a)(a?b)?(a?b)(a?b)，故验

2证了公式(a?b)(a?b)?a2?b2(反过来写也可) 【答案】(a?b)(a?b)?a2?b2

模块二：平方差公式的代数运用 【例2】 填空：

⑴?5a???5a???25a2?16b2

⑵????12?1242x?y??x?y 3?259?5【考点】平方差公式 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】

2??12??1【解析】⑴?5a?4b??5a?4b??25a2?16b2；⑵?x?y??x?y??3??53??52??12??1【答案】⑴?5a?4b??5a?4b??25a2?16b2；⑵?x?y??x?y??3??53??5

【巩固】 计算：

1??11??1⑴??xm?yn???xm?yn?

5??45??4⑵?a?b?c??a?b?c?

1242x?y 2591242x?y 259【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

112n?1??1?y； 【解析】⑴原式=??xm???yn??x2m?451625????2222⑵原式???a??b?c?????a??b?c????a??b?c??a?b?2bc?c

222112n?1??1?y；⑵a2?b2?2bc?c2 【答案】⑴??xm???yn??x2m?25?4??5?16

11【例3】 运用平方差公式计算：⑴(x2y?)(x2y?)；⑵(?4a?1)(?4a?1)；⑶(am?bn)(am?bn)

22【考点】平方差公式

22【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

1111【解析】⑴(x2y?)(x2y?)?(x2y)2?()2?x4y2?

2224 ⑵(?4a?1)(?4a?1)?(?4a)2?12?16a2?1 ⑶(am?bn)(am?bn)?(am)2?(bn)2?a2m?b2n

1111【答案】⑴(x2y?)(x2y?)?(x2y)2?()2?x4y2?

2224 ⑵(?4a?1)(?4a?1)?(?4a)2?12?16a2?1

⑶(am?bn)(am?bn)?(am)2?(bn)2?a2m?b2n

【例4】 如果?2a?2b?1??2a?2b?1??63，那么a?b的值是 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2003年，河南中考

2【解析】∵?2a?2b?1??2a?2b?1??63，∴?2a?b?1?63，∴a?b??4 ?????2【答案】a?b??4

【巩固】 利用平方差公式简化计算：

⑴59.8?60.2

⑵102?98

114⑶123462?12345?12347 ⑷1?

1515【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴59.8?60.2?(60?0.2)(60?0.2)?602?0.22?3599.96 ⑵102?98?(100?2)(100?2)?1002?22?9996

⑶123462?12345?12347?123462?(12346?1)(12346?1)?123462?(123462?12)?1

114111124 ⑷1??(1?)(1?)?1? ?15151515125125【答案】⑴3599.96；⑵9996；⑶1；⑷

124 125

【巩固】 计算：⑴(x?3)(x?3)(x2?9)；

⑵(2a?3b)(4a?5b)(2a?3b)(5b?4a) 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴(x?3)(x?3)(x2?9)?(x2?9)(x2?9)?x4?81；

⑵原式?(4a2?9b2)(25b2?16a2)?100a2b2?64a4?225b4?144a2b2??64a4?244a2b2?225b4； 【答案】⑴x4?81；⑵?64a4?244a2b2?225b4

【例5】 设N??2?1?22?124?128?1216?1，求N的各位数字 【考点】平方差公式 【难度】4星 【题型】计算

????????

【关键词】希望杯测试

【解析】N??2?1?22?124?128?1216?1 ??2?1??2?1?22?124?128?1216?1 ?...

?216?1216?1

?232?1

N?168?1，而168的个位数字与68的各位数字相同，68的个位数字为6，所以N的个位数字为5 【答案】5

【巩固】 求积A的个位数字：A??2?1?22?124?128?1216?1232?1264?1 【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】人大附中单元练习 【解析】A??2?1??2?1?22?1是5)

【答案】5

【例6】 计算：12?22?32?42?52?62??992?1002的值是( )

A.5050. B.?5050. C.10100. 【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第19届，希望杯培训试题

【解析】原式?(1?2)(1?2)?(3?4)(3?4)?(5?6)(5?6)???1?(3?7?11??(99?100)(99?100)

???????????????????????????????????264?1???264?1??264?1??2128?12n各位数字的循环4个一周期，周期为：

2、4、8、6，128?4?32，所以2128个位为6，故2128?1个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定

D.?10100.

3?199???199)??1??50????5050，故选B.

2??【答案】B

2005?20072006?20082007?2009，b?，c?，比较三者大小．

200620072008【考点】平方差公式 【例7】 已知a?【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第18届，希望杯培训试题

2005?2007(2006?1)(2006?1)1【解析】a?， ??2006?2006200620062006?200812007?20091，c?，易得a?b?c． b??2007??2008?2007200720082008【答案】a?b?c

【例8】 计算：?2?1?22?124?1【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式??2?1??2?1?22?124?1【答案】264

1??1??1??1??【巩固】 计算：?1???1???1???1???2??4??16??256?1???1?2n? ?2??????232?1??1

?????232?1??1?264

【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】101中学实验班辅导材料 1??1??1??1??【解析】原式?2?1???1???1???1??2??4??16??2??1【答案】2?4n?1

2

1?1???1?2n??2?1?4n2???21???2?4n?1．

2?

【例9】 (第16届希望杯2试)如果(a?b)2?(a?b)2?4，则一定成立的是( )

A．a是b的相反数 B．a是?b的相反数 C．a是b的倒数 D．a是?b的倒数 【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】第16届，希望杯2试

【解析】将原式展开，合并后得到ab?1，选择C． 【答案】C

【巩固】 计算(a?b)(a?b)(a2?b2)(a4?b4) 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?(a2?b2)(a2?b2)(a4?b4)?(a4?b4)(a4?b4)?a8?b8 【答案】a8?b8

【巩固】 计算：(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)

【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】

【解析】设S?(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)，两边乘以(3?1)，得

(3?1)S?(3?1)(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1) ?(32?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)?32?364?1

1∴S?(364?1)，即(3?1)(32?1)2643?1【答案】

2

【例10】 求3?5?17?.....?(22?1)的值. 【考点】平方差公式 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】

n?1364?1． (3?1)?2【解析】观察原式的每一项，均可写成2n?1(n?1,2,...2n?1)的形式，而1=2-1，

故原式?3?5?17?.....?(22?1)?(2?1)?(2?1)?(22?1)?....?(22?1)?22?1.

【答案】22?1

【例11】 计算：296?1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数． 【考点】平方差公式 【难度】4星 【题型】计算

【关键词】2007年，华罗庚金杯赛前集训

【解析】296?1?248?1248?1?26?126?1212?1224?1248?1

122448nn?1n?1n???63?65??2?1??2?1??2?????????????1?，这两个数是63和65．

【答案】63和65

【巩固】 已知324?1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【考点】平方差公式 【难度】4星 【题型】计算

【关键词】2007年，华罗庚金杯赛前集训

【解析】324?1?312?1312?1?312?136?133?133?1?312?136?1?28?26

所求二整数为28、26．

【答案】28、26

【例12】 计算：12?22?32?42?52?62??????????????????992?1002的值是( )

A.5050.

【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算

B.?5050. C.10100. D.?10100.

【关键词】第19届，希望杯培训

【解析】原式?(1?2)(1?2)?(3?4)(3?4)?(5?6)(5?6)???1?(3?7?11??(99?100)(99?100)

3?199???199)??1??50????5050，故选B.

2??【答案】B

板块二：完全平方公式

模块一：完全平方公式的几何运用 【例13】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、

b的恒等式___________.

abab

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2006年，四川内江中考

【解析】(a?b)2?(a?b)2?4ab或4ab?(a?b)2?(a?b)2 【答案】4ab?(a?b)2?(a?b)2

【巩固】 请设计一个几何图形，验证(a?b)2?a2?2ab?b2.

ba-ba-bb2b

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】代几综合

【解析】换汤不换药，图形同上，将其中的字母修改即可，如图整个大正方形的面积为a2，两个小正方形的

面积分别为(a?b)2、b2，另外两个长方形的面积均为b(a?b)，

故(a?b)2?a2?b2?2(a?b)b?a2?2ab?b2，这就是差的完全平方公式的几何意义.

【答案】(a?b)2?a2?b2?2(a?b)b?a2?2ab?b2

【例14】 如果a，b，c是△ABC三边的长，且a2?b2?ab?c(a?b?c)，那么△ABC是( )

A. 等边三角形． B. 直角三角形． C. 钝角三角形． D. 形状不确定． 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】代几综合

1【解析】已知关系式可化为a2?b2?c2?ab?bc?ac?0，即(2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ac)?0，

21所以[(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2]?0，故a?b，b?c，c?a.即a?b?c．选A．

2【答案】A

模块二：完全平方公式的代数运用 【例15】 下列各式中，计算正确的是（ ）

A．?p?q??p2?q2 B．?a?2b??a2?2ab?b2 C．?a2?1??a4?2a2?1 D．??s?t??s2?2st?t2

2222【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】

【解析】根据两数和的完全平方公式，选择C 【答案】C

【例16】 计算：⑴(?8a?11b)2；⑵(?2x?3y)2 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴原式?(11b?8a)2?121b2?176ab?64a2；⑵原式?(2x?3y)2?4x2?12xy?9y2 【答案】⑴121b2?176ab?64a2；⑵4x2?12xy?9y2

k为常数，则m?k的值为（ ） 【巩固】 若把代数式x2?2x?2化为(x?m)2?k的形式，其中m，A．?2

【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算

B．?4 C． 2 D．4

【关键词】2010年，昌平二模 【解析】根据题意，可知选择A 【答案】A

11【巩固】 计算：⑴(4m?n)2；⑵(x?)2；⑶(3x?2y)2；⑷(?4y?)2

24【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴(4m?n)2?(4m)2?2?4mn?n2?16m2?8mn?n2

1111 ⑵(x?)2?x2?2x?()2?x2?x?

2224 ⑶(3x?2y)2?(3x)2?2?3x?2y?(2y)2?9x2?12xy?4y2

11?1111? ⑷(?4y?)2???(4y?)??(4y?)2?(4y)2?2?4y??()2?16y2?2y?

44?44416?2【答案】⑴16m2?8mn?n2；⑵x2?x?

【例17】 如果多项式x2?kx?【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】

11；⑶9x2?12xy?4y2；⑷16y2?2y? 4161是一个完全平方式，那么k的值为 92【解析】参看公式我们可以发现k??，学生在此极易少答案

32【答案】k??

3

【巩固】 如果多项式x2?kx?4是一个完全平方式，那么k的值为 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】

【解析】由完全平方公式的定义可知：k??4 【答案】k??4

【巩固】 若4x2?3(a?2)x?25是完全平方式，求a的值． 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】4x2?3(a?2)x?25?(2x)2?3(a?2)x?52?(2x?5)2

即4x2?3(a?2)x?25?4x2?20x?25或4x2?3(a?2)x?25?4x2?20x?25 故?3(a?2)?20或?3(a?2)??20，解得：a??【答案】a??

【巩固】 若整式4x2?Q?1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】2005年，江苏扬州中考，人大附中

【解析】若把Q视为2ab这一项，4x2?Q?1?(2x)2?12?Q，

那么单项式Q可以是?2?2x?1??4x；

若把?4x2视为2ab这一项，4x2?Q?1?2?2x2?1?12?Q，那么单项式Q可以是4x4； 若把?1视为2ab这一项，4x2?Q?1?(2x)2?2?2x?那么Q可以是

1426或a? 331426或a? 331?Q， 4x1，但它不是单项式，所以此答案不符合题意．Q还可以是?4x2、?1． 216x【答案】见解析，如?4x2、?1

【巩固】 如果4x2?axy?9y2是完全平方式，试求a的值. 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】4x2?axy?9y2?(?2x)2?axy?(?3y)2?(?2x?3y)2，故a??12. 【答案】a??12

【巩固】 若式子9x2?M?4是完全平方式，请你写出所有满足条件的M ． 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】

【解析】若把M视为2ab这一项，9x2?M?4?(3x)2?M?22，此时M可以为?12x；

981若把9x2视为2ab这一项，9x2?M?4?M?22?2?2?x2，此时M可以为x4；

41624若把4视为2ab这一项，9x2?M?4?(3x)2?M?2?3x?，此时M可以为2，

3x9xM还可以是?9x2、?4． 【答案】见解析

【例18】 计算：⑴(3a2b?0.5ab2)2；⑵(11am?13bn)2；⑶(2x?5)(5?2x)?(2x?5)2 ⑷(a?b?c)2；⑸(a?b?c)2；⑹(a?2b?3c)2 【考点】完全平方公式 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴(3a2b?0.5ab2)2?9a4b2?3a3b3?0.25a2b4； ⑵(11am?13bn)2?121a2m?286amnn?169b2n

⑶(2x?5)(5?2x)?(2x?5)2??(2x?5)2?(2x?5)2??2(2x?5)2??8x2?40x?50 ⑷原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc ⑸原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc ⑹原式?a2?2b3?3c2?4ab?6ac?18bc 【答案】⑴(3a2b?0.5ab2)2?9a4b2?3a3b3?0.25a2b4； ⑵(11am?13bn)2?121a2m?286amnn?169b2n

⑶(2x?5)(5?2x)?(2x?5)2??(2x?5)2?(2x?5)2??2(2x?5)2??8x2?40x?50 ⑷原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc ⑸原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc ⑹原式?a2?2b3?3c2?4ab?6ac?18bc

1??【巩固】 利用乘法公式计算：⑴??99?；⑵38.92?77.8?48.9?48.92

2??2【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】

1?12?1??【解析】⑴原式??99???100???9900；⑵原式?38.92?2?38.9?48.9?48.92??38.9?48.9??100

2?4?2??1【答案】⑴9900；⑵100

4

22

【巩固】 计算：⑴(x?2)2(x?2)2；⑵(x?5y?9)(x?5y?9)；⑶(a?b?c)(a?b?c) 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴(x?2)2(x?2)2??(x?2)(x?2)??(x2?4)2?x4?8x2?16；

⑵(x?5y?9)(x?5y?9)?x2?(5y?9)2?x2?(25y2?90y?81)?x2?25y2?90y?81 ⑶原式??a?(b?c)??a?(b?c)??a2?(b?c)2?a2?b2?c2?2bc 【答案】⑴x4?8x2?16；⑵x2?25y2?90y?81；⑶a2?b2?c2?2bc

21【例19】 先化简，再求值：(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2，其中x??

3【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2006年，成都中考，平方差公式

【解析】(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2?9x2?4?5x2?5x?(4x2?4x?1)?9x?5

11 又x??，故原式=9x?5?9?(?)?5??8

33【答案】?8

3x?5y?(2x?y)的值. 【巩固】 已知x2?6xy?9y2?0，求代数式

4x2?y2【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2010年，海淀二模 【解析】x2?6xy?9y2?0，

(x?3y)2?0

3x?5y?(2x?y)

(2x?y)(2x?y)3x?5y3(3y)?5y14=== 2x?y2(3y)?y5∴x?3y．∴原式=

【答案】

14 5

2【巩固】 先化简后求值：??(x?y)?(x?y)(x?y)???2x，其中x?3，y?1.5.

【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2005年，江苏盐城

222222【解析】??(x?y)?(x?y)(x?y)???2x?(x?2xy?y?x?y)?2x?(2x?2xy)?2x?x?y.

又x?3，y?1.5，故原式?x?y?3?1.5?1.5.

2 法2：?(x?y)?(x?y)(x?y)????2x?(x?y)?2x?2x?x?y?1.5

【答案】1.5

【巩固】 计算：(2x?y?2)(y?2x?2). 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?[2?(2x?y)][2?(2x?y)]?4?(2x?y)2?4?4x2?4xy?y2 【答案】4?4x2?4xy?y2

【例20】 求证：?a?b?c??a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】

2【解析】?a?b?c?????a?b??c????a?b??2c?a?b??c ?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

2222【答案】见解析

1??【巩固】 计算：?2x?y?z?

2??2【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

?1?1??【解析】原式??2x???y????z???4x2?y2?z2?4xy?yz?2zx

4?2???1【答案】4x2?y2?z2?4xy?yz?2zx

4

【巩固】 计算：?a?2b?c??2b?c?a?

2

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式???2b?c?a???4b2?c2?a2?4bc?4ab?2ac??4b2?c2?a2?4bc?4ab?2ac 【答案】?4b2?c2?a2?4bc?4ab?2ac

【巩固】 已知a?b?3，a2b?ab2??30，则a2?ab?b2?11? ． 【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】第17届，希望杯1试

【解析】a2b?ab2?ab(a?b)?3ab??30，所以ab??10，a2?ab?b2?11?(a?b)2?3ab?11?50． 【答案】50

【例21】 推导(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的展开式，并总结公式. 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】

【解析】(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?2(a2?b2?c2?ab?bc?ca)或

2??1?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2??a2?b2?c2?ab?bc?ca. ??2帮助学生认清每一项是由哪一部分产生的！

【答案】见解析

【例22】 推导(a?b?c)2、(a?b?c?d)2的公式，比较(a?b)2、(a?b?c)2、(a?b?c?d)2的公式，并探索

规律. 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】找规律

【解析】(a?b)2?a2?b2?2ab

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca (a?b?c?d)2?(a?b)2?2(a?b)(c?d)?(c?d)2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd

观察上述三个公式，可发现如下规律：

一、项数：设字母（或者说元）的个数为n，则公式的展开式的项数为1?2?..?n? 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2； 三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式. 【答案】见解析

【巩固】 利用例题得出的规律推导(a?b?c?d)2、(a?b?c?d)2、(a?b?c?d?e)2的展开式. 【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】找规律

【解析】令(a?b?c?d)2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd中d??d，也就是以?d替换d

可得，(a?b?c?d)2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd

同理可知，(a?b?c?d)2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd

根据例题中归纳出来的规律，(a?b?c?d?e)2的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数

均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知

(a?b?c?d?e)2?a2?b2?c2?d2?e2?2ab?2ac?2ad?2ae?2bc?2bd?2be?2cd?2ce?2de

n(n?1)； 2【答案】见解析

【例23】 如果(a?b)2?(a?b)2?4，则一定成立的是( )

A．a是b的相反数 B．a是?b的相反数 C．a是b的倒数 D．a是?b的倒数 【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】第16届，希望杯2试

【解析】将原式展开，合并后得到ab?1，选择C．

【答案】C

【例24】 已知实数a、b满足(a?b)2?1，(a?b)2?25，求a2?b2?ab的值． 【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2004年，山西太原中考

(a?b)2?(a?b)2(a?b)2?(a?b)2【解析】a?b??13，ab???6，a2?b2?ab?7．

2422

【答案】7

a2?b2【巩固】 已知a(a?1)?(a?b)??5，求?ab的值．

2【考点】完全平方公式

2【难度】2星 【题型】解答 【关键词】

a2?b2(a?b)225【解析】由条件得a?b?5， ?ab??22225【答案】

2

【例25】 设a，b为有理数，且a?b?20，设a2?b2的最小值为m，ab的最大值为n，则m?n? ．

【考点】完全平方公式 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】第17届，希望杯培训试题

(a?b)2?(a?b)21【解析】a?b?， ??202?(a?b)2???22因为(a?b)2?0，所以a2?b2最小值m?200；

22(a?b)2?(a?b)21，所以ab的最大值n?100，故m?n?300． ab???400?(a?b)2???44【答案】300

【巩固】 若(x?2)2?(x?3)2?13，则(x?2)(3?x)? .

【考点】完全平方公式 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】第19届，希望杯培训试题

【解析】(x?2)2?(x?3)2?(x?2)2?(3?x)2??(x?2)?(3?x)??2(x?2)(3?x)?25?2(x?2)(3?x)?13，

所以2(x?2)(3?x)?12，(x?2)(3?x)?6.

【答案】6

2111x?20，b?x?19，c?x?21，求代数式a2?b2?c2?ab?bc?ca的值. 202020【考点】完全平方公式 【例26】 已知a?【难度】3星 【题型】解答 【关键词】河南省中考

111x?20，b?x?19，c?x?21，可知，a?b?1，b?c??2，c?a?1 20202011222? 故a2?b2?c2?ab?bc?ca??(a?b)?(b?c)?(c?a)??2?6?3 2?【解析】由a?【答案】3

【例27】 已知a?b?b?c?【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2006年，浙江宁波中考

36【解析】由a?b?b?c?可知，a?c?，

551199362222?故ab?bc?ca?(a2?b2?c2)??. (a?b)?(b?c)?(c?a)?1??(??)???2?2252525252【答案】?

25

3，a2?b2?c2?1，求ab?bc?ca的值. 5?b2?2ac?14?b，c满足方程?c2?2ab?29【例28】 已知三个数a，?2?a?2bc?21【考点】完全平方公式 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】第20届，希望杯培训试题

，求a?b?c.

【解析】三式相加，得a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?64，所以?a?b?c??64，a?b?c??8. 【答案】?8

【例29】 x，y，z为有理数且(y?z)2?(z?x)2?(x?y)2?(y?z?2x)2?(x?z?2y)2?(x?y?2z)2，

(yz?1)(zx?1)(xy?1)求2的值． (x?1)(y2?1)(z2?1)【考点】完全平方公式 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】希望杯培训试题

【解析】先将已知等式(y?z)2?(x?y)2?(z?x)2?(y?z?2x)2?(x?z?2y)2?(x?y?2z)2

的等号两边分别展开，得：

左边?2x2?2y2?2z2?2xy?2yz?2xz； 右边?6x2?6y2?6z2?6xy?6yz?6xz 对等号两边合并同类项，

得2x2?2y2?2z2?2xy?2yz?2xz?0

2

即(x?y)2?(x?z)2?(y?z)2?0. 因为x，y，z均为实数

(yz?1)(zx?1)(xy?1)(x2?1)(y2?1)(z2?1)??1. 所以x?y?z，故2(x?1)(y2?1)(z2?1)(x2?1)(y2?1)(z2?1)【答案】1

【巩固】 已知(x?y)2?2x?2y?1?0，则(x?y)999?___________. 【考点】完全平方公式 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】广西竞赛试题

【解析】解法一：由已知条件可知，x2?y2?1?2xy?2y?2x?(x?y?1)2?0，故x?y?1，(x?y)999?1. 解法二：由已知条件可知，(x?y)2?2(x?y)?1?(x?y?1)2?0，故x?y?1，(x?y)999?1. 【答案】1

11，求的值. ?7a?a2a【考点】完全平方公式 【例30】 已知：a2?【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】∵a2?【答案】?3

111212，∴，即，?7a??2?9(a?)?9a???3 a2a2aa11，求的值. ?3a?2aa【考点】完全平方公式 【巩固】 已知：a2?【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】∵a2?【答案】?1

111212，∴，即，?3a??2?1(a?)?1a???1 22aaaaa4?a2?11【巩固】 已知a??5，则=_________. 2aa【考点】完全平方公式

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】101中学期中考试

a4?a2?121112【解析】a??5?a?2?23，?a?2?1?24 2aaaa【答案】24

11?5，求x?的值. xx【考点】完全平方公式 【巩固】 设x?【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】∵x?【答案】?3

【巩固】 已知：x2?7x?1?0，求⑴x?【考点】完全平方公式 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】

11111?5，∴x2?2?2?5，∴(x?)2?x2?2?2?9，所以x???3 xxxxx111；⑵x2?2；⑶x4?4的值. xxx1x2?7x?1【解析】⑴∵x?7x?1?0，∴x?0，∴?0，即x??7

xx111⑵∵x??7，∴x2?2?2?49，∴x2?2?47

xxx111⑶∵x2?2?47，∴x4?4?2?2209，∴x4?4?2207

xxx【答案】见解析

x2x【巩固】 若2=__________. ?7，则4x?x?1x?x2?1【考点】完全平方公式

2【难度】4星 【题型】填空 【关键词】 【解析】

x118134?7??7?x???x2?2??

1x?x?1x7x49x??1x2x211149???? 4

x?x2?1x2?1?11?341515x24949【答案】

49 15

x4?19x2?1【巩固】 若x?4x?1?0，则3=_________.

2x?19x2?2x【考点】完全平方公式

2【难度】4星 【题型】填空 【关键词】

112?19(x?)?172x?19x?13312xx【解析】x?4x?1?0?x???4，3????3.

2x?19x2?2x2(x?1)?192(x?1)?1911xxx42x2?【答案】3

如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.

课后练习

1.

aba2a【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2006年，包头市课改

b2babab

【解析】如图，整个大正方形的面积为(a?b)2，而四个小图形的面积之和为a2?2ab?b2，因此验证的公式

为：(a?b)2?a2?2ab?b2

【答案】(a?b)2?a2?2ab?b2

7373计算：(x?y)(x?y)

2424【考点】平方差公式 2. 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

7349292【解析】原式?(x)2?(y)2?x?y

24416499【答案】x2?y2

416

3. 计算：(?3x?5y)(?3x?5y)

【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?(?3x)2?(5y)2?9x2?25y2； 【答案】9x2?25y2 4. 计算：(2?1)(22?1)(24?1)【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?(2?1)(2?1)(22?1)(24?1)?(22?1)(22?1)(24?1)?(28?1)(22n?1)

(22n?1)

(22n?1)(22n?1)?(24?1)(24?1)(22n?1)?(22n)2?1?24n?1

【答案】24n?1

111)(1?)(1?)223342【考点】平方差公式 5.

计算：(1?【难度】3星 【题型】计算 【关键词】

(1?1) 102111111【解析】原式?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)223344132434??????223345【答案】 6.

计算：1002?992?982?972?962(1?11)(1?) 101091111111 ????10102102011 20?22?12

【考点】平方差公式 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)(2?1)(2?1)

?100?99?98?97【答案】5050

12?1?(100?1)?100??5050

2

24682008? ．

123420062?12342005?12342007【考点】平方差公式 7.

计算：

【难度】4星 【题型】填空

【关键词】第18届，希望杯培训试题

24682008?24682008． 【解析】原式?123420062?(12342006?1)?(12342006?1)【答案】24682008 8.

计算：(?2x?3y)2

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式?(2x?3y)2?4x2?12xy?9y2 【答案】4x2?12xy?9y2 9. 计算：(a?2b)(2b?a) 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式??(a?2b)2??(a2?4ab?4b2)??a2?4ab?4b2 【答案】?a2?4ab?4b2

10. 计算：(a2?ab?b2)(a2?ab?b2) 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

22224224???【解析】原始?? (a?b)?ab(a?b)?ab?a?ab?b????

【答案】a4?a2b2?b4

11. 计算：(2x?y?2)(y?2x?2) 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】

【解析】原式?[2?(2x?y)][2?(2x?y)]?4?(2x?y)2?4?4x2?4xy?y2 【答案】4?4x2?4xy?y2 12.

计算：(x?y)2?(x?y)(x?y)；

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2006年，江西课改

【解析】(x?y)2?(x?y)(x?y)?x2?2xy?y2?(x2?y2)?2y2?2xy； 【答案】2y2?2xy

3131计算：(2x?y?z)(y?z?2x)；

5353【考点】平方差公式 13. 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

3131134192【解析】(2x?y?z)(y?z?2x)?(2x?z)2?(y)2?4x2?xz?z2?y

53533539254192【答案】4x2?xz?z2?y

3925

14. 计算：(a2?ab?b2)(a2?ab?b2)； 【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

22224224???【解析】原始?? (a?b)?ab(a?b)?ab?a?ab?b????【答案】a4?a2b2?b4 15.

已知a?b?3，ab?12，求下列式的值：a2?ab?b2= ；(a?b)2=

【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】

【解析】a2?ab?b2?a2?2ab?b2?3ab?(a?b)2?3ab?45

(a?b)2?a2?2ab?b2?a2?2ab?b2?4ab?(a?b)2?4ab?57

57 【答案】45，

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