第10讲 智巧趣题

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第10讲 杂题第01讲

智巧趣题

例1 用数字1、1、2、2、3、3拼凑出一个六位数,使两个1之间有一个数字,两个2之间有两个数字,两个3之间有三个数字.

答案 312132或231213.

分析 我们可以考虑两个1之间可能是哪个数字,或者考虑两个2之间、两个3之间都可能是哪些数字.以下介绍两种方法.

详解1 考虑两个数字2之间不可能是两个相同的数字,所以只能是2132或者2312这两种情况.先来看2132,另一个1只能在第一个2的前面,因为两个1之间有一个数字.最后一个数字3显然只能放到最前面.即这个六位数是312132.同理,可以找到另一个六位数231213.

详解2 直接考虑两个3之间的数字.肯定不能有两个2,因为两个2之间有两个数字.那就只能是121这样的三个数字点在两个3之间,即31213.还剩一个数字2,放到最前面或最后面都可以.这样就得到两个三位数:231213和312132. 评注 这个题目中数字很少,所以解答并不困难,也许有的同学很容易就可以写出来.但有必要向大家强调两点:①要学会这种思维方式;②是考虑问题要全面,不要只写出来其中一个就认为大功告成了.

例2 有10张卡片,分别标有从2开始的10个连续偶数.如果将它们分成五组,每组两张,计算同组中两个偶数和分别得到:①34;②22;③16;④30;⑤8.那么每组中的两张卡片上标的数各是多少?

答案 ①16、18;②8、14;③4、12;④10、20;⑤2、6。 分析 这个题就像一个数字谜的问题一样,需要寻找“突破口”.从2开始的10个连续偶数是2、4、6、8、10、12、14、16、18、20.任选两个数和最小是2+4=6,最大是20+18= 38.那么在这个题中,第①组和最大,第⑤组和最小,这两组就自然成为我们的“突破口”. 详解 第①组的两个偶数和为34,有两种可能:34=16+18或34=14+20;第⑤组的两个偶数和为8,只有1种可能,那就是8=2+6.看来真正的“突破口”在第⑤组. 在确定第⑤组的两个数后,第①组的情况并没有发生变化,还是两种可能,这时我们把目光投向第③组.和为16,那么必然是一个比8大、一个比8小,而比8小的只有一个4 了,所以第③组又只有1种可能:16=4+12.

确定完两组后,我们应该注意到没有用过的又是最小的一个偶数:8.因为第①组与第④组的两个偶数和分别是34和30,都很大,8不可能在这两个组.那么8应该在第②组,这样就确定了第②组应该是22=8+14.

由于第③组中有14了,那么就容易看到第①组就不可能是14+20=34,只能是34=16+18.所以第④组就是20+10=30.

评注 这个题的确很像一个数字谜问题,慢慢地一个一个地去试,总能试出来,但也许会花很多很多的时间.这就要求大家在会做一个题目的同时,要注意如何利用有效的思维方法去节约时间.

例3 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币,这些硬币都是1分、2分或者5分的,并且两衣袋中硬币的总钱数相等.当任意从左边衣袋取出2枚硬币与右边衣袋的 任意2枚硬币交换时,左边衣袋的钱数要么比原来的钱数多2分,要么比原来的钱数少2分.那么两个衣袋中共有多少分钱? 答案 24分.

分析 这个题要求结果是两个衣袋中共有多少分钱,可是却并没有告诉各种硬币分别有

多少枚.看来我们只能通过题目中给的条件推理出各种硬币的枚数,然后再计算这两个 衣袋中共有多少分钱.

详解 我们先考虑交换1枚硬币的情况: ①等值的硬币交换时,钱数不变;

②1枚5分和1枚1分的硬币交换时,钱数增加或减少了4分钱; ③1枚5分和1枚2分的硬币交换时,钱数增加或减少了3分钱; ④1枚2分和1枚1分的硬币交换时,钱数增加或减少了1分钱.

交换2枚硬币后,钱数应该增加或减少2分.我们把交换2枚硬币看成两次交换1枚硬币,这两次都是从上面的4条中选出来的.经过实验后,看出只有2种可能:③+④或者④+④,即:1枚5分加上l枚1分与2枚2分交换,或者2枚1分与2枚2分交换. 这就说明:有一个口袋全是2分的;另一个口袋全是1分和5分的,并且最多只有1枚5分的硬币,否则拿出2枚5分硬币的话,另一边不管怎么拿也不行了.

两个衣袋分别是6枚和8枚硬币.如果是8枚2分的,另一边就是1枚5分和5枚1分的.这时,两边钱数不相等.所以应该是6枚2分的,另一边就是1枚5分和7枚1分的.这样的话,两边都是12分钱,那么两个衣袋一共就是24分钱.

评注 有的题看上去条件不足,那就必须通过分析和判断推出别的有用的条件. 例4 请将16个棋子分放在边长分别为30厘米、20厘米、10厘米的三个正方盒子里,使大盒子里的棋子数是中盒子里棋子数的2倍,中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的2倍.问:应当如何放置?

. 答案 ①先分别在大、中、小盒子内装入4、8、4个棋子,然后把小盒子和中盒子都放在大盒子里,但小盒子不在中盒子内.②先分别在大、中、小盒子内装入8、4、4个棋子,然后把小盒子放到中盒子里,再把中盒子放到大盒子里即可. 分析 这个题看上去像一个简单的和倍问题,可是当我们用和倍问题的公式“和除以倍数加1”时,却发现16÷(2×2+2+1)是除不尽的,那究竟是怎么回事呢?再回头看一看题目,还有一个条件我们没有用上,那就是这三个方盒子的边长30、20、10厘米.实际上,这个条件是告诉我们:小盒子可以放到中盒子里,中盒子可以放到大盒子里,并且还可以把小盒 子和中盒子一起放到大盒子里.

详解 把小盒子里的棋子看作1份,那么中盒子就是2份,大盒子就是4份.这说明大盒子里的棋子数必须是4的倍数,并且还占总数的一大半.所以大盒子里的棋子数只能是12个或16个.

①如果大盒子里有12个棋子,中盒子里就有6个,小盒子里就有3个.可是这无论如何也无法满足一共有16个棋子这个条件,因为12+6=18,12+3=15.

②如果大盒子里有16个棋子,中、小盒子就分别是8个和4个棋子.这时就又分两种情况了:一种是小盒子放在中盒子里,那么就分别在中、小盒子里各放4个棋子,再把小盒子放到中盒子里;另一种就是小盒子不放在中盒子里,小盒子4个,中盒子8个.这样就得到了两个可能的结果:

评注 本题的关键在于要善于观察条件.如果三个方盒的边长分别是30、25、20厘米的话,图10—2的情况就不会再出现了,那也就只有惟一的一个结果了.

例5 有大、中、小三个瓶子,最多分别可以装入水1000克、700克和300克.现在大瓶中装满水,希望通过水在三个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标上装100克水的刻度线.问最少要倒几次水?

. 答案 6次.

分析 要在中瓶和小瓶上有100克水的刻度线,实际就是要通过水的流动,使得在(某一次)中瓶或小瓶中有100克水.

详解 我们首先观察700和300这两个数之间的关系.怎么样可以凑出一个100来呢?700-300=400,400-300=100,这就是说,把中瓶装满水,倒出2次300克就是100克水了.然后把小瓶中的水倒掉,把中瓶的100克水倒入小瓶中就可以了. ‘ 所以,一共需要倒6次水:、

①把大瓶中的水倒入中瓶,倒满为止; ②把中瓶中的水倒入小瓶,倒满为止;

③把小瓶中的水倒入大瓶,倒空为止;

④把中瓶中的水倒入小瓶,倒满为止,此时,中瓶中刚好有水700-300=100克,此时中能标上100克的刻度线.

⑤把小瓶中的水倒入大瓶,倒空为止;

⑥最后把中瓶里的100克水倒入小瓶中即可.

评注 本题的关键就是如何通过1000、700、300这几个数去凑出100来.

例6 若干个同样的盒子排成一排,小明把50多枚同样的棋子分装在盒中,其中只有一枚盒子没有装棋子,然后他外出了.小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒里, 再把盒子重新排了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子.问共有多少个盒子?

答案 11个盒子.

分析 小明没有发现有人动过这些盒子和棋子,这说明棋子的数量看上去是没有变的.原来有一个空盒子,那么现在也应该有一个空盒子,这个空盒子原来应该有一枚棋子;同样,既然原来有一个盒子里有一枚棋子,那么现在也应该有一个盒子里有一枚棋子,这个盒子原来就应该有2枚棋子??依此类推,原来的每个盒子里应该分别有0、1、2??个棋子.

详解 因为一共有50多枚棋子,所以我们需要找到一个自然数,使得从零开始加,加到这个自然数的和是50多.

0+1+2+??+10=55

所以原来有11个盒子. ’ ·

评注 本题的关键在于观察到每一个盒子的变化情况,找到前后的关系.

例7 在一块黑板上将123456789重复50次得到450位数123456789123456789??删去这个数中从左至右所有位于奇数位上的数字;再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字??依此类推.那么最后删去的是哪一个数字? 答案 4.

分析 首先我们需要把最后删去的那个数字在第几位找出来,这样才能知道这是几.如何才能找到它是第几位呢?我们看,第一次划掉的数都是奇数位上的数,剩下的就是偶数位上的数,即第2、4、6、8、10??450位上的数.再划一次就是把第2、6、10??450位上的数给划掉,剩下的就是第4、8、12??448位.由此我们可以看出,第一次剩下的数都是偶数数位上的数,第二次剩下的数的数位都是4的倍数.依此类推,第三次剩下的数的数位

就都是8的倍数,第四次剩下的数的数位就都是16的倍数??

详解 我们需要在450以内找出一个数,它能够尽可能多地除以2.那么这个数应该是2 × 2×2×2×2 × 2×2×2=256,所以第256位数是最后一个被划掉的数.又因为256÷ 9=28??4,所以第256位数是第29个123456789的第4个,那么就是4.

评注 对于三年级的学生,本题的方法是去找一个剩下的数所在数位的规律.

例8 如图10—8,在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的棋子. 一个同学进行这样的操作.从黑子开始,按顺时针方向,每隔1枚取走1枚. 当他取出黑子时。圆周上还剩下多少枚白子? 答案 124枚.

分析 一共有1991枚棋子.因为是 隔1枚取1枚,所以取了一圈后就取走了

一半左右.那么我们需要知道:取到第几圈时,才取出黑子.

详解 我们把这些棋子做一下编号:黑棋子1号,白棋按顺时针方向依次2号、3号??1991号.第一次取走的是3、5、7??1991号,共(1991—3)÷2+1=995枚,还剩1991-995=996枚,并且下一次是从2号开始.把剩下的996枚棋子重新编号:1、2??996.第二次取走的是2、4、6??996号,共996÷2=498枚,剩498枚.再重新编号,第三次取走的是2、4、5??498号,共498÷2=249枚,剩249枚.再重新编号为1、2、3??249,这次取走的是2、4、6??248号.很明显,下一个就是要取走的黑子了.所以当取走黑子的时候,还剩下249-(249-1)÷2-1=124枚白子.

评注 在考虑本题时,对棋子进行编号是一个朴素而直接的想法.但拘泥于惟一一种编号方式,将使本题的详解变得繁琐而且困难.请读者体会详解中改变编号的想法,是新颖而 且实用的.

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