第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望 §4.2 方差

一、填空题

1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；

2.已知随机变量X的分布律为:

X?xi 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.2 4 0.3 P?X?xi? 则Y?g(X)?5X2?X?1的期望E(Y)? 37.7 ；

3.已知随机变量X~B?n,p?,E(X)?2.4,D(X)?1.44,则二项分布的参数为 n? 6 , p? 0.4 ；

4. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E(X?1)(X?2)?2，则?? 2 ； 5. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2X)? 4/3 ； 6. 若X、且E(X)?2,E(Y)?5,则E(3X?5Y)?–19 Y是两个相互独立随机变量，.若D(X)?2,D(Y)?5,则D(3X?5Y)? 143 ；

7.已知连续型随机变量X的概率为f(X)?1 ,X的方差为 0.5 ；

8. 设随机变量X的概率分布为P?X?k??二、选择题

Ck!1??x?2x?12e,则X的数学期望为

，k?0,1,2,?，则EX2= 2 。

1. 设X表示5次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.7，则X2的数学期望E?X2?? （A）

（A）13.3； （B）18.4； （C）4.55； （D）1.05.

2. 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从?0,6?上的均匀分布，

2X2~N(0,2),X3~P(3)，记Y?X1?2X2?3X3，则DY?（A）

（A）46； （B）14； （C）4 ； （D）100. 3. 已知随机变量X的数学期望为?，对任意的c??，正确的是（C） （A）DX?E(X?c)2； （B）DX?E(X?c)2； （C）DX?E(X?c)2 ； （D）DX?E(X?c)2.

4. 设随机变量X的分布函数F?x??0.3??x??0.7???x?1?其中??x?为标准正态分布?，

?2?函数，则EX?（C）

（A）0; (B)0.3 ; (C)0.7; (D)1. 5. 设P?X?n??12n?n?1? ?n?1,2,??，则E?X??（D）

（A）0 ; （B）1 ; （C）0.5 ; （D）不存在.

二、计算下列各题

1. 设球直径的测量值在?a,b?上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。

?1,a?x?b?解 设球的直径为X,其概率密度为f(x)??b?a

?0，? 其它?x61b?a3则球的体积Y?g(x)?,dx???1x4ba

E(Y)?E?g(x)???b?6??ax?36?b?a?4??24?a?b??a2?b2?

2. 设随机变量X服从??11??lnx,x?0,?上的均匀分布，y?g?x???22??0, x?0,求

Y?g(x)的数学期望和方差。

11??1,??x?f(x)??22?0, 其它?解 X的概率密度，

1E(Y)?E?g?x????20lnxdx??1?ln22,

EY????2120ln2xdx??ln2?22?ln2?1, D?Y??14?ln2?2?12ln2?34。

3. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。

解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ∴ X,Y?U(0,a)，

?1?1?1,x?(0,a),y?(0a,),x,y?(0,a)???， fY(y)??a，f(x,y)??a2， fX(x)??a?0, 其它?0, 其它?0, 其它???令Z?X?Y,则Z取值于(0,a)，

FZ(z)?P??z?X?Y?z??这时

???z?x?y?z1a2dxdy?2az?1a2z

22?2??2z,0?z?a∴ fZ(z)??aa

?0, 其它?a0E(Z)??z(2a?1a2z)dz?2a2(12z?211a3z)3a0?2a?a26?a3。

4. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。

解 Ak?“第K次命中目标”,K?1,2?

P?x?k???P(A1A2?Ak?1Ak)=P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?(1?0.8)k?1?0.8

?k?1E(x)??k?0.2k?1k?1?0.8?0.8?k?0.2k?1,

?取 S(x)??kxk?1k?1???k??x??x???????1?x?k?1?0.810.8?1?,??2?1?x???x?1,

?2所以 E(x)?(1?0.2)2??1.25, E(x)?2?kk?1?0.2k?1?0.8?0.8?kk?12?0.2k?1,

?取 g(x)??kk?12xk?1????xk?1????xkx?????2???k?1??1?x???1?x??,3???1?x?x＜1

故 E?x2??0.8?1?0.2?1?0.2?3?1.875,

从而 D?x??E?x2???Ex?2?0.3125。

x???Axe2?2,x?05. 设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f?x????0, x?0 ?2，?为常数

试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P?X?E(X)?。

?x22解

?????f?x?dx?A???0xe2?dx??A?e2?x22??02??A??1,A?21?x2

E(X)?1?2???0xe2?x22?dx???xde022???x22?x22222???xe2???0?????0e2?dx?2??2??2?EX?2??1?2?2??0xe3?x令t?dx22x222?2?2?22???0te?tdt??2?2?t0??de?t?2?2

D?X??EX????E?X???2???2???2???2???2???2??P?X?E(X)??1?P?X?E(X)??1????f(x)dx?1??2?1?2?x220xe2?dx?e??46. 设?X、Y?的联合分布为右表

(1) 求E?X?、E?Y?

YX ?1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 (2) 设Z?Y/X、求E?Z?

0 1 (3) 设W??X?Y?、求E?W?。

2 解 E(Y)??0.2?0.1?0????1???0.1?0?0.3??0??0.1?0.1?0.1??1?0

E(X)??0.2?0.1?0.1??1??0.1?0?0.1??2??0?0.3?0.1??3?2

12

ZP P -1 - 21?13 0 1 13

0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 W0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 11?1?E(Z)?0.2???1??0.1?????0.1?1?0.1??0.1???0.066732?2?

E(W)?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?9?0?16?5。

7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，

求随机变量X?Y的方差。

解 令Z?X?Y,则Z?N(0,1) fZ(z)?12???0e?z22

E(Z)??????zfZ(z)dz??0???zfZ(z)dz??z2zfZ(z)dz?2? E(Z)?E(Z)?22?????z212?2e?2dz?1

D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?E(Z)?1?22?。

8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2

次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y?1)为多少？ 解：条件期望E(X|Y?1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y?1)，先要求得Y?1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故

P{X?0|Y?1?}P2{X?11Y?|， ? P{X?2|Y?1}?C3?C13C4?34，

P{X?3|Y?C31?}3C4314， ?由此可算得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2?34?3?14?94。

9. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中

的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。

解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P?Ak??19,P?Ak??8919?i?2,3,?,10?，设Ak表示第k人在第i

(k?1,2,?,25)，

又?A1,?,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为

?25?P??Ak???k?1??1,设Xi???0,第i层有人下第i层无人下25?P?A?kk?125?8?????9?25

，i?2,?,10，则

?8?P?Xi?0?????9??8? ,P?Xi?1??1????9?1025 ,i?2,3,?,10

因此，电梯停的总次数为X??i?2Xi，

?10?EX?E??Xi???i?2?10?E?X?ii?225??8???9?P?Xi?1??1?9?1???? 。

?9?????10. 设随机变量X的概率密度为

?ax f(x)???2?bx?c,0,0?x?1其他.

已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。

解：由密度函数性质及已给条件，知有

1?12????f(x)dx???ax012?bx?cdx??a3?b2?c，?2a?3b?6c?6，

?E(X)?2????xf(x)dx??2?0?1xax?bx?cdx?2?a4?b3?a5c2?，?3a?4b?6c?6，

b4?c3 E(X)????xf(x)dx?22?01x2?a5ax?bx?cdx??b4?c3?142?，

0.15?D(X)?E(X)?E(X)?，?12a?15b?20c?24，

c?3。

三个方程，三个变量，解之可得：a?12,b??12,11. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从N??,?2?，设Z?max?X,Y?，求E?Z?。

解：设U?X???,V?Y???，则X??U??,Y??V??，由于X与Y相互独立

?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?

?Z?max?X,Y??max??U??,?V?????max?U,V???

?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?，则有T?U?V~N?0,2?

12??212t2?E?T???????te?2?2dt?2?

而max?U,V???U12?V?U?V?，则有

E??max?U,V?????EU?EV?EU?V??1。

?????。

因此E??max?X,Y?????E??max?U,V??????四、证明题

设随机变量X和Y相互独立，试证明

D(X?Y)?D(X)D(Y)?E(X)D(Y)?E(Y)D(X)222．

证明：D(X?Y)?E?(XY)?E(XY)??E?(XY)2?2XYE(XY)?E2(XY)?

?E(XY)2?2E(XY)E(XY)?E2(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)， 因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又

E(X2Y2)???????????xyf(x,y)dxdy?22?????xfX(x)dx?2????yfY(y)dy?E(X)E(Y)，

222从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)

2222222??E(X)?E(X)?E(Y)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y)??

?D(X)E(Y)?E(X)?E(Y)?E(Y)? ???D(X)?E(Y)?E(Y)??D(X)E(Y)?E(X)D(Y) ???D(X)D(Y)?E(X)D(Y)?E(Y)D(X)2222222222。

§4.3 协方差和相关系数 §4.4 原点矩与中心矩

一、填空题

1.已知随机变量X~N??3,?1Y,Z?X?2Y?7,则Z~N?1?2,,且

X,Y相互独立,设随机变量

～ N(0,5) ；

372. 已知D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4,则D(X?Y)?85 ,D(X?Y)?；

3. 随机变量X~N(2,16),Y服从参数??2的指数分布,X,Y的相关系数

?XY?0.5，则D(X?Y)?28；

12,若

4. 已知(X,Y)服从二维正态分布，且EX?EY?0,DX?1,DY?4,?XY?Z?aX?Y与Y独立，则a等于

?4；

5. 某学生做一物理实验，独立重复试验了100次，假设每次试验成功的概率为p，则当成功次数的标准差达到最大时p为 1/2 。

二、选择题

1. 如果X和Y满足D(X?Y)?D(X?Y), 则必有（B）

(A) X和Y独立； (B) X和Y不相关； (C )D(Y)=0； (D) D(X)D(Y)?0 2. 设随机变量X和Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y则U和V必然（D） (A) 不独立； (B) 独立； (C) 相关系数不为零； (D) 相关系数为零. 3. 设随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（D）

?A? P?Y??2X?1??1；

??2X?1??1；

?B?

P?Y?2X?1??1；

?C?P?Y4.

?D?P?Y?2X?1??1.

3,C3o(v1?,X)X，则

2设随机变量X1,X2,X3满足Co(v1,X2?)X?X,?3X为（X)） D23Co(v21（A）16； （B）- 9； （C）12； （D）-14.

5. 设随机变量X和Y的相关系数为0.8，若Z?X?2，则Y与Z的相关系数为（D） （A）0； （B）1； （C）0.4； （D）0.8. 6. 下列命题错误的是 （B）

（A）X与Y不相关则E?XY??EX?EY； （B）X与Y不相关则X与Y相互独立； （C）随机变量X的方差DX?0； （D）?XY?1.

三、计算下列各题

1. 若随机变量?X,Y?在区域D上服从均匀分布D???x,y?0?x?1,0?y?x?, 求随机变量X,Y的相关系数。

解 A?1x??Ddxdy??0dx?0dy?12,?2,f(x,y)???0,1x(x,y)?D(x,y)?D121

E(x)?2?xdx?011x0xdy?2313,Ex???2?x202dx?x0dy?2,D(x)?Ex1????E(x)?222?118E(y)?2?dx?ydy?00,Ey???2?210dx?01?1?ydy?,D(y)?????,66?3?1814?23?13?136.

E?xy??2?xdx?ydy?001x14,Cov(x,y)?E(xy)?E(x)E(y)?1?XY?cov(x,y)D(x)D(y)?361/181/18?12。

2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)?Asin(x?y) 0?x??2 , 0?y??2

求：（1）系数A;(2)E(x),E(y),D(x),D(y);（3）协方差及相关系数。

??????解 (1)??????f?x,y?dxdy?A?2dx?2sinx(?y)dy?2A?1,00?A?0.5；

(2)E(x)?21212???020dx?2xsin?x?y?dy?0?1212??20?x?cosx?sinx?dx?2?4?2?2 E(x)?dx?xsin?x?y?dy?2202?0x2?cosx?sinx?dx?8??2?2 D(x)?E(x)??E?x???2?216??4?2,

?2;D(Y)??2由X与Y的对称关系,知E(Y)?16??2?2.(3)E?xy??12???20dx?2xysin?x?y?dy?0?2?1?2 于是cov?x,y??E?xy??E?x?E?y???2?1?16, ?xy?cov?x,y?D?x?D?y?????22?8??16?8??32

.3. 设随机变量X的概率密度为f?x??12e?x,???x???.求：

（1）E?X?,D?X?；（2）X与X的协方差，并问X与X是否不相关； （3）问X与X是否独立？为什么？ 解：（1）E?X E?X?????2201xedx??x??012xe?xdx?0，

???????x21x?edx?2,DX?2?0?2. 2（2）令Y?X,则EY?E?????x12e?xdx?1.

?XY??E?X?X?0 012 ?Cov,?Y?0?0??X?X与Y不相关.（3）对于任意实数a?0，0?P?X?a???a??e?xdx?1有

P?X?a,X?a??P?X?a??P?X?a?P?X?a?

?X与X不相互独立.

?2?x?y, 0?x?1, 0?y?1f(x,y)?)的概率密度为, 求X,Y的??0, 其它4. 设随机变量(相关系数。

解 E(X)?X,Y?dx?x(2?x?y)dy?0011512, E(X)?2?dx?x(2?x?y)dy?0011214

11511?5?D(X)???, 由对称性 E(Y)?, D(Y)?,??4?12?14412144

1111E(XY)??dx?xy(2?x?y)dy?, Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??006144所以 X和Y的相关系数为:?XY?Cov(X,Y)DXDY??11112 。

5. 设随机变量X服从[??,?]上的均匀分布，令Y?sinX,Z?cosX，求?YZ。

解 X的密度函数为?1, ???x??? fX(x)??2??0, 其它? E(Y)?E(YZ)????12?12???sinxdx?0, E(Z)????12???cosxdx?0,?????sinxcosxdx?0, cov(Y,Z)?E(YZ)?E(Y)E(Z)?0, covY,Z)D(Y)D(Z)?0.

所以 ?YZ? 6.二维随机变量(X,Y)的分布律为

YX -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 a 1 1/8 1/8 b 问a,b取何值时，X与Y不相关？此时X与Y是否独立？

682814解 （1） ?a?b?1?a?b??，

3 E(Y)??1?832?81?0?8a?b?a?2b?，? 8E(X)??1?121?0?(?a)?1?(?b)?b?， 8888281818E(XY)?18?b??b? ，

若X与Y不相关，则b??(b?18)(a?b?28)?b?18,a?18;

（2）P?X?1,Y?1??18?P?X?1?P?Y?1??964不独立。

227. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,3),N(0,4), 且X与Y的相关系数

?XY??12．设Z?X3?Y2， 求（１）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；（２）X与Z的相关系数?XZ；（３）问X与Z是否相互独立？为什么？

解：(1) E(Z)?E(X3?Y2)?E(X)3?E(Y)2?13?02?13，

D(Z)?D(32X3Y)?D(2?)XY(D)X(D)Y12cov(?,)??32943 v (XcoY,)?9?424?13??XY?D(X)?D(Y)?1?4?113??12?3?4?3，

由于X与Y分别服从正态分布，所以Z也服从正态分布N(,3)；

3(2) 因为E(X)?1,E(Z)?2213,E(XZ)?E(22X32?XY2)，注意到

E(X)?D(X)?E(X)?3?1?10，且

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??XY?E(XY)??XY?D(X)?2D(X)?D(Y)，

?1?0??6，

D(Y)?E(X)E(Y)??E(XY?)10?63?421?，

3232311由协方差定义：cov(X,Z)?E(XZ)?E(X)E(Z)??1??0,33所以 E(XZ)?1E(X)?1??XZ?0；

(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,3),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相

321互独立”，因此X与Z相互独立。

8. 设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=求E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)。

解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1；

D(X? ?EY?)Z??E(X??Y)Z?(E?X)? ?Y212，?XZ=?12，?YZ=

12，

Z2??X?(E?)X??2Y?(?E)Y??2?Z?( E)Z?2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)??

?D(X)?D(Y)??3?212D(Z?)1?1?212coXv(?Y,)2Yc?Zov( ZX?1?1?1?2???1?1?4。 2?2?9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N(?,?2)，令???X??Y，???X??Y（?,?为不相等的常数），求随机变量?与?的相关系数???，并说明当?,?满足什么条件时，?,?不相关。

解：（1）依题意，有 E(X)?E(Y)??,D(X)?D(Y)??2，且Cov(X,Y)?0． 因为 ????co?v?(D(?),?)E???(E?)E?()D?(， )()()D?(?)D而 E(?)?E?(X??Y)??E(X?)? E(?)?E?(X??Y)??E(X?)? E(??)?E(?X?由方差公式可求出 E(X2)?D(?X)2 E(?Y)??(，? E(?Y)??(．?2??Y?)2?Y)(?X??Y?)E(?2X?22??E(2?X)2，? E(Y)2E(??X)??， 同理可得 E(Y)??22??，

2所以 E(??)??2(?2??2)??2(?2??2)?(?2??2)(?2??2)．

2又 D(?)?D?(X??Y)??D(X?)?2，同理有D(?Y)?(???)D(?)?(?222??)?22，

综合上述结果，可得 ????(???22)?(??222?)??(????)?(?22(???)?(???)?222??)??(?(???)?2222?2??)????22

222（2）若?,?不相关，则????0，因此?2??2?0，又???，则????时?,?不相关。

四、证明题

设X,Y是随机变量，U?aX?b,V?cY?d.其中a,b,c,d为常数，且a,c同号.证明：??XY

Cov(aX?b,cY?d)D(aX?b)D(cY?d)?acCov(X,Y)acD(X)D(Y)??XY.?UV证 ?UV?

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