相似直角三角形判定

直角三角形相似的判定AA′c

b∟

B

a

C

B′

C′

一、复习提问1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三答：

角形相似的方法？

(1)两角对应相等的两个三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。

课堂练习填空：(填相似或不相似)

1、一个三角形有两个角分别是60°和35°, 另一个三角形的两个角分别是60°和85°, 那么这两个三角形 。 相似2、一个三角形的三边分别是3、4、5,另 一个三角形的三边分别是6、8、10,那么 这两个三角形 相似 。

3、一个三角形的两边分别是3和7, 它们的夹角是35°,另一个三角形的 一个角是35°,夹这个角的两边分别 是14和6,那么这两个三角形相似 。

例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等，两 三角形相似)。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 C ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. A D B

求证(2)AC2=AD · AB

CD2=AD · DB

通过以上相似，你能得到哪些线段是其余某些线段的比例 中项？ 即： 1、AC2=AD.AB 2、BC2=BD.AD 3、CD2=AD.BD (射影定理)内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直 角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

练习、已知，如图，AB是半圆O的直径，

CD⊥AB于D,AD=4,DB=9 求CB的长。 C

A

D

O

B

练习；、如图，AB为半圆O的直径，点C在 半圆O上，过O点作的BC的平行线交AC于点 E,交过点A的直线于点D,且 D BAC . (1)求证：AD是半圆O的切线； CE (2)若 BC 2 , 2 ,求AD的长.D C E

B

O

A

在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=90°,AB=10, AC=8,BC= ;∠D=90°,EF=5,DE=4, 6 DF= ;这两个直角三角形 。 3 相似 问题：1、这两个直角三角形的已知边(共 四条)有什么关系？

2、你是如何证明这两个直角三角形相似的？

返回 上一张下一张

二、学习内容直角三角形相似判定定理；如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形 相似。

A

已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中， B ∠C=∠C′=90°, =求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′

C A′

B′ C′

A

证明∵∴∴= =

=

B

=

C A′

∴ = 由勾股定理，得 ∵ 和 都是正数。 ∴ 即 =

= B′ 又∠C=∠C′=90° ∴ Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′

C′

直角三角形相似的判定 定理：

一直角边和斜边对应成 比例的两个直角三角形 相似。

练习一 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定 这两个三角形是不是相似，并说明为什么。 1、∠A=25°,∠B′=65°。 2、AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8。

3、AB=10,AC=8,A′B′=15, B′C′=9。

1、∠A=25°,∠B′=65°。

①解：∵∠A=25°, ∠C=90°。∴ ∠B=65 °。 于是∠B′=65°=∠B , ∠C′= 90°=∠C。 ∴△ABC∽△A′B′C′。

②解：∵AC=3,BC=4,

A′C′=6,B′C′=8。∴ ∴AC 3 1 BC 4 1 , . A' C ' 6 2 B' C ' 8 2 AC BC . A' C ' B' C '

且∠C=∠C′=90° ∴ △ABC∽△A′B′C′AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8。

③解：∵AB=10,AC=8,∠C=90°。AB2 AC2 102 82 6 ∴BC= 10 2 , BC 6 2 AB A' B' 15 3 B' C ' 9 3

∴∴

AB BC . A' B ' B' C '

且∠C′=90°=∠C

∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3、AB=10,AC=8,A′B′=15, B′C′=9。

练习二在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′,应 加什么条件？ 55°1、∠A=35° ,∠B′=________。

12

2、AC=5,BC=4,A′C′=15,B′C′=___。

3

3、AB=5,AC=___,A′B′=10, A′C′=6。

4 4、AB=10,BC=6, A′B′=5, A′C′=______. 3a5、AC:AB=1:3, A′C′=a, A′B′=_____

例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ a⊿CDB?

A分析：要使R t⊿ABC∽ R t⊿CDB而题中已经知道R t⊿ABC的斜边和一 直角边及R t⊿CDB的斜边，利用今天 讲的这个定理可知只须加上条件 = 即可。

C

b

B

D

C B D

三、小结1、如何判定两个直角三角形相似呢？

答：一个锐角对应相等或两边对应成

比例的两个直角三角形相似。2、直角三角形相似的判定定理的简单应用。3、初步了解转移比例的证法。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ykn1.html