复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

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习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513

;;(2)(43);711i i e i i i i i -++++++.

①解i π

ππe cos isin 44-??

????=-+- ? ? ? ???????

②解： ()()()()35i 17i 35i 1613

i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-

③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13

35

=i i i 1i 222-+-+=-+

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+

); 33

311;;;.22n z i ??-+-- ????

① ：∵设z =x +iy

则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y

z a z a x y a x a y x a y -++-?

???+--+-????

===+++++++ ∴()22222

Re z a x a y

z a x a y ---?

?= ?+??++, ()222Im z a xy

z a x a y -??= ?+??++．

②解： 设z =x +iy

∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i

33i

z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴()3

32Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解：

∵((

)(

){}

3

3232

111313188-+????=

=--?-?+?-??????????

()1

80i 18=+=

∴Re 1=??

, Im 0=??

．

④解：

∵()(

)((

)2332

313131i 8??--?-?

+?-?

???=

?? ()1

80i 18=+=

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∴Re 1=??

, Im 0=??

．

⑤解： ∵()()1,2i 21

1i,k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-??? ．

∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-．

3.求下列复数的模和共轭复数

12;3;(2)(32);

.2i i i i +-+-++

①解：2i -+ 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=-

③解：()(

)2i 32i 2i 32i ++=++ ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=-

④解：1i 1i 22++= ()1i 11i

222i ++-

??== ???

4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．

证明：若z z =，设i z x y =+，

则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．

若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．

∴z z =．

命题成立．

5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤

证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+?+=++

()()

22222Re z z z w w z w w

z zw z w w z w z w =?+?+?+?=++?+=++?

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()22222

22z w z w

z w z w z w ++?=++?=+≤

∴z w z w ++≤．

6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．

()2222Re z w z z w w +=+?+

()2222Re z w z z w w -=-?+ ()22222z w z w z w ++-=+

并给出最后一个等式的几何解释． 证明：()2222Re z w z z w w +=+?+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-?+．

∵()()()()

222z w z w z w z w z w z z w w z w -=-?-=--=-?-?+

()222Re z z w w =-?+．从而得证． ∴()22222z w z w z w ++-=+

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +??--+ ?+?

? ①解：()()()()

35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-

3816i 198i e 5025i θ?--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ?=其中π2

θ=

． π

2e i i = ③解：ππi i 1e e -==

④解：()

28π116ππ3θ-==-.

∴()2πi 38π116πe

--+=? ⑤解：32π2πcos isin 99??+ ??

?

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解：∵32π2πcos isin 199??+= ??

?． ∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99???+=?= ???

8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)

的平方根. ⑴i 的三次根．

解：

()13ππ2π2πππ22

cos sin cos isin 0,1,22233++??+=+= ???k k i k

∴1ππ1cos

isin i 662=+=+z ．

2551cos πi sin πi 662=+=+z

3991cos πi sin πi 662

=+=z ⑵-1的三次根

解：

()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=

∴1ππ1cos i sin 332=+=z

2cos πisin π1=+=-z

3551cos πi sin π332=+=-z

的平方根．

πi 4e ?=????

)()1π12i 44ππ2π2π44e 6cos isin 0,122k k k ??++ ?=?+= ???

∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88??=?+=? ???z 9

11πi 8442996cos πisin π6e 88??=?+=? ???z ． 9.设2π

e ,2i n z n =≥. 证明：110n z z -+++=

证明：∵2π

i e

n z ?= ∴1n z =，即10n z -=． ∴()()1110n z z z --+++=

又∵n ≥2． ∴z ≠1

从而211+0n z z z -+++=

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11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令

:Im 0z a L z b β?-???==?? ????

?, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．

因为L β={z : Im z a b -?? ???

=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90°

故α-β=90° 所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.

(1)arg π;

(2);

1(3)1|2;

(4)Re Im ;

(5)Im 1 2.

z z z z i z z z z ==-<+<>><且

解：

(1)、argz =π．表示负实轴．

(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12

．

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(3)、1<|z +i|<2

解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z )>Im z ．

解：表示直线y =x 的右下半平面

5、Im z >1，且|z |<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

习题二

1. 求映射1

w z z =+下圆周||2z =的像.

解：设i ,i z x y w u v =+=+则

22

1i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+

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所以

54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2

2532u

v +=即()()222

253221u v +=，表示椭圆.

2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+.

（1）

π02,4r θ<<=

； （2）π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b.(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+

所以

22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则

π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即

π04,.2ρ?<<=

(2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即

π04,0.2ρ?<<<<

(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛

物线将y=b 映成了22,2.u x b v xb =-=

即

2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.

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3. 求下列极限.

(1) 21lim 1z z →∞+; 解：令

1z t =,则,0z t →∞→. 于是2

2201lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()

lim

z z z →; 解：设z=x+yi ，则Re()i z x z

x y =+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++

显然当取不同的值时f(z)的极限不同

所以极限不存在.

（3） 2lim (1)z i

z i

z z →-+； 解：2lim

(1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.

（4） 21

22

lim

1z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以21

12223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.

4. 讨论下列函数的连续性：

(1)

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,0,()0,0;

xy z x y f z z ?≠?+=??=? 解：因为220(,)(0,0)lim ()lim z x y xy f z x y →→=

+,

若令y=kx,则222(,)(0,0)lim

1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在. 从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.

(2) 342

,0,()0,0.x y z f z x y z ?≠?=+??=? 解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+

所以f(z)在整个z 平面连续.

5. 下列函数在何处求导？并求其导数.

(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；

解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导.

1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22

()(1)(1)z f z z z +=++.

解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在

2(1)(1)0z z ++=处不可导. 从而f(z)除1,i z z =-=±外可导.

22222

32222

(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3)

38

()57z f z z +=-. 解：f(z)除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---.

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(4)

2222()i x y x y f z x y x y +-=

+++. 解：因为

2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y f z x y x y x y z z ++--+--+++=====+++.所以f(z)除z=0外处处可导，且2(1i)

()f z z +'=-.

6. 试判断下列函数的可导性与解析性.

(1)

22()i f z xy x y =+; 解：

22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 22

,2,2,y u v v y xy xy x x y x y ????====????

所以要使得

u v x y ??=??， u v y x ??=-??,

只有当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(2) 22()i f z x y =+.

解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.

2,0,0,2u u v v x y x y x y ????====????

只有当z=0时,即(0,0)处有u v x y ??=??,u v y

y ??=-??. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(3) 33()23i f z x y =+;

解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.

226,0,9,0u u v v x y x y x y ????====????

=时，才满足C-R 方程.

从而f(z)

0=处可导，在全平面不解析. (4) 2()f z z z =?.

解：设i z x y =+，则

23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+

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3,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y ????=+===+????

所以只有当z=0时才满足C-R 方程.

从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数.

(1) ()0f z '=;

证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ??==??,0v v x y ??==??.

所以u,v 为常数，于是f(z)为常数. (2) ()f z 解析. 证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则

()u v u v x y x y

??-??=?=-???? ()u v v y x y

?-?-?==+??? ,u v u v x y y x ????=-=????

而f(z)为解析函数，所以

,u u u v x y y x ????==-???? 所以,,v v v v x x y y ????=-=-????即

0u u v v x y x y ????====???? 从而v 为常数，u 为常数，即f(z)为常数.

(3) Ref(z)=常数.

证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,

0u u x y ??==?? 因为f(z)解析，C-R 条件成立。故

0u u x y ??==??即u=C2

从而f(z)为常数.

(4) Imf(z)=常数. 证明：与（3）类似，由v=C1得0v v x y ??==??

因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y ??==??,即u=C2 所以f(z)为常数.

5. |f(z)|=常数.

证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论.

若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.

若C ≠0，则f(z) ≠0,但2()()f z f z C ?=，即u2+v2=C2

则两边对x,y 分别求偏导数，有

220,220u v u v u v u v x x y y ?????+?=?+?=????

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利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有

u v u v x y y x ????==-???? 所以00u v u v x x u v v u x x ????+?=?????????-?=???? 所以

0,0u v x x ??==??

即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

(6) argf(z)=常数.

证明：argf(z)=常数，即arctan v C u ??= ???, 于是222222222()()(/)01(/)()()v u v u u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??-?'????===+++

得

00v u u v x x v u u v y y ????-?=?????????-?=???? C-R 条件→

00v u u v x x v u u v x x ????-?=?????????+?=???? 解得0u v u v x x y y ????====????，即u,v 为常数，于是f(z)为常数.

8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件.

22

2,3u u nxy my nx x y ??==+??

223,2v v x ly lxy x

y ??=+=?? u v n l x y ??=?=??

3,3u v n l m y x

??=-?=-=-?? 所以3,3,1n l m =-=-=.

9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.

(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

222233,6,6,33u u v v x y xy xy x y x y x y

????=-=-==-????

所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.

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14 / 66 22222()i 336i 3(2i)3u v f z x y xy x y xy z x x ??'=+=-+=-+=??.(2) ()e (cos sin )ie (cos sin )x x f z x y y y y y x y =-++. 证明：

(,)e (cos sin ),(,)=e (cos sin )x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且 e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u x y y y y x y y y y x ?=-+=-+? e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u x y y y y x y y y y y ?=---=---?e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v y y x y y y y x y y x

?=++=++?e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v y y y x y y y y x y y ?=+-+=-+?所以u v x y ??=??, u v y

x ??=-?? 所以f(z)处处可导，处处解析.

()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))

e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)x x x x x x x x z z z z u

v

f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=+=-++++??=+++++=++=+10. 设 ()()

333322i ,0.

0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?=+??=?

求证：(1) f(z)在z=0处连续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程．

(3)f ′(0)不存在．

证明.(1)∵()()()()0,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=+ 而()()()()()3322,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+ ∵()3322221x y xy x y x y x y -??

=-?+ ?++?? ∴33223

02x y x y

x y --+≤≤

∴()()33

22,0,0lim

0x y x y x y →-=+

同理()()33

22,0,0lim 0x y x y x y →+=

+

∴()()()(),0,0lim 00x y f z f →==

∴f(z)在z=0处连续．

(2)考察极限()

0()0lim z f z f z →-

当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有

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15 / 66 ()()()3200111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??．

当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有

()()[]01lim 01i x f x f x →-=+ 它们分别为i ,i u v v u x x

y y ????+?-???? ∴,u v u v x y y x ????==-????

∴满足C-R 条件．

(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有

()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1i x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++ ∴0lim z f z →??不存在．即f(z)在z=0处不可导．

11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()()F z f =在区

域D1内解析．

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析．

所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x ????==-????． ()()()()()

,iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得 (),u x y x x ??-?=?? ()(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x ψ-?-?=?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=??? 故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件,x y y x ?ψ?ψ????==-????

从而()f z 在D1内解析

13. 计算下列各值

(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)

(2)

22π22i 3333

3ππ1e e e e cos isin e 332i π--????????=?=?-+-=? ? ? ??????????? (3)

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16 / 66 ()()2222

2222i i 22Re e

Re e e Re e cos isin e cos x y x y x

y x y x y x x y x x y y y x y x y y x y -+-++++=?????????= ?-+-??? ? ? ?++???????

?

??=? ?+??

(4)

()()

i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x -+-+---=?=?=

14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=rei θ，

对于?θ，z →∞时，r →∞．

故()()()i i e i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θθθθθ→∞→+∞+=+=∞． 所以()lim z f z →∞=∞．

15. 计算下列各值．

(1)

(

)(

)3ln 23i iarg 23i i πarctan 2??-+-+=- ???

(2)

(

(

ππln 3ln i arg 3ln i ln i 66??==-= ??? (3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

(4)

()()πln ie ln e iarg ie 1i 2=+=+

16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy

，()()

()||,i ,g z z u x y v x y =+ (

)(),,0

u x y v x y =在复平面内可微． (

)1222122u u x y x x y -??=+?=??

00v v x y

??==??

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．

从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导．

f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．

17. 计算下列各值．

(1)

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

17 / 66

()()()()(

)1i π1i i 2πi 1i ln 1i 1i ln 1i 4π

π

i 2π44π

2π4π

2π41i e e e π

π

e i 2π

44e e ππ

e cos isin 44π

π

e cos isin 44k k k k k -??

-?+ ?-+-?+??

?-+ ?+++====+-++=???

??=?-+- ??????

?

?

??=?-+- ??????

(2)

(

(

(

)

)(

)(

)(

(

)(

)(5ln 33ln 3i π2πi 3π233e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+?++-=====++=++

(3)()

()i i ln1iln1i ln1i 02πi i 2πi 2π1e e e e e k k k ----?+?+-?=====

(

)()(

)1i

1i ln 1i ln ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44ππππ

i 2π2πi i 2π2π4444π

2π4π

2π4e

e e e e e e π

πe cos isin 44()4e k k k k k k k k +++??

????

+?+-++- ? ? ???????

??

---+- ???

--======???

??=?+- ? ?????

?

=???

18. 计算下列各值

(1)

()()()

()i π5i i π5i i π5i π5

5

55555

e e e e cos π5i 22

e e 1e e e e

ch 5222+-+--+---+++==-+---+===-=-

(2)

()()()()()

i 15i i 15i i 5

i 5

555555

e e e e sin 15i 2i 2i

e cos1isin1e cos1isin12i

e e e e sin1i cos1

22---+--------==+-?-=++=?-?

(3)()()

()()()

()()()

i 3i i 3i i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2

2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i

----------===-+-(4)

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

18 / 66 ()()()2

22i i 2222222222221sin e e sin ch i cos sh 2i

sin ch cos sh sin ch sh cos sin sh sin sh y x y x z x y x y x y x y x y y x x y x y

-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+

(5)

(

(

))()arcsin i i ln i i ln 1i ln 1i2π0,1,i ln 1i π2πk k k =-=-???-+???==±????-++???

(6)()()()i 1i 12i i 21arctan 12i ln ln i 21i 12i 2551i πarctan 2ln 524k ++??+=-=-?-+ ?-+??

=++? 19. 求解下列方程

(1) sinz=2．

解：

(

)(

(

(1arcsin 2ln 2i ln 2i i

1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ??==±=-±??????=-±++ ??????

???=+±=± ???

(2)e 10z -=

解：e 1z =+ 即

(πln 1ln 2i

2πi 31ln 22πi 3z k k ==++??=++ ??? (3)

πln i 2z = 解：πln i 2z =

即πi 2e i z == (4)()ln 1i 0z -+=

解：

(

)π1ln 1i i 2πi 2πi 44z k k ??-+=?+=+ ???． 20. 若z=x+iy ，求证

(1) sinz=sinxchy+icosx ?shy

证明：

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

19 / 66 ()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i

1.e e 2i

sin ch i cos .sh x y x y i

z z y x y x z x y x y +-+?--+---===-=?+

(2)cosz=cosx ?chy-isinx ?shy

证明：

()()()()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 22

1e e 2

1e cos isin e .cos isin 2

e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y -+-+-+----+==?+=+=?++-??+-+=-????

=-

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y

证明：

()i i 1sin e e sin ch icos sh 2i y x y x z x y x y -+-=-=?+? ()()2222222222222sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y

x y y x x y

x y =+=-++=+

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

证明：cos cos ch isin sh z x y x y =- ()()2222222222222cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y

x y y x x y

x y =+=-++=+

21. 证明当y →∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明：

()()i i i i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=-=?-

∴i i i i 1sin e 2e e e e y x y x y x y y x y z e -+--+--=?-==

而()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥

当y →+∞时，e-y →0，ey →+∞有|sinz|→∞． 当y →-∞时，e-y →+∞，ey →0有|sinz|→∞．

同理得()()i i 11cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥

所以当y →∞时有|cosz|→∞．

习题三

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

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1. 计算积分2()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤

故 ()()1220

1231

00()11(1)(1)(1)33

3C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=

??? 2. 计算积分(1)d C z z

-?，其中积分路径C 为

(1) 从点0到点1+i 的直线段;

(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤

()()1011()C z d z x i x d x i x i

-=-++=??

(2)设2z x ix =+. 01x ≤≤

()()1220211()3C i z dz x ix d x ix -=

-++=??

3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为

(1) 从点-i 到点i 的直线段;

(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i;

(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤

11

11C z dz ydiy i ydy i --===???

(2)设i z e θ=. θ从32π到2π

22332212i i C z dz de i de i

ππ

θ

θ

ππ===???

(3) 设i z e θ=. θ从32π到2π

23212i C z dz de i π

θπ==??

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

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6. 计算积分()sin z C z e z dz

-?? ,其中C 为0z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz

-?=-???? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析

∴sin 0z C e zdz ?=?

从而 ()20

220sin 0z i C C i z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-?====???? 故()sin 0

z C z e z dz -?=? 7.

其中积分路径C 为 （1）

11:2C z = （2）23:2C z = （3）31:2C z i += （4）43:2C z i -=

解：（1）在1

2z =所围的区域内，

21

(1)z z +只有一个奇点0z =. 12111111()2002(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-?-?=--=+-+?? （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故

221

11111()20(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-?-?=--=+-+?? （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故 32111111()00(1)22C C dz dz i i

z z z z i z i ππ=-?-?=--=-+-+?? （4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故

421

11111()2(1)22C C dz dz i i i

z z z z i z i πππ=-?-?=-=+-+?? 10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.

(1) 20cos 2i z dz π+?

(2) 0z i e dz π--? (3) 21(2)i iz dz +? (4) 1ln(1)1i z dz z ++? (5) 10sin z zdz ?? (6) 211tan cos i z dz z +?

解 (1)

22001cos sin 21

222i

i

z z dz ch ππ++==? (2)

002z z

i i e dz e ππ----=-=-? (3) 22311111111(2)(2)(2)(2)333i i i

i iz dz iz d iz iz i i +=++=?+=-+??

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