广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（理科）

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广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（理科）2013.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1、设函数y?2． x?2的定义域为集合M，集合N＝y|y?x,x?R，则M?N?（ ）

??A．? B．N C．?0,??? D．M

开始2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）． 12A． B．

22 C．2 D．32k=1

S?0否3、如果执行的程序框图（右图所示），那么输出的S?（ ）． Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 4、若曲线y?2x的一条切线l与直线x?4y?8?0 垂直，则切线l的方程为（ ）．

2k?50?是S?S?2k输出SA、4x?y?2?0 B、x?4y?9?0

C、4x?y?3?0 D、x?4y?3?0

5、方程x2?x?n?0(n?(0,1))有实根的概率为（ ）．

k?k?1结束A、12 B、13 C、 D、

4134

6、已知?,?是平面，m,n是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．

A、若m∥n,m??，则n?? B、若m∥?,????n，则m∥n C、若m??,m??，则?∥? D、若m??,m??，则???

7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案， 如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20， 若2?x?10，记y?f(x)，则y?f(x)的图象是（ ）．新-课-标 -第- 一-网

y12x12?yy551O2A10x1O2B10x新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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yy10102O22C10xO2D10x8、将函数y?sin(2x??3)的图象先向左平移

?6，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． 2倍（纵坐标不变）

A．y??cosx B．y?sin4x

C．

y?sin(x??6) D．y?sinx 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．

????9、已知向量c?(2x?1,4)，d?(2?x,3)，若c//d，则实数x的值等于 ． 10、已知?????3?,??,sin??，则tan?= ．

5?2?1223344556611、i是虚数单位，则1?C6i?C6i?C6i?C6i?C6i?C6i? ．

12、函数f(x)由下表定义：X|k |B| 1 . c|O |m x f(x) 2 1 5 2 3 3 1 4 4 5

若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,?，则a2007? ． 13、(坐标系与参数方程选做题)曲线C1：???x?1?cos?y?sin?(?为参数）上的点到曲线C2：

1?x??22?t??2(t为参数）上的点的最短距离为 ． ??y?1?1t??2新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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14、(不等式选讲选做题)已知实数a、b、x、y满足a2?b2?1,x2?y2?3，则ax?by的最大值为 ．

15、(几何证明选讲选做题)如图，平行四边形ABCD中，

AE:EB?1:2，若?AEF的面积等于1cm2,

DFC则?CDF的面积等于 cm2．

AEB

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）设正项等比数列?an?的前n项和为Sn, 已知a3?4，a4a5a6?212． （Ⅰ）求首项a1和公比q的值； （Ⅱ）若Sn?210?1，求n的值．

17、（本小题满分12分）设函数f(x)?2cos2x?sin2x?a(a?R)． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当x?[0,

18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球． （Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.

n?6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y?f(x)(x?R)的对称轴方程．

（方差：D??

?i?1pi?(?i?E?)）

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19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P?ABCD的

P底面ABCD是菱形；PA?平面ABCD,PA?AD?AC， 点F为PC的中点．w W w .x K b 1. c o M （Ⅰ）求证：PA//平面BFD； （Ⅱ）求二面角C?BF?D的正切值．

20、（本小题满分14分）给定圆P:x?y222FDABC?2x及抛物

yA线S:y?4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线 的四个交点,自上而下顺次记为A、B、C、D,如果线 段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直 线l的方程.

oDCBPx21、（本小题满分14分）设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1”． （Ⅰ）判断函数f(x)?x2?sinx4是否是集合M中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]?D，都存在x0?[m，n]，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立”，试用这一性质证明：方程

f(x)?x?0只有一个实数根； （Ⅲ）设x1是方程f(x)?x?0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2、x3，当

|x2?x1|?1，且|x3?x1|?1时，|f(x3)?f(x2)|?2．

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广东省惠州市2013届高三第二次调研考试

数学试题（理科）参考答案2007.11

一、选择题：

题号 答案

1、解析：M?{xx?2}，N＝?y|y?x2,x?R??{yy?x2?0}， 即M?N?M?N?M．答案：D． 2、解析：由题意得2a?22b?a?答案：B．

3、解析：程序的运行结果是s?2?4?6?????100?2550．答案：C． 4、解析：与直线x?4y?8?0垂直的切线l的斜率必为4，而y'?4x，所以，切点为(1,2)．切线为y?2?4(x?1)，即4x?y?2?0，答案：A． 5、解析：由一元二次方程有实根的条件??1?4n?0?n?实根的概率为14141 D

2 B

3 C

4 A

5 C

6 B

7 A

8 D

2b，又a?b?c?b?c?a?2222c?e?22．

，而n?(0,1)，由几何概率得有

．答案：C． 6、解析：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以C正确；

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以D也正确； 只有B选项错误．答案：B． 7、解析：由题意，得y?8、解析：y?sin(2x??310x(2?x?10)，答案：A．

)的图象先向左平移

?6?y?sin[2(x??6)??3]?sin2x，横坐标变为

原来的2倍?y?sin2(二、填空题：

题号 答案

9 1212x)?sinx．答案：D．

10 ?3411 12 4

13 1

14 15 9

?8i 3

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??9、解析：若c//d，则3(2x?1)?4(2?x)?0，解得x?10、解析：由题意cos???45?tan??sin?cos???3412．

．http://ww w.xkb 1.com

12233445566623311、解析：1?C6i?C6i?C6i?C6i?C6i?C6i?(1?i)?[(1?i)]?(2i)??8i

12、解析：令n?0，则a1?f(a0)?5，令n?1，则a2?f(a1)?f(5)?2， 令n?2，则a3?f(a2)?f(2)?1，令n?3，则a4?f(a3)?f(1)?4， 令n?4，则a5?f(a4)?f(4)?5，令n?5，则a6?f(a5)?f(5)?2， ?，所以a2007?a501?4?3?a3?4． 13、解析：C1：???x?1?cos?y?sin??(x?1)?y22?1；则圆心坐标为(1,0)．

1?x??22?t?2?x?y?22?1?0由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为C2：?1?y?1?t2?1?22?1d?2?2，所以要求的最短距离为d?1?1．

14、解析：由柯西不等式(a2?b2)(x2?y2)?(ax?by)2，答案：3．

15、解析：显然?AEF与?CDF为相似三角形，又AE:CD?1:3，所以?CDF的面积等于9cm2．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

312416、解: (Ⅰ)?a4a5a6?a5?2?a5?2?16(a5?0), ????????? 2分

∴

a5a3?q?4?q?2，??????????????????? 4分

2 解得a1?1．????????????????????????? 6分 (Ⅱ)由Sn?210?1,得：Sn?a1(q?1)q?1n?2?1, ????????? 8分

n∴2?1?2?1?2?2 ????????????? 10分 ∴n?10．??????????????????????? 12分

n10n10新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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17、解：（1）f(x)?2cos2x?sin2x?a?1?cos2x?sin2x?a?则f(x)的最小正周期T?且当2k???2?2x?2?2sin(2x??4)?1?a ? 2分

???， ?????????????4分

?4?2k???2(k?Z)时f(x)单调递增．

即x?[k??3?8,k???8．???6分 ](k?Z)为f(x)的单调递增区间（写成开区间不扣分）?4?2x?（2）当x?[0,所以f(x)max?2x??6]时??4?7?12，当2x??4??2，即x??8时sin(2x??4)?1．

2?1?a?2?a?1?2． ??????????9分

?4?k???2?x?k?2??8(k?Z)为f(x)的对称轴． ???????12分

18、解：

（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， 记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，?????????2分 ∵“两球恰好颜色不同”共2?4+4?2=16种可能，??????????5分 ∴P(A)?166?6?49． ????????????????????7分

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， ??????????2分 ∵每次摸出一球得白球的概率为P?26?13．????????????5分

1∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为P2(1)?C2?p?(1?p)?7分

（Ⅱ）设摸得白球的个数为?，依题意得： ?P(??0)?46?35?2549． ???????????

，P(??1)?46?25?26?45?815，P(??2)?26?15?115．????10

分 ∴E??0?D??(0?12?1?2815?2?231152?823，??????????????12分

23)?223)?25?(1?)?15?(2?115?1645．????????14分

19、(Ⅰ)证明: 连结AC，BD与AC交于点O，连结OF.?????????1分

?ABCD是菱形, ∴O是AC的中点. ???????????????2分 ?点F为PC的中点, ∴OF//PA. ?????????????3分 ?OF?平面BFD,PA?平面BFD, ∴PA//平面BFD. ?????? 6分

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(Ⅱ)解法一:

?PA?平面ABCD,AC?平面ABCD,∴ PA?AC.

?OF//PA，∴OF?AC. ??????????? 7分

FHAOBCP?ABCD是菱形, ∴AC?BD.

D?OF?BD?O，

∴AC?平面BDF. ??????????????????????8分 作OH?BF，垂足为H，连接CH，则CH?BF, 所以?OHC为二面角C?BF?D的平面角. ????????????? 10分 ?PA?AD?AC,∴OF?12PA,BO?32PA，BF?BO?OF22?PA. 在Rt△FOB中,OH=

OF·BOBF?34PA，??????????? 12分 1∴tan?OHC??2OH34OCPA?PA233.??????????? 13分 ∴二面角C?BF?D的正切值是233. ?????????? 14分http://ww w.xkb 1.com

解法二：如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，

AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA?AD?AC?1，?????2分

则A?0,0,0?,P?0,0,1?,C????331?1?,,0?，B?,?,0?,D?0,1,0?,F??22??22????311?． ,,??442?????????????331?∴BC??0,1,0?,BF???,,?． ?????4分

?442????设平面BCF的一个法向量为n??x,y,z?,

z P ?y?0?y?0????????????由n?BC,n?BF，得???3313，

x?y?z?0x???z??442?2??3?令x?1，则z?，∴n??1,0,. ???????7分 ???22??F A D y

3?PA?平面ABCD,AC?平面ABCD,

B C x 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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∴PA?AC. ????????????? 8分

?OF//PA，∴OF?AC.

?ABCD是菱形,∴AC?BD.

?OF?BD?O，∴AC?平面BFD.??????????? 9分 ?????????∴AC是平面BFD的一个法向量,AC?????????????AC?n∴cosAC,n???????AC?n2?31,,0?．??????? 10分 ??22?32?31??1421， 7?????∴sinAC,n??1????2721??7???277， ???????? 12分

?????∴tanAC,n?7?23．?????????????? 13分

3217∴二面角C?BF?D的正切值是22233. ????????? 14分

20、解:圆P的方程为?x?1??y?1,则其直径长BC?2,圆心为P?1,0?,设l的方程为

ky?x?1,即x?ky?1,代入抛物线方程得:y?4ky?4,设A?x1,y1?, D?x2,y2?，

2?y1?y2?4k有?, ????????????2分

yy??4?12222则(y1?y2)?(y1?y2)?4y1y2?16(k?1). ????????4分

yA2故|AD|?(y1?y2)?(x1?x2)?(y1?y2)?(?(y1?y2)[1?(22222y1?y242) ?6分

PC2By1?y242因此|AD|?4(k?1). ????????????? 8分

)]?16(k?1), ???? 7分

222oDx据等差,2BC?AB?CD?AD?BC所以AD?3BC?62 ????? 10分,

22，

，

即4(k?1)?6,k??2?0或2x?y?????? 12分

即：l方程为2x?y?21、解： （1）因为f?(x)?134412?142?0. ???????14分

cosx， ??????????2分

所以f?(x)?[,]，满足条件0?f?(x)?1. ???????3分

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又因为当x?0时，f(0)?0，所以方程f(x)?x?0有实数根0． 所以函数f(x)?x2?sinx4是集合M中的元素． ??????????4分

（2）假设方程f(x)?x?0存在两个实数根?,?(???），

则f(?)???0,f(?)???0，??????????????5分 不妨设???，根据题意存在数c?(?,?),

使得等式f(?)?f(?)?(???)f?(c)成立， ?????????7分

因为f(?)??,f(?)??,且???，所以f?(c)?1，与已知0?f?(x)?1矛盾， 所以方程f(x)?x?0只有一个实数根；?????????10分

（3）不妨设x2?x3，因为f?(x)?0,所以f(x)为增函数，所以f(x2)?f(x3)， 又因为f?(x)?1?0，所以函数f(x)?x为减函数， ????????11分 所以f(x2)?x2?f(x3)?x3， ????????????12分

所以0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|， ????13分 所以|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|?|x3?x1?(x2?x1)?|x3?x1|?|x2?x1|?2． ?14分

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