数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期

研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 注：计算题取小数点后四位

一、填空题（共30分，每空3分）

1、 已知x=0.004532是由准确数a经四舍五入得到的近似值，则x的绝对误差

界为_______________。 2、数值微分公式f'(xi)?3、已知向量x?(1,Tf(xi?h)?f(xi)h的截断误差为 。

，求Householder变换阵H，使Hx?(?2,0)T。 3) H? 。

4、利用三点高斯求积公式

1

??1f(x)dx?0.5556f?(40.7?746)0f.88?89(0)f0.5 556(0.7746)导出求积分

?0f(x)dx的三点高斯求积公式 。

5、若f(x)?5x?2x?3,则 f[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]?_____.

6、以n + 1个互异节点xk ( k =0,1,…,n),（n>1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数

n42为lk(x)( k =0,1,…,n)，则

?lk?0k(0)(xk?1)?__________.

7、已知P3(x)是用极小化插值法得到的cosx在[0,4]上的三次插值多项式，则P3(x)的

截断误差上界为R(x)?cosx?P3(x)?_________.

8、已知向量x?(3,2,?5)T，求Gauss变换阵L，使Lx?(3,0,0)T。L?_________. 9、设f(x)?(x?7), 给出求方程f(x)?0根的二阶收敛的迭代格式_________。

3210、下面M文件是用来求解什么数学问题的？________________________.

function [x,k]=dd（x0） for k=1:1000 x=cos(x0); if abs(x-x0)<0.00001, break end x0=x; end

?1二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中A??2???21??1????0,b?1， ????1???1??（1）用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式

i?1nxi(k?1)?（bi??aj?1xij(k?1)j??j?i+1aijxj）/aii,(k)i?1，，2n?1,n,

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）若A???1?aa??，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 1?四、（15分）（1）证明对任何初值x0?R，由迭代公式xk?1?1?1212sinxk,k?0,1,2,...

所产生的序列?xk?k?0都收敛于方程x?1?12?sinx的根。

（2）迭代公式xk?1?2xk?1?sinxk,k?0,1,2,...是否收敛。

五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

?xi??yi-23-10.81123.4

并求平方误差?22。

六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式P2(x)； （2）以0，1，2为求积节点，建立求积分I?并推导此求积公式的截断误差。

?30f(x)dx的一个插值型求积公式，

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

题号 得分

一、（30分） 1、

4一 二 三 四 五 六 总分 12?10?61??1； 2、O(h)； 3、H??2??3??3??； 1??4、

?0f(x)dx?1.1112f(0.4508)?1.7778f(2)?1.1112f(3.5492)；

?0??0； ??1????115、 5； 6、1； 7、； 8、L???23?12?5?3?010 9、 xk?1?xk?2(xk?7)53226(xk?7xk)?xk?xk?73xk23

10、用简单迭代法xk?1?cos(xk)求方程x?cos(x)的根。 二、（15分）（1）

u1?(1,2,2),u2?(1,0,1)v1?u1?(1,2,2),?1?TTT13(1,2,2)，13(2,-2,1),?2?v2=TTv2?u2?(u2,?1)?1?u2??1??u1?3?1??u2??1??2?11?A?QR?2?3??22??-2?1???3??01??1?13(2,-2,1)T

（10分）

?5/3??41? （5分）

(2)Rx?Qb??,x???9,3?1/3????TT三、（10分）

i?1nij (1) aiixiDx(k?1)?bi??aj?1x(k)j??j?i+1(k)aijxj)(k+1),i?n,n?1,?,2,1

(k?1)?b?Lx(k?1)(k?1)?Ux?b(D?L)xx(k?1)?Ux?1(k)

?1?(D?L)Ux(k)?(D?L)bx?1?1(k?1)迭代法的矩阵形式迭代矩阵右端向量B?(D?L)g?(D?L)a22??Bx(k)?gUb??0??a?,L???21???????an1?0??ann?1?0???????0??a11?其中D??????0a12???U???????0?ann?a1n????an?1,n??0?0? (6分)

?1?1?1(2)迭代矩阵B?(D?L)U???a0??0?a??1?0?a????????2??a100a??????00??1??0??0?a??0?

?(B)?a2迭,代格式收敛的充分必要条件是?即a2(B?)?1?0?a?1 (4分)

1,四、（15分）（1）记?(x)?1?12sinx，则?'(x)?12cosx。

先考虑区间[0.5，1.5]，当x?[0.5,1.5]时，?(x)?1?12sinx?[0.5,1.5] ，

?'(x)?12cosx?12?1 。故对任意初值x?[0.5,1.5]，由迭代公式

xk?1?1?12sinxk,k?0,1,2,...产生的序列?xk?k?0 都收敛于方程x?1??12sinx的根。 (9分)

对任意初值x0?R，有x1?1?1212sinx0?[0.5,1.5]，将此x1看成新的迭代初值，则

由（1）可知，由迭代公式xk?1?1?12sinxk,k?0,1,2,...产生的序列?xk?k?0 都收

?敛于方程x?1?sinx的根。 (3分)

（2）记?(x)?2x?1?12则?'(x)?2?sinx，

12有?'(x)?1.5 cosx，对任意x?R，

所以迭代公式xk?1?2xk?1?五、（15分）

?1(x)?x,?2(x)?x212sinxk,k?0,1,2,...不收敛。 (3分)

?-2??4??3???????-110.8?,?1???,?2???,Y???1??1??1???????243.4???????10??00??34??a??1???????b??27.4?2 （10分）

?0.1??a??0.1?,????27.4?=????0.8059??b???34?s(x)?0.1x+0.8059x?22?(Y,Y)?a(?1,Y)?b(?,Y)2 （5分）

?22.2?0.1?0.8059?27.4?0.0183 六、（15分） （1）P2(x)?(x?1)(x?2)(0?1)(0?2)30f(0)?(x?0)(x?2)(1?0)(1?2)f(1)?(x?1)(x?0)(2?1)(2?0) f(2) （ 5分）

（2）I??30f(x)dx??P2(x)dx?34f(0)?944f(2)=I1 （5分）

94取f(x)?x，代入求积公式，左边=代数精度为2.314?3??2?右边3

构造一个二次插值多项式p2(x)满足下列条件

p2(0)?f(0),p2(2)?f(2),p'2(2)?f'(2)

f(x)?p(x)?f(3)(?)23!x(x?2)2,a???b?3)dx??3?3f(3)(?)0f(x0p(x)dx?203!x(x?2)2

dx因为p2(x)为二次多项式，所以

3?p2(x)dx?3p92(0)??39044p2(2)4f(0)?4f(2)

I?If(3)?)1??3(03!x(x?2)2dx (3)?f(?))?32)23!0x(x?dx?f(3(?)93(3)3!4?8f(?)

5分） （

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