2016二模中考数学第29题专题

2016北京中考数学二模专题汇编第29题

西城29．在平面直角坐标系 xOy中，对于点P(x, y)，以及两个无公共点的图形W1和W2，若在图形W1

和W2上分别存在点M (x1, y1 )和N (x2, y2 )，使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，

并称点P为图形W1和W2的一个“中位点”，此时P,M,N三个点的坐标满足x ＝

x1?x2，y ＝2y1?y2 2（1）已知点A(0,1)，B(4,1)，C(3,-1)，D(3,-2)，连接AB,CD.

①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为 ； ②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2,－

1），求这两条线段上被点Q“关联”的两个2点的坐标；

（2）如图 1，已知点R(－2,0)和抛物线W1 : y = x2 - 2x，对于抛物线W1上的每一个点M ，在抛物线W2上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W2；

（3）正方形EFGH的顶点分别是E(-4,1)，F(-4,-1)，G(-2,-1)，H(-2,1)， ⊙ T 的圆心为T(3,0)，半径为1.请在图2 中画出由正方形EFGH和 ⊙ T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积.

1

通州29. 在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r,点P是与圆心 C不重合的点，给出如下定义：如果点P?为射线CP上一点， 满足CP?CP??r,那么称点P?为点P关于⊙C的反演点， 右图为点P及其关于⊙C的反演点P?的示意图。

（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T?的反演点M′，N′，T′的坐标；

（2）如图2：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C，D（点C位

于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小。

2?11?，?关于⊙O?22?

2

石景山29．在平面直角坐标系xOy中，对图形W给出如下定义：若图形W上的所有点

都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．

–3–2AyD54321–1O123xBC（1）已知点A(0,?3)，B(?1,?1)，在点C(2,0)，D(?1,0)，E(2,?2)中，选一点，使

得以该点及点A，B为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为 ；

（2）将函数y?ax2(1?a?3)的图象在直线y?1下方的部分沿直线y?1向上翻折，

求所得图形坐标角度m的取值范围；

（3）记某个圆的半径为r，圆心到原点的距离为l，且l?3(r?1)，若该圆的

坐标角度60??m?90?．直接写出满足条件的r的取值范围．

3

海淀29. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，

则称p为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值 之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为 零.例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.

（1）分别判断函数y?x?1，y?度；

（2）函数y?2x2?bx.

①若其不变长度为零，求b的值；

②若1?b?3，求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y?x2?2x(x?m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由 G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0?q?3，则m的取值范围为 .

1

，y?x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长x

4

顺义29. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙O上存在两个点A，

B，使得?APB?60?，则称P为⊙C的关联点.

已知点M(,)，N(?2,0)，E(0,?4)，F(23,0) （1）当⊙O的半径为1时，

①在点M，N，E，F中，⊙O的关联点是 ；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使?GFO?30?，若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是半径为r的⊙O的关联点，求半径r的取值范围.

[来源:Z*xx*k.Com]1122

2x?1，东城29. 定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x?2，

?5x?20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数.

（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1， 3）是否为这个最小值函数图象上

的点；

（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1, 3），动点M（m，m）.

①直接写出△ABM的面积，其面积是 ；

②若以M为圆心的圆经过A,B两点，写出点M的坐标；

③以②中的点M为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P，使PA?的值最小，直接写出此最小值.

5

2PB2

朝阳29．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA?PB的值称为点P

关于⊙O的“幂值”．

（1）⊙O的半径为5，OP = 3．

①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为________； ②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．

（2）若⊙O的半径为r，OP = d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O

的“幂值”或“幂值”的取值范围________；

（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，若在直线y?使得

点P关于⊙O的“幂值”为13，请写出b的取值范围________． A

6

PB3x?b上存在点P ，3OO图1 备用图 丰台29. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，－1）. 点P是平面

内任意一点，直线PA，PB与直线x?4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点． （1）请判断P1（－4，0），P2（3，0）是否为理想点； （2）若直线x??3上存在理想点，求理想点的纵坐标；

（3）若动直线x?m(m?0)上存在理想点，直接写出m的取值范围.

房山29.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）如图29—1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件． （2）问题探究

小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由．

（3）如图29—2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=2AB.试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．

DDCCAAB

B 2

图29—1

图29—2

7

西城

8

通州

9

石景山

29. （1）满足条件的点为D(?1,0)，E(2,?2)……………………………… 3分

（2）当a?1时，角的两边分别过点，，此时坐标角度m?90?； （?1,1）（1,1）y21y21–2–1O 12x–2–1O12x当a?3时，角的两边分别过点（?33，，此时坐标角度m?60?，所以（,1）,1）3360??m?90?；……………………………………………………… 6分

（3）海淀

29．解：（1）函数y?x?1没有不变值； ………………1分

3?r?3．…………………………………………………….8分

3?2函数y?1有?1和1两个不变值，其不变长度为2；………………2分 x2函数y?x有0和1两个不变值，其不变长度为1；………………3分 （2）①∵函数y?2x?bx的不变长度为零， ∴方程2x?bx?x有两个相等的实数根. ∴b??1. ………………4分

2②解方程2x?bx?x，得x1?0，x2?22b?1.………………5分 2∵1?b?3， ∴1?x2?2.

∴函数y?2x?bx的不变长度q的取值范围为1?q?2. ………………6分 （3）m的取值范围为1?m?3或m??

10

21. ………………8分 8

顺义 29．解：

（1）① 在点M，N，E，F中，⊙O的关联点是M，N ； ….………..2分

② ∵过点F作直线l交y于点G，使?GFO?30?，点F(23,0) ∴OF?23， OG?2

∴ 点G的坐标是（0 ，2） ----------------------------------------------------3分 设直线l的表达式为y?kx?b，又直线l过点点F(23,0)和点G(0,2)

∴ 直线l的表达式为y??3x?2 ----------------------------------------4分 3 ∵ 直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点

∴直线l上的点P(m,n)满足OP?2的所有点都是⊙O的关联点

222 ∴当OP?2时， m?n?4，即 m?(?3m?2)2?4 --------5分 3∴ m1?0 ，m2?3

∴m的取值范围是0?m?3 ------------------------------------------------6分 （2） r?2 --------------------------------------------------------------------------------8分 东城 29.解：

（1）图象略；是. …………2分 （2）①2. …………4分

②M（3,3）. …………6分

③5. …………8分

1 1

朝阳

29．（1）①16．………………………………………………………………………………1分

②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．………………2分 证明：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直． 过点P作⊙O的弦A'B'⊥OP，连接AA'、BB'． ∵在⊙O中，?AA'P??B'BP，?APA'??BPB'，

∴△APA'∽△B'PB．…………………………………………………3分

∴

PAPA'?． PB'PB ∴PA?PB?PA'?PB'．…………………………4分

∵OP⊥A'B'，OP?3，⊙O半径为5． ∴A'P?B'P?4．

∴PA?PB?16．…………………………………………………………5分 ∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．

（2）r2?d2． …………………………………………………………………………6分 （3）?2?b?2． …………………………………………………………………8分 丰台

29．（1）P1(?4,0)是理想点,P2(3,0)不是理想点. ----2分 （2）解法1:

设MN与x轴交于点F，设理想点的纵坐标为y0，则P(?3,y0).

1?y0x?1. 34(1?y0)4(1?y0)?1，即M(4,?1). 令x?4，得y?334(1?y0)?1). 同理N(4,?34y17∵设G是MN的中点，∴G(4,?0).MG?(yM?yN)?，FC?2.

323∵A(0,1)，∴yAP?在Rt?GFC中，GC2?FG2?FC2， ∴()?(7324y02)?4. 3解得y0??

1313.----6分 ，即理想点的纵坐标为?4412

解法2:连接PO并延长交MN于点G.

∵MN∥y轴， ∴即

OBPOOAPO??，， GMPGGNPGOAOB?. GMGN∵OA?OB，∴GM?GN，即点G是MN的中点. 设直线x??3与x轴交于E, MN与x轴交于点F. ∵∴

EOPOOAPO??，， GMPGEFPGEOOA13?. ?,即

GMMG7EF7. 37. 3∴MG?∴CG?MG?在Rt△CFG中，CF=2, 由勾股定理得FG?PEEO?∵， FGFOyPE13. 3AOBCMFGx∴PE?13. 4∴理想点的纵坐标为? (3) ?4?m?0或0?m?13. 44. ----8分 3N 房山 29. 解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或DA=AB（任写一个即可 -----------------1分 （2）①正确. -----------------2分 理由为：

∵四边形的对角线互相平分且相等，∴四边形ABCD是矩形，------------------3分 ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，

∴四边形ABCD是菱形 -------------------------4分 ∴对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形 ------------------------5分 （3）BC+CD=2BD --------------------------------6分 证明：∵AB=AD，

∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，

1 3

222∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF，

ACAF?， ADAB∴△ACF∽△ABD， ∴

CFAC=, BDAB∵AC=∴CF=2AB, 2BD，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD） =360°-90°=270°

图2

∴∠ABC+∠ABF=270°，

∴∠CBF=90°， -------------------------7分 ∴BC+FB=CF=222222(2BD=2BD2

)2∴BC+CD=2BD -------------------------------8分

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