高中数学必修一知识讲解（复习补习，期末复习资料）：29指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．

3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．

【要点梳理】

要点一：几类函数模型的增长差异

一般地，对于指数函数y?a(a?1)和幂函数y?x(??0)，通过探索可以发现，在区间无论?比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于x?，但由于ax的增长快于x?的增长，?0,???上，

因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有ax?x?．同样地，对于对数函数y?logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于x?，但由于logax的增

?长慢于x?的增长，因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有logax?x．

x?综上所述，在区间?0,???上，尽管函数y?a(a?1)、y?x(??0)和y?logax(a?1)都是增函

x?数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y?a(a?1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y?x(??0)的增长速度，而y?logax(a?1)的增长则会越来越慢，因此总会存

?x在一个x0，当x?x0时，就有logax?x?a.

x?三类函数模型增长规律的定性描述：

1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：

要点诠释：

当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．

要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型

若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．

常用的函数模型有以下几类：

（1）线性增长模型：y?kx?b(k?0)；（2）线性减少模型：y?kx?b(k?0)．

（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数

y?ax2?bx?c(a?0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数

1

y?ax2?bx?c(a?0)．

（3）指数函数模型

f(x)?abx?c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当b?1时，为快速增长模型；当0?b?1时，

为平缓减少模型．

（4）对数函数模型

f(x)?mlogax?n（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当a?1时，为平缓增长模型；当0?a?1时，

为快速减少模型．

（5）反比例函数模型

y?k当k?0时，函数在区间???,0?和?0,???上都是减函数；当k?0时，函数在???,0?(k?0)．

x和?0,???上都是增函数．

（6）分段函数模型

当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．

【典型例题】

类型一、研究函数的变化规律并比较其大小

?1?例1. 当x＞0时，比较log1x，x，??的大小．

?2?2?1?【解析】作出函数y?log1x，y?x，y???的图象（如下图所示）．

2??212x12x

x

x1?1??1?由二分法可得，方程???x2的解为x=0.5，方程???log1x的近似解为x=0.64118574，方程

?2??2?2x?log1x的近似解为x=0.587774756．

2121?1??1?x????log1x；x2????log1x；由图象及上述近似解可知，当0＜x＜0.5时，当x=0.5时，

?2??2?2212xx?1?当0.5＜x＜0.587774756时，???x2?log1x；

?2?x212

?1?当x=0.587774756时，???x2?log2x；

?2?x11?1?当0.587774756＜x＜0.64118574时，???log1x?x2；

?2?2?1?当x=0.64118574时，???log1x?x2；

?2?2?1?当x＞0.64118574时，log1x????x2．

?2?2【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（0＜a＜1）、y=logax

（0＜a＜1）和y=xn（n＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=logax（0＜a＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=ax（0＜a＜1）与y=xn（n＜0）的衰减速度．而y=ax（0＜a＜1），y=an（n＜0）都是在正值范围内衰减，随着x的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=an（n＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有xn＞ax＞logax．

举一反三：

x1x1x1?1?【变式1】 比较??、x3、log1x(x?1)的大小．

?3?3?1?【答案】x????log1x

?3?311x【解析】分别画出y?(),y?x3,y?log1x的图象，可得结论．

3313x1x类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型

例2．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满

?9A足f(n)?，其中t?23，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高na?bt2度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．

【答案】9

【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.

?9A?a?b?A?所以?9A，解得a＝1，b＝8.

?3A?1?a?b?49A2所以f(n)?，其中. t?2?1?8?tn39A1n令f(n)＝8A，得，解得， ?8At?n1?8?t642n1即2???2?6，所以n＝9.

3643

答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．

【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．

举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = （t0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为（ft），则函数y = （ft）的图象大致是（ ）

A

O x =t B

【答案】D

?32?t(0?t?1)?2【解析】 函数S(t)??

?23?23t?3t2(1?t?2)??2故选 D．

【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元（a＞0）．

（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．

【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．

【解析】（1）由题意得3000(100?x)?(1?2x)?100?3000，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50． 100又∵x＞0，∴0＜x≤50．

（2）设这100万人农民的人均年收入为y元，则

3000(100?x)?(1?y?100?60x?300a0?(x?1)300000 ?，

1003即y??[x?25(a?1)]2?3000?375(a?1)2，0＜x≤50．

5当0＜25(a+1)≤50且a＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y取最大值． 当25(a+1)＞50即a＞1时，y在（0，5]上单调递增， ∴当x=50时，y取最大值．

答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．

【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量

2x)?3000ax100

4

之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．

例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b（k≠0）；二次函数型：g (x)=ax+bx+c（a≠0）；幂函数型：h(x)?ax?b；指数函数型：m (x)=abx+c．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y万件，月份数为x，建立直角坐标系（如右图），可得A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）．

（1）对于直线f(x)?kx?b(k?0)，将B、C两点的坐标代入，有解得k=0.1，b=1，故fx f(2)?2k?b?1.2，f(3)?3k?b?1.3，()10?.1x?．将A、D两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．

（2）对于二次函数g(x)?ax?bx?c(a?0)，将A、B、C三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．

解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x2+0.35x+0.7． 将D点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．

22

12h(2)?（3）对于幂函数型h(x)?ax?b，将A、B两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，

得a≈0.48，b≈0.52．

故h(x)?0.48x?0.52． 将C、D两点的坐标代入，得

12122a?b?1.2．解

h(3)?0.48?3?0.52?1.35，与实际误差为0.05；

h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．

（4）对于指数函数型m(x)=abx+c，将A、B、C三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab2+c=1.2，m (3)=ab3+c=1.3．

解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x+1.4． 将D点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．

比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x+1.4比较接近客观实际．

选用y=a·bx+c模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．

举一反三：

【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则函数y = f(x) 的图象大致为（ ）．

5

则f'(x)?3ax?2bx?c，

∴f′（0）＝－1，f′（2）＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1. 又y?ax?bx?cx过点（2，0），∴4a＋2b＝1，

32211，b??，c＝－1， 2211∴y?f(x)?x3?x2?x.故选A．

22∴a?7．【答案】f(x)???80,0?x?20

?160,20?x?40【解析】在信件不超过20克重时，付邮资80（分）， 应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80（分）； 在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160（分）， 应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160（分）， 遂得分段函数．其表达式f（x）为f(x)???80,0?x?20．

?160,20?x?40故答案为：f(x)??8．【答案】2400

?80,0?x?20．

160,20?x?40?13 【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为8100?(1?)3?2400．故填2400． 9．【答案】120；80．

【解析】∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q?a(t?120)?m描

2??a?0.01?a(60?120)?m?116,2述，将表中数据代入可得? 解得? ∴Q?0.01(t?120)?80，故当上

2??m?80?a(100?120)?m?84,2市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg．故填120；80．

10．分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

2???t?10t?1200,(0?t?10)【答案】（Ⅰ）?；（Ⅱ）ymax?1225（当t=5时取得），ymin?600（当

2??t?90t?2000,(10?t?20)t=20时取得）

【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：

1?(15?t)(80?2t),(0?t?10)??(t?30)(40?t),(0?t?10)?2y????

1(50?t)(40?t),(10?t?20)?(25?t)(80?2t),(10?t?20)???22???t?10t?1200,(0?t?10) ??2??t?90t?2000,(10?t?20)11

（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t≤10时y??t?10t?1200??(t?5)?1225 函数图象开口向下，对称轴为t=5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈（5，10]递减 ∴ymax?1225（当t=5时取得），ymin?1200（当t=0或10时取得） ②当10＜t≤20时y?t?90t?2000?(t?45)?25

图象开口向上，对称轴为t=45，该函数在t∈（10，20]递减，t=10时，y=1200，ymin?600（当t=20时取得）

由①②知ymax?1225（当t=5时取得），ymin?600（当t=20时取得）

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．

11．【答案】（1）从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨；（2）约有8小时供水紧张 【解析】（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

由y?400?60t?1206t；

22令6t?x；则x2?6t，即y?400?10x?120x?10(x?6)?40；

2222∴当x=6，即t=6时，ymin?40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． （2）依题意400?10x2?120x?80，得x2?12x?32?0 解得，4＜x＜8，即4?即由

832； 6t?8,?t?33328??8，所以每天约有8小时供水紧张． 3312

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