六年级奥数培训教材

六年级拔尖数学

目 录

第1讲 定义新运算

第2讲 简单的二元一次不定方程 第3讲 分数乘除法计算 第4讲 分数四则混合运算 第5讲 估算

第6讲 分数乘除法的计算技巧 第7讲 简单的分数应用题（1） 第8讲 较复杂的分数应用题（2） 第9讲 阶段复习与测试（略） 第10讲 简单的工程问题 第11讲 圆和扇形

第12讲 简单的百分数应用题 第13讲 分数应用题复习 第14讲 综合复习（略） 第15讲 测试（略）

第16讲 复杂的利润问题（2）

第一讲 定义新运算

在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。

例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？

例2：如果A#B表示

A?B 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 3 例3：规定X?Y?XY 求2Δ10Δ10的值。 X?Y

例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N

（1） 计算（14 *10）*6

（2） 计算 （

831*） *（1 *） 542

例5：如果任何数A和B有A¤B=A×B-（A+B）

求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4

（3）假设2¤X=1求X

例6：设P∞Q=5P+4Q，当X∞9=91时，1/5∞（X∞ 1/4）的值是多少？

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例7：规定X*Y=AX?YXY，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？

例8：▽表示一种运算符号，它的意义是X?Y?11XY?（X?A）（Y?A） 已知2?1?1122?（2?1）（1?A）?3 那么20088▽2009=？

巩固练习

1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推

（1） 3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X的值

2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7

计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4）

3、如果A*B=3A+2B，那么

（1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）

4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A

5、N为自然数，规定F（N）=3N-2 例如F（4）=3×4-2=10

试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值

6、如果1=1！

1×2=2！ 1×2×3=3！

……

1×2×3×4×??×100=100!

那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？

（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）

7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。

下面四个算式（1）8×7=8

（2）7×7×7=6 （3）（7+8+3）×9=39 （4）3×3=3

那么应该是我们通常的哪四个算式？

8、如果2*4=2×3×4×5 5*3=5×6×7，请按此规定计算

- 1 -

1

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（1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）÷（3*3）

9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 则计算（1）（56489） （2）（92045）+（90÷5）÷（12）

10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；

243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值

（1） F（128）= ( ) （2） F（16）= G（ ） （3） F（ ）+ G( 27 )=6

11、如果1=1！

1×2=2！ 1×2×3=3！

……

试计算（1）5！ （2）X！=5040，求X

12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立

2＆3=7 5＆3=13 4＆5=13 9＆7=25 求995 ＆ 9=？

13、A*B=

14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=如果1￥2=2，那么2￥9=？

第二讲 二元一次不定方程

一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。

二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。

在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。

三、例题解析： （一）基本方法

例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？

分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。

设小明付了X枚贰角和Y枚伍角 列方程，得2X+5Y=49

A?B 在X*（5*1）=6中，X的值是多少？ A?B6XY（其中M是一个固定的值）

MX?2Y

- 2 - 2

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方法一

1、利用奇偶性。49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。

2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。

方法二 观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。

由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。 不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决

例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？

分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后，答案的变化。

试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？

例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？

分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。

例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？

分析与解：设他出生于19XY年，那么

1991—19XY=1+9+X+Y

1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y

91—10X—Y=10+X+Y

（二）能力拓展 例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。 分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。

试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。

例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横

- 3 - 3

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切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。

分析与解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。

三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。

练习

一、基本题

1、求方程6x+9y=87的自然数解。

2、求方程2x+5y=24的自然数解

3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？

4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？

5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。

6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。

7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？

二、综合题

8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？

9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生？

- 4 - 4

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思考题

10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

第三讲 分数乘除法计算

分数乘除法的计算方法用字母表示为：

bdbda?c?ac（a，c都不等于0）； bdbcbca?c?a?d?ad（a，c都不等于0）。 一、课前准备： 1、 计算下列各题： （1）53373÷10÷136 （2）7＋5÷15 （3）592718÷7×35 （3）

218÷9÷712 （4）52÷54×53 （6）25÷（14+35）

2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？

（1） 25×167

7 ×8 = ×( × )

（2） 528

8 ×3 ×15 =( × )×

（3）

229 ×(15×29

31

)= ×( × ) （4） 253

4 ×4= × + ×

（5） 7×7

8 = × 〇 ×

（6） 14

5 ×25= × 〇 ×

（7） 54×(85

9 - 6 )= × 〇 ×

二、例题讲解

- 5 - 5

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4415例1：计算：⑴?37； ⑵27?。

4526441【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的与1只相差，如果把写成

45451(1?)的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的27可以

45写成（26+1）。

练习：“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？ 1252

26 × 32 ×

3556

例2：计算：?27?153?41 51535分析仔细观察因数的特点可知，?27可转化为?9，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。

练习：计算：

例3：计算：?9412114?23?16??? 71377132??55??2?7?????

9??79??7【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，把与

171的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、结合律就9可以很快算出结果。 例4：计算：⑴16612003。 ?41；⑵2003?2003202004【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分

1分成一个41的倍数与202003另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的2003化为假

2004数太繁了。如果我们动一下脑筋，就会发现：可以把题(1)中的166分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。

例5：计算：777?91?37?11 1010- 6 -

6

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例6：计算：

一、基本练习

1、下面各题，怎样简便就怎样算。

89?1112 1516?114－1516?14 15?（233＋5）

417?（25?68） 13?12＋12?23 459?3

2. “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？

77810 ×101- 10 9 ×89 ÷89 ×89 35 × 99 + 3

5

345 ×25 36×3435 ( 56 - 59 )×185

( 47 + 89 )×225 1531033

21 ×4 + 21 ×4 - 4

4. 分数四则混合计算： （1）（110—1100）×1000 （2）365×[（3134—6）÷2] （3）

78×45—112÷56 （4）（0.19×6358+0.19×38）÷0.05

二．能力提高

（4） （5）2008?20082009

- 7 - 7

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第四讲 分数四则混合运算

一、课前准备：

999278035÷9 6289?19 （416153＋5）×16

3710÷34＋53411110×3 （3＋4－6）×24

二、例题讲解 例1：计算：????888?8???9???1.125?360?2?3???23% 练习：923?123?5.46?2375?(4.875?28)

例2：计算：（598.1×37213175＋5981×6.26）÷117＋190×30

例3、311?2131423?413?4?514?5?6115?56?7116?67

例4；计算；4.44?458?3137?25111?3637?41125

练习：

1. 下面各题怎样算简便就怎样算。 （8529249＋3－27）×27 （3＋5）÷115

- 8 - 8

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432323323425×4 24÷5 ×＋×＋

7131371345

2. 用简便方法计算。 1÷13×100－

912129－91× 1.1×4＋40.9÷5－4.09× 1313971997

3、计算下面各题。

55?

55561775 56? 15??2 565520812111?4331?7?2? ?（3??）?1?1?（??1）?3?5???8 256445????

41?

1314151111?51??61? （??）? 3445563691822334?1?4?1 （?0.87?0.23?）?3%

751111

??3?55?5.6?0.375??5.4?3.75?10 1110??11?????13?

8?1113???

15.8??6 ?5

第五讲 估 算

取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法）。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”； （2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。

一、去尾法和收尾法（进一法）

例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回

2129?31???12.5%? 1.1?4?40.9?5?4.09?

971997?58?4??42?5??0.8?2???7.6??2?1.25?

9??55?9?

- 9 - 9

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时速度为850千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米） 解：设该飞机最远能飞出x小时，依题意有

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）

此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。

二、放缩法与省略尾数法

282912，1.64+，??1.64+1.64+，如果取每个数的3030303011整数部分（例如：1.64的整数部分是1，1.64+的整数部分是2），并将这些整数相加，那

30例3、有三十个数：1.64，1.64+

么其和是多少？

分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2

例4、 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。 分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。 方法一：放缩法：A＞1234÷3122=0.3952?

A＜1235÷3121＝0.3957? 所以0.3952＜A＜0.3957

方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有

1234÷3121≈

例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？

分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.40×13=161.2，最大应该是12.50×13=162.5之间，从而可求出这 13个自然数的总和，从而知道正确答案

例6、 已知：S=

1，求S的整数部分。

1111??????1980198119821991分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在

某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。

- 10 - 10

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设A=

说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。

11111A?1?(????)19961997199819992000练一练：求的整数部分。

练习

一、基本题 1、（1+

1919191919）+（1+×2）+（1+×3）+??（1+×10）+（1+×11）的结果是x，9292929292那么，与x最接近的整数是多少？

2、求算式0.1234??5051÷0.5150??4321的小数点后前二位数字是多少？

3

3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米石料，以截断河流。如果每台

3

大型运输车一次可运石料17.5米，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？

4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？

5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？

6、求下式中S的整数部分：

二、综合题 7、 计算：

（提示：注意385= 5×7×11，可以先用乘法分配律化简，再估算。） 三、思考题：8、在1，至少要选几个数？

第六讲 分数运算的技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技

1111，，??，，中选出若干个数，使得它们的和大于3，2399100

- 11 - 11

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巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。 （一）一般分数乘除法的计算：

（二）分数的简便计算 1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数??从而使运算得到简化。

例3、计算：

2.约分法：

例4、计算：

分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出1×2×3，分母的每一项都可以分解出1×3×5。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。

例5、计算：

362?548?361

362?548?186分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362×548可以变形为：（361＋1)×548=361×548＋548，同时发现548－186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。

例6、计算：

例7、计算：

2、 分组法 例8、计算：

- 12 - 12

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分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。

4、代数法 例9、

练习：

2003

2004 ×2005

- 13 - 13

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第七讲 简单的分数应用题（一）

一、基础知识：

1、分数应用题的一般关系式是：

表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。 2、解题思路：

①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。 分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。）

单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。 ②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。

表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。 ③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。 二、例题解析： （一）基本方法

例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的2份，2/3对应的数量是（ ）。 ②甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/5对应的数量是（ ）。

③现价是原价的。把( )平均分为40份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/40对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。

④小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的7份，7/8对应的数量是（ ）。小明的书对应的分率是（ ）。

例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）白兔只数的 （3）二班植树棵数相当于一班的 510是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的。 1221105。 （4）今年棉花产量比去年增加。 218- 14 -

14

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77（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜。 （6）还剩这堆煤的。 5115 例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1 元，钢笔的价格比本子的价格多，

钢笔的价格是多少元？

例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3，一件上衣多少元？ 例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4，梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐？

例6、学校买来54本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占1/3，文艺书比科技书多多少本？

（二）能力拓展

例7、小强看一本故事书，每天看16页,看了5天后，还剩全书的3/5没有看，这本故事书有多少页？

分析：把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应，看了的已知量16×5与1—3/5相对应。

例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米? 分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离÷速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办？可以假设全程为单位“1”。

练一练：一项工作,由甲单独做需要10天；由乙单独做需要12天.如果两人合做,几天才能完成?

练习： 一、基本题

1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的5份，对应的数量是（ ）。

②一种毛衣现价是原价的4/7。把( )平均分为7份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的4份,4/7对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。 ③九月份的产量比八月份增加了 。 单位“1”：（ ）。九月份的产量对应分率（ ）。

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2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）妈妈年龄的 （3）男生人数占总数的 （4）现价比原价增加59是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的。 1211205。 （4）今年车祸比去年减少。 21877。 （6）没有看的占这本书的。 1015

3、六年级有男生100人，女生有80人。 （1）男生人数是女生的几分之几？

（2）女生是男生的几分之几？

（3）女生是全年级学生的几分之几？

（4）男生人数比女生多几分之几？

3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的1/4，挖了多少米？还剩多少米？

4、某车间五月份生产零件3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件？

分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。对应的数量是（ ），六月份生产的对应分率是（ ）。 解答： 5、某小学有学生若干人，其中女生占3/8，还已知该校男生有240人，这所小学共有多少人？ 分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。男生的对应分率是（ ）。 解答：

6、小亮在银行存了240元，小华存的钱是小亮的5/6，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元？

7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了4/7，粮店还有大米多少千克？

8、商店有红气球和黄气球，共有48只，其中黄气球的只数是红气球的3/5 。红气球和黄气球各多少只?

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9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?

二、综合题：

10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的1/5，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看？

11、本站有一批货物，上午运走了总数的2/5，下午运走了总数的3/8 ，还剩下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨？

12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克？

13、小刚读一本书，先读了全书的

21，又读了全书的，已读的比没读的多70页，这本书53共有多少页？

14、根据算式写出问题。（说明：35%=7/20）

还剩下全长的1/3没有修完，————————？

（1）2400×1/4 ？ （2）2400×35% ？ （3）2400×（1/4+35%） ？ （4）2400×1/3 ？ （5）2400×（35% - 1/4） ？ （6）2400×（1/3 - 1/4） ？

（7）2400×（1/4+35% - 1/3） ？

第八讲 较复杂的分数应用题（二）

本讲继续学习较复杂的应用题——两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。

例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，两次共用去多少厘米？

分析：本题有2个分率，相对应的有2个单位“1”。

例2、小红看一本书，第一天看了全书的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，还剩下42页没有看，这本书共有多少页？

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练一练：某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？

例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，这时瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克？

分析：根据条件“第二次吃了余下的3/4”，我们先确定“1”；再利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。

例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人，女生人数比全校学生总数的4/7 多15人。求全校学生总人数。

分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

例5、 有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克？

分析：本题2个分率，相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的3/5还多300吨，第二次运出的是第一次的1/3，第三次运出的450吨，求这批化肥有多少吨？

例6、某工厂二月份比元月份增产1/10，三月份比二月份减产1/10．问三月份比元月份增产了还是减产了？

分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。

练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大2/5，老二比老三年龄大2/5，老大的年龄是老三的几分之几？

练习： 1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨，比第一个月多生产1/4，第一个月生产水泥多少吨？第三个月生产的水泥，比第一个月少生产1/5，那么第三个月生产水泥多少吨？

2、小红看一本240页的书，第一天看了全书的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，还剩下多少页没有看？

3、某粮店，第一天卖了全部大米的4/7，第二天又卖了余下的3/5，这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克？

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4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产1/10，三月份生产了多少个零件？

5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几？

6、某班学生中，男生人数比全班人数的5/9 少5人，女生人数比全班人数的3/7多11人，求全班人数。

7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油．问这桶油有多少千克？

二、综合题 8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的1/2还多7.2千米，乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长？

9、小王做零件，已经做了240个，比计划还少20%，为了超额25%，小王还应再做多少个？

10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克？

11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷，问这个村共有多少公顷土地？

12、一种商品，先提价

第九讲 阶段复习与考试

第十讲 简单的工程问题（一）

准备题：修建一条长1200米的公路，甲队需要30天，乙队需要40天，如果两队合修需要多少天？

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。

工程问题中的本质关系为：工作效率×工作时间=工作总量。分数工程问题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，工作效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。

一、基本方法

11，再降价，现价相当于原价的几分之几？ 55

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例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。 （1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？

（2）合做3小时完成这批零件的几分之几？

（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？

（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？

练一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作？

例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇？

分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1”，速度用1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。

例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满，单开乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三管同开，多少小时把空池注满水？ 分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。

例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的1/2，如果单开乙龙头需要多长时间注满水池？ 分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。

二、能力拓展

例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？

例6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙队工作了几天？

分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。

例7、某项工程，甲、乙两队合做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩下的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成？

分析：根据条件可以求出两队工效和。

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例8、加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的1/30，现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了几天，这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天？

分析：乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样：按前面例题的思路，可用方程的方法，或假设方法。

练习：

一、基本题：

1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。 （1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几？

（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？

2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，多少天可以完成？

3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

4、做一批零件，甲单独做12天完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4天后，余下的由乙独做多少天可以完成？

5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管30分钟可以将水池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有1/2的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满？

6、一只大雁从甲地飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，现野鸭先飞了3天后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇？

7、一项工程，甲队单独做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成？

二、综合题

8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天？ 9、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开了几天？

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10、一件工程，甲5小时先完成了1/4，乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？

11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成？

第十一讲：圆和扇形（一）

（一）基本知识

1、圆：圆周长公式：C=πd或C=2πr。

圆面积公式：S??r2。

22圆环面积：S环??(R?r)

图一 图二 图三

2、扇形。如上图二，连接两条半径OA、OB，就可得到一个扇形OAB，扇形面积公式是：

n?r2S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的

360。其中r是指扇形的在圆的面积，n指的是圆心

角的度数。

例1、图二中n=60°，半径为6厘米，扇形面积是多少？弧AB是多少？

3、弓形。如上图三， S弓AC= S扇AOC—S△AOC

例2、图三中，直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米，求弓形AC的面积。

（二）基本运用

例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米？

例4、计算下图阴影部分的面积．(单位：厘米)

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例5、在一块长4.5米，宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米？

例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的面积是多少？

例7、从一个直径为10厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少？

例8、求下图中阴影部分的面积和周长。

练 习

一、基本题

1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米？

2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米，求这个圆的周长。 3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，它的面积是多少？

4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少？

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5、下图圆的半径为6厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少？弧AC是多少？

6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。

7、求阴影部分的面积：(单位：分米) （π=3）

8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB为直径画成一个圆，圆心为O，CO垂直于AB，求弓形AC的面积。

9、求下图中阴影部分面积和周长 （1）等腰梯形的腰是0.8。（单位：厘米）

（2）三角形ABC是等边三角形，底BC= 6厘米，扇形圆心角为120度。

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例4、某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。已知按定价打八五折出售8个获得的利润与按定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这种商品每个定价多少元？ 分析：根据条件“利润一样多”，找到等量关系，所以可以用方程解答。

例5、某商店从外地购进360个玻璃制品，运输时损坏了40个，剩下的按进价以117%售出，商店可盈利百分之几？

分析：由于求的是一个不具体的数量——利润率，而且没有告诉我们关键的数量——进价，可采用设参数的方法解答。要注意，损坏的40个，要算成本，但无售价。还可以采用设参数方法：设具体的数，设单位1，设字母。

解：设一个玻璃制品的进价为x元，则每个售价为1.17x元。

练习：

1、商店从生产厂家以每台120元的价格，购进了一批电风扇。该商店以20%的利润率来定价，电风扇的定价是多少？如果打九折卖出，这时的实际利润率是多少？

2、新光商店把进货价是3元，原零售价是5.4元的800 双袜子降价出售。开始按原零售价八折出售，卖了50 0双； 剩下的按原零售价六折出售。卖完这800双袜子是盈利还是亏本？

3、一批西瓜按20%的利润定价，由于下雨，只好按6折出售，结果亏了120元。这批西瓜的成本是多少元？

4、某种商品按原价出售可获利20%，如果打九折出售，要赚60元，求这种商品的成本价？

5、商店购进一批每双6.5元的凉鞋，售价为7.4元，当卖到还剩下5双时，除去全部成本还已获利44元，那么这批凉鞋共有多少双？ 6、甲种产品总成本价为800元，如果按获25%的利润价格出售一半以后，剩下的一半降价10%出售，全部售完可获利多少元？

7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱？

8、A、B两种商品成本共200元。商品A按30%的利润定价，商品B按20%的利润定价。后来两种商品按定价的90%售出，结果获利27.7元，A种商品的成本是多少元？

9、某商店进了一批钢笔，按30%的利润定价。当售出这批钢笔的80%后，为了尽快销完，商店把余下的钢笔按定价的一半售出。销完后商店实际获得的利润率是多少？

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