高三文科数学普通高中毕业班质量检查模拟试卷及答案

第6页 共8页 高考宁德市高中毕业班最新大联考预测

数学（文科）试卷

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题卡卡面的清楚，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回。

参考公式： 锥体的体积公式：

13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S r π=，343V r π=，其中r 为球的半径。

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}(){}2,20A x x

B x x x ==-，则A B = A. {}02x x B. {}0x x C. {}0x x ≤ D. R

2. 为i 虚数单位，则复数()1z i i =-在复平面内对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知命题:1,lg 0P x x ≥≥?，则下列命题正确的是

A. :1,lg 0P x x

??≥

B. :1,lg 0P x x ??≥

C. :1,lg 0P x x ??≥≤

D. :1,lg 0P x x ??≥≤

4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0

第6页 共8页 时，输入的x 的值为

A. 1

B. -2

C. 1或-1

D. 1或-2

5. 函数()

2log 1f x x =-的图像大致是 6. 在平面直角坐标系中有四个点；()()()10,02,01,

3,22A B C D ?? ???、、、，若向ABD ?内随机投掷一质点，则它落在ACB ?内的概率为

A. 12

B. 13

C. 14

D. 16

7. 不等式组220,0,01,x y x y -+≥??≤??≤≤?

表示的平面区域的面积是

A. 34

B. 1

C. 32

D. 2 8. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22

163

x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A. 3 B. 6 C. 3 D. 23

9. 已知αβ、是不重合的平面，m n 、是不重合的直线，则下列命题正确的是

A. 若//,//,m n αα则//m n

B. 若,,m n n α⊥⊥则//m α

C. 若,,m m αβ⊥⊥则//αβ

D. 若//,,m n αβαβ??，则//m n

10. 设函数()()sin 0,02f x x ?ω?ω

???=+ ???的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为

A. ()sin 12f x x π?

?=+ ??? B. ()sin 26f x x π?

?=+ ???

第6页 共8页 C. ()sin 43f x x π??=+ ??? D. ()sin 26f x x π??=- ??? 11. 函数()x f x e ex =-的零点个数为

A. 4

B. 3 C . 2 D. 1 12. 已知函数()22f x x x =-+，对于正实数,a b ，有下列四个不等式：

①()2a b f f ab +??≥ ???

；②()222a b f f ab ??+≤ ???；③12ab f f a b ????≥ ? ? ?+????； ④()12f a f a ??--

≤- ???。其中一定成立的不等式是

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

第II 卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在答题卡的相应位置。

13. 直线30x y -=被圆()2211x y -+=截得的弦长为

14. 某校为了解教师使用多媒体进行教学的情况，随机

抽取20名授课教师，调查了他们上学期使用多媒体进行

教学的次数，结果如茎叶图所示。据此可估计该校上学

期教师使用多媒体进行教学的次数在[)15,25内的概率

为

15. 设ABC ?的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，

且3cos ,sin 45

B b A ==，则边长a = 16. 定义在N *上的函数()f x 表示x 的个位数，例如()()55,288f f '==。数列{}n a 中，122,3a a ==，当1n ≥时，()21n n n a f a a ++=?则2009a =

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程演算步骤。

17. （本小题满分12分）

第6页 共8页 已知向量()cos ,sin ,(cos ,cos)a x x b x ==，函数()21f x a b =?-

（I ） 求函数()f x 的解析式；

（II ） 求函数()f x 的最小正周期和最大值，并写出使函数取最大值时x 的集合。

18. (本小题满分12分)

一个多面体的直观图与三视图如图所示，P G 、分别是AF CB 、中点

（I ） 求此多面体的体积；

（II ） 求证：//PG ACE 平面

19. (本大题满分12分)

已知数列{}n a 的首项为2，点()1,n n a a +在函数2y x =+的图像上

（I ） 求数列{}n a 的通项公式；

（II ） 设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，求12

31

111

n

S S S S +++???+的值。

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20. (本大题满分12分)

为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图，从左到右各小组的小长

方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，

请结合直方图的信息，解答下列问题；

（I ） 样本容量是多少？

（II ） 现用分层抽样的方程在该样本中抽取30个学

生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150

分的学生有几个？

（III ） 已知成绩在120分到150分的学生中，至少有

5个是男生，求成绩在120分到150分的学生

中，男生比女生多的概率。

21. (本大题满分12分)

已知函数()212f x ax Inx =

+ （I ） 若函数()f x 的图像在点()()

1,1f 处的切线与直线50x y +-=平行，求实数a

的值； （II ）

求函数()f x 的单调递增区间。

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22. (本大题满分14分)

已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率12

e =

，直线()():10l y k x k =-≠与椭圆E 交于不同的两点P Q 、 （I ） 求椭圆E 的方程； （II ）

求线段PQ 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围； （III ） 试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP MQ ?为定值?若存在，求出这个

定点M 的坐标；若不存在，请说明

理由。

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2009年宁德市高三质检查

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细 则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．1 14．310

15．5 16．8 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17．本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，满分12分。

解：

（I ）()21f x a b =?-

222(cos ,sin )(cos ,cos )1

2(cos sin cos )1

2cos 12sin cos cos 2sin 2x x x x x x x x x x x x

=?-=+-=-+=+………………………………………2分

即函数()f x 的解析式为()cos 2sin 2f x x x =+ ········································ 4分

（Ⅱ）()cos 2sin 2)4

f x x x x π=+=+ ·········································· 6分 所以函数()f x 最小正周期22

T ππ== ························································ 8分 当22(),42x k k Z πππ+=+∈即()8

x k k Z ππ=+∈时 ()f x

， ·

·············································································· 10分 ∴使函数取最大值的x 的集合为{|,}8

x x k k Z ππ=+∈ ·································· 12分 18．本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考察空间想象能力及推理论证能力，满分12分。

第6页 共8页 解（I ）由三视图知这个多面体是一个水平放置的柱体，它的底面是边长为a 的正三角形，侧棱垂直于底面且长为a ··········································································· 2分

23AED S a ?∴=

····················································································· 3分 33AED V S AB a ?∴=?= ········································································· 5分 （Ⅱ）连结BE

四边形ABFE 是平行四边形，

∴BE 过点P 。

∴P 为BE 的中点，………………………………………8分 又G 是BC 的中点，

//PG EC ∴，

PG ?平面,AEC EC ?平面AEC

//PG ∴平面AEC …………………………………………12分

19．本题主要考等差数列、数列求和等基础知识：考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想，满分12分。

解（I ）点1(,)n n a a +在函数2y x =+的图象上，

12n n a a +∴=+

∴数列{}n a 是以首项为2公差为2的等差数列， ··········································· 2分 22(1)2n a n n ∴=+-= ············································································ 4分

（Ⅱ）(22)(1)2

n n S n n +==+ ·································································· 6分 1111(1)1

n S n n n n ==-++， ······································································ 8分 123111111111(1)()()2231

n S S S S n n ∴++++=-+-++-+…… ·························· 10分 1111

n n n =-=++···················································································· 12分 20．本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识。

满分12分。

解：（I ）设样本容量为n ，则201222055

n =++++，所以120n = 所以样本的容量为120 ·············································································· 3分 （Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有x 个，

则3020120

x =，所以5x = ·········································································· 3分 （Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A ，男生数与女生书记为数对（,x y ），则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，

11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，

3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16对 ··············································· 9分

第6页 共8页 而事件A 包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，

4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对。 所以105()168P A == ················································································· 12分 21．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想。满分12分。

解：（I ）21()ln (0)2

f x ax x x =+> 1

'()'(1)1

f x ax x f a =+=+ ·

······················································································ 2分 依题意得11,2a a +=-=- ········································································ 4分

（Ⅱ）211'()ax f x ax x x

+=+= 0,'()0x f x >∴≥等价于210ax +≥ ·

······················································· 6分 ①当0a ≥时210ax +≥恒成立，

()f x ∴的单调递增区间为(0,)+∞ ·

······························································ 8分 ②当0a <时，由210ax +≥得a a x --≤≤- 0,0a x x a

->∴<≤- ()f x ∴的单调递增区间为(0,]a a

-- ·························································· 11分 综上所述：当0a ≥时()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；

当0a <时，()f x 的单调递增区间为(0,]a a

-- ··········································· 12分 22．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想。满分14分。

解：（I ）设椭圆E 的方程为22

221()x y a b a b

+=> 由已知得：

112

a c c a -=???=?? ······························································································ 2分 21

a c =?∴?=? 2223

b a

c ∴=-=

∴椭圆E 的方程为22

143

x y += ··································································· 4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 中点T 的坐标为

00(,)x y ，则：

第6页 共8页 由22

143(1)x y y k x ?+=???=-?

得22234(1)12x k x +-= 化简得：

2222(34)8(412)0k x k x k +-+-=……5分

直线:(1)(0)l y k x k =-≠过点(1,0)

而点(1,0)在椭圆E 内，0∴?>

221212228412,4343

k k x x x x k k -+==++ ······························································ 6分 2002243,4343

k k x y k k -∴==++ 所以PQ 中垂直'l 的方程为：222143()4343

k k y x k k k =---++ 所以直线'l 在y 轴上的截距213

434k b k k k

==++ ·········································· 8分

3344001212

k k k k b b +≥+≤-∴<≤-≤< ································································ 9分 （Ⅲ）假设存在符号条件的点(,0)M m ，则由（Ⅱ）得：

11221212

(,),(,)()()MP x m y MQ x m y MP MQ x m x m y y =-=-?=-?-+ 2121212()x x m x x m y y =-+++ ···················································· 10分 2212121212(1)(1)[()1]y y k x x k x x x x =--=-++2

2943

k k =-+ ·························· 11分 所以222

222241289434343

k k k MP MQ m m k k k -?=-?+-+++ 2222(485)(312)43

m m k m k --+-=+ ············································· 12分 设MP MQ λ?=

即2222(485)(312)43

m m k m k λ--+-=+ 2222(485)(312)43m m k m k λλ--+-=+

对于任意实数(0)k k ≠，上式恒成立，

所以2248543123m m m λλ

?--=??-=?? ·········································································· 13分 得11813564m λ?=????=-??

所以符合条件的点M存在，其坐标为

11

(,0)

8

················································ 14分

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