十数学分析1考试试题

（十）《数学分析1》考试试题

一、叙述题

1叙述闭区间套定理；

2用肯定的形式叙述函数f(x)在数集D上无上阶； 3叙述Rolle微分中值定理； 二、计算题 1 求极限lim(x??x?1x) ； x?1?x?t?sintd2y2 求摆线? 0?t?2? ， 在t??处的二阶导数的值； 2dx?y?1?cost3 设f(x2)?ex，求不定积分

?f(x)xdx ；

4 求不定积分e三、讨论题

?x?2arctanex?1dx ；

1?x?0?xsin , 1讨论函数f(x)?? 在x?0点处的左、右导数； x?, x?0?0 2设fn(x)?nx（n?1 、 2 、 ? ） ，讨论fn(x) ，x??e.A? ，(0?e?A???) 221?nx在?e.A?上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明lim3x?11? ；

x??2x?122证明：方程x?3x?c?0，（其中c为常数）在?0,1?上可能有两个不同的实根； 3若数列?xn?收敛于a（有限数），它的任何子列xnk也收敛于a。

（十一） 一年级《数学分析》考试题

??一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：

1 设数列{an}递增且 （有限）. 则有a?sup{an}. ( )

?2 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义. 若对?xn?U(x0),当

xn?x0时, 数列{f(xn)}都收敛于同一极限. 则函数f(x)在点x0连续. ( )

3 设函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义. 若存在实数A,使?x?0时,

f(x0??x)?f(x0)?A?x??(?x), 则f?(x0)存在且f?(x0)?A. ( )

4 若f?(x1)?f?(x2)?0, f??(x1)?0?f??(x2),则有f(x1)?f(x2).( )

5 设

?f(x)dx?F(x)?c, ?g(x)dx?G(x)?c. 则当F(x)?G(x)时,

有f(x)?g(x). ( )

二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题:

6n?11 an??k?119n?k2. liman? .

n??2 函数 f(x)?x?3的全部间断点是 . ln|x?3|f(x0)?f(x0?2h)6?, x0? . h53. f(x)?ln(1?x2), 已知 limh?04. 函数f(x)?x3?3x2?9x?1的既递减又下凸的区间是 . 5.

?f(x)dx?sin2x?c, ?xf?(x)dx? .

二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题:

31 limx?0x?1?1x?1?1.

452 求函数f(x)?4x?(5x?1)的极值 . 3

?x??dxx?12.

4 ln(x?1?x)dx. 5

2x?3dx.

x2?2x?56 在边长为 a的正三角形的三个角上剪去长为x的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .

x2?4三 （ 满分 7 分）验证题: 用“???”定义验证函数 f(x)?在点x0?2连续 .

5x?2四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:

1 设函数f在区间[ 0 , 2a ]上连续 , 且 f( 0 )?f( 2a ). 试证明 :

? c?[ 0 , a ], 使 f( c )?f(c?a).

2 设函数f(x)在区间 I上可导, 且导函数 f?(x)在该区间上有界 .试证明

函数 f(x)在区间 I上一致连续 .

3 设函数f(x)在区间[ 0 , a ]上二阶可导,且 f( a )?0. F(x)?x2f(x). 试证明: ? ??( 0 , a ), 使 F??( ? )?0.

4 试证明: 对 ? x1,x2,?,xn?R, 有不等式

22x1?x2???xnx12?x2???xn ? .

nn

（十二） 一年级《数学分析》考试题

一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：

1. 设

f(x)在[a,b]上连续，M与m分别是f(x)的最大值和最小值，则对

c(m?c?M)，均存在??[a,b]，使得f(?)?c。

于任何数

（ ） 2. 设

f(x),g(t)在(a,b)内可导，且f(x)?g(x)，则

f'(x)?g'(x)。 （ ）

3. 设{xn}的极限存在，{yn}的极限不存在，则{xn在。 （ ） 4. 如

?yn}的极限未必不存

x?x0是函数f(x)的一个极点，则f'(x0)?0。 （ ）

二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分） 三 证明：

Rn 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）

四 计算下列极限：（9分）

sin(xy)lim1

(x,y)?(0,0)x2

(x,y)?(0,0) ；

x2y4lim(x?y)22；

3

(x,y)?(1,0)limlog(x?ex)x2?y2；

五 计算下列偏导数：（10分）

（1）u（2）

?ex(x2?y2?z2)；

z?log(x1?x2?????xn)；

六（10分）计算下列函数 （1）（2）

f 的Jacobian Jf ：

f(x,y,z)?x2ysin(yz)；

2221/2f(x1,x2,???,xn)?(x1?x2?????xn)；

七 （10分）设隐函数

y(x) 由方程

xa(n?0)yy?2xarcxt定义，求 y' 及

y'' 。

八（11分）在椭球

x2y2z2?2?2?12abc内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？

九、（10分）求椭球面

x2y2z2?2?2?12abc过其上的点

p?(x0,y0,z0) 处的切平面的方程。

十、（10分）设函数

f(x,y),g(x,y)是定义在平面开区域G内的两个函数，在

?g(x,y)?0??f?g?f?g????0f(x,y?)?0?x?y?y?xG内均有连续的一阶偏导数，且在G内任意点处，均有

又设有界闭D

（十三）一年级《数学分析》考试题

一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：

1设

?G，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。

f(x)在[a,b]上连续，M与m分别是f(x)的最大值和最小值，则对

?c?M)，均存在??[a,b]，使得f(?)?c。 （ ）

f(x)?g(x)，则

于任何数c(m5. 设

f(x),g(t)在(a,b)内可导，且

f'(x)?g'(x)。 （ ）

6. 设{xn}的极限存在，{yn}的极限不存在，则{xn?yn}的极限未必不存

在。 （ ） 7. 如

x?x0是函数f(x)的一个极点，则f'(x0)?0。 （ ）

8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。 （ ） 9. 对于函数

x?cosx(x?cosx)'?lim(1?sinx)不存在，根据洛必达法，由于limx??x??xx'x?cosx制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。 （ ）

x

二 计算下列极限：（18分）

1lim(nsin) 1 n??n1lim(sinn)； 2

n??n3 lim(n??111??...?)；

n?1n?2n?nsinxlimx4 ； ?x?o5 limx(ln(x?a)?lnx)；

x???x226 limx?0cosx?ex4。

三 计算下列函数的导数：（20分） （1）f(x)?(ex?log3x)arcsinx； （2）f(x)?ln(2x?1)；

x（3）2ysinx?xlny?0,求d2y； dx2?x?t2sint,（4）? 2?y?tcost;（5）设f(x)二次可导，求(f(arctanx))''。 四 计算不定积分（12分）：

20（1）(x?1)(x?2)dx；

??（2）

x?sinx?1?cosxdx；

x2（3）esinxdx；

（4）

dx?(1?ex)2dx。

五 （8分）求函数f(x)?esinx在x?0处的5次Taylor多项式：

六 （8分）用Lagrange中值定理证明：如果函数f(x)在([a,??)可微，并且limf'(x)?0，

x???则limx???f(x)?0。 xx???七 （8分）证明：若函数f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)?A（有限数），则f(x)在

[a,??)上一致连续。

八 （8分）求母线为l的圆锥之最大体积。

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