2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x?1},则

A.AB?{x|x?0}B.AB?RC.AB?{x|x?1}D.AB??

2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.B.C.D. 3.设有下面四个命题

1p1:若复数z满足?R，则z?R；

zp2:若复数z满足z2?R，则z?R； p3:若复数z1,z2满足z1z2?R，则z1?z2； p4:若复数z?R，则z?R.

14π812π4其中的真命题为

A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，S4?8，则{an}的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8

5．函数f(x)在(??,??)单调递减，且为奇函数．若f(1)??1，则满足?1?f(x?2)?1的x的取值范围是

A．[?2,2] B．[?1,1] C．[0,4] D．[1,3] 6.(1?126展开式中的系数为 x)(1?x)2xA.15B.20C.30D.35

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10B.12C.14D.16

8.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在空白框中，可以分别填入 A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2 C.A?1000和n=n+1 D.A?1000和n=n+2

9.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+

2π)，则下面结正确的是 3π6和两个

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

π12C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

1212π6π1210.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16B．14C．12D．10

11.设xyz为正数，且2x?3y?5z，则

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A.440 B.330 C.220 D.110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

?x?2y?1?14.设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为.

?x?y?0?15.已知双曲线

x2y2C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为

abA，以A为圆心，b为半径做圆

A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为

________。

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。

D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三

角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、

E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的

最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。学科网

（一）必考题：60分。 17.（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长 18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90 (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,?APD?90,求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；学科&网

2

a2的面积为

3sinA（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26

10.12 9.91

9.96

9.96

10.01 9.22

9.92

9.98

10.04 9.95

10.13 10.02 10.04 10.05

11611611622(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，其中xi为抽取经计算得x?16?xi?9.97，s??16i?116i?1i?1的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．

?，用样本标准差s作为σ的估计值??，利用估计用样本平均数x作为μ的估计值???3??,???3??)之外的数据，值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(?用剩下的

数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ)，则P(μ–3σ

3x2y2已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，

2ab3）中恰有三点在椭圆C上. 22

16

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 21.（12分）

已知函数f(x)=ae2x+（a﹣2）ex﹣x.

（1） 讨论f(x)的单调性；

（2） 若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??方程为??x?a?4t,. （t为参数）y?1?t,?x?3cos?,（θ

y?sin?,?为参数），直线l的参数

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A??xx?1?，B??x3x?1?，则（） 2. A．A3. C．A【答案】A

B??xx?0? B??xx?1?

17，求a.

B．AD．AB?R

B??

x【解析】A??xx?1?，B??x3?1???xx?0?

【解析】∴AB??xx?0?，AB??xx?1?，

选A

4. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分

和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

5.

6. A．4

【答案】B

1B．8

πC．2

1D．4

π【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1

则正方形的面积为2?2?4，圆的面积为π?12?π，图中黑色部分的概率为2 则此点取自黑色部分的概率为故选B

7. 设有下面四个命题（） 8.

1p1：若复数z满足?R，则z?R；

zπ2?π48π

9. p2：若复数z满足z2?R，则z?R；

10.p3：若复数z1，z2满足z1z2?R，则z1?z2； 11.p4：若复数z?R，则z?R． 12.A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 【答案】B

【解析】p1:设z?a?bi，则

D．p2，p4

11a?bi??2?R，得到b?0，所以z?R.故P1正确； za?bia?b2【解析】p2:若z2??1，满足z2?R，而z?i，不满足z2?R，故p2不正确；

【解析】p3:若z1?1，z2?2，则z1z2?2，满足z1z2?R，而它们实部不相等，不是共轭复数，

故p3不正确；

【解析】p4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确； 13.记Sn为等差数列?an?的前n项和，若a4?a5?24，S6?48，则?an?的公差为（） 14.A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C

【解析】a4?a5?a1?3d?a1?4d?24 【解析】S6?6a1?6?5d?48 2??2a1?7d?24①【解析】联立求得? 6a?15d?48②??1【解析】①?3?②得?21?15?d?24 【解析】6d?24 【解析】∴d?4 【解析】选

C

15.函数f?x?在???，???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1≤f?x?2?≤1的x的

取值范围是（）

1? 16.A．??2，2? B．??1，C．?0，4? D．?1，3?

【答案】D

【解析】因为f?x?为奇函数，所以f??1???f?1??1， 【解析】于是?1≤f?x?2?≤1等价于f?1?≤f?x?2?≤f??1?| 【解析】又f?x?在???，???单调递减

≤x?2≤1 【解析】??1【解析】?1≤x≤3

故选D

1?6?1?1?x??x2的系数为 17.?展开式中2?x??18.A．15 【答案】C.

B．20 C．30 D．35

1666?1?【解析】?1+2??1?x??1??1?x??2??1?x? x?x?【解析】对?1?x?【解析】对

62?的x2项系数为C66?5?15 2164?1?x??x2项系数为C6=15， 的2x∴x2的系数为15?15?30 故选C

19.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形

组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

20.

21.A．10 B．12 【答案】B

【解析】由三视图可画出立体图

C．14 D．16

【解析】 【解析】该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 【解析】S梯??2?4??2?2?6 【解析】S全梯?6?2?12

故选B

22.右面程序框图是为了求出满足3n?2n?1000的最小偶数n，那么在

空白框中，可以分别填入

和两个23.

24.A．A?1000和n?n?1 B．A?1000和n?n?2 25.C．A≤1000和n?n?1 D．A≤1000和n?n?2 【答案】D

【答案】因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出 【答案】∴“”中不能输入A?1000 【答案】排除A、B

【答案】又要求n为偶数，且n初始值为0，

【答案】“【答案】故选

”中n依次加2可保证其为偶 D

2π??C:y?sin2x?C:y?cosx26.已知曲线1，2??，则下面结论正确的是（） 3??27.A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平

π移6个单位长度，得到曲线C2

28.B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平

移12个单位长度，得到曲线C2 29.C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

移6个单位长度，得到曲线C2

30.D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平

移12个单位长度，得到曲线C2

【答案】D

π1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平2ππ2π??【解析】C1:y?cosx，C2:y?sin?2x??

3??【解析】首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y?cosx用诱导公式处理．

ππ?π???【解析】y?cosx?cos?x????sin?x??．横坐标变换需将??1变成??2，

22?2???π?C1上各点横坐标缩短它原来1π?π????2??y?sin?2x???sin2?x?? 【解析】即y?sin?x??????????2?2?4????2π?π????y?sin?2x???sin2?x??． 【解析】??3?3???ππx?， 平移至43ππππ【解析】根据“左加右减”原则，“x?”到“x?”需加上，即再向左平移．

431212【解析】注意?的系数，在右平移需将??2提到括号外面，这时x?31.已知F为抛物线C：y2?4x的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、

B两点，直线l2与C交于D，E两点，AB?DE的最小值为（） 32.A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】

【解析】

【解析】设AB倾斜角为?．作AK1垂直准线，AK2垂直x轴

??AF?cos??GF?AK（几何关系）1??【解析】易知?AK1?AF（抛物线特性）

??GP?P???P??P???2?2??【解析】∴AF?cos??P?AF【解析】同理AF?

PPBF?，1?cos?1?cos?2P2P?【解析】∴AB? 1?cos2?sin2?【解析】又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为

DE?2P2P??cos2?2?πsin?????2?π??2

【解析】

【解析】而y2?4x，即P?2．

41?4?1?sin2??cos2??212【解析】∴AB?DE?2P?2???42sin2?sin?cos2?sin2?cos2??sin?cos??416π

【解析】?2≥16，当??取等号

sin2?4

【解析】即AB?DE最小值为16，故选A

33.设x，y，z为正数，且2x?3y?5z，则（） 34.A．2x?3y?5z B．5z?2x?3y C．3y?5z?2x 【答案】D

【答案】取对数：xln2?yln3?ln5.

【答案】

xln33??yln22

D．3y?2x?5z

【答案】∴2x?3y 【答案】xln2?zln5

xln55? 【答案】则?zln22【答案】∴2x?5z∴3y?2x?5z，故选

D

35.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的

兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：N?100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） 36.A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A

【解析】设首项为第

1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

n?1?n?【解析】设第n组的项数为n，则n组的项数和为

2【解析】由题，N?100，令

n?1?n?2?100→n≥14且n?N*，即N出现在第

13组之后

n1?2?2n?1 【解析】第n组的和为1?2【解析】n组总共的和为

21?2n1?2???n?2n?2?n

【解析】若要使前N项和为2的整数幂，则N?n?1?n?2项的和2k?1应与?2?n互为相反数

k*n≥14【解析】即2?1?2?nk?N，??

【解析】k?log2?n?3? k?5 【解析】→n?29，29??1?29?2【解析】则N?【解析】故选

?5?440

A

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 37.已知向量a，b的夹角为60?，a22?2，b?1，则a?2b?________．

【解析】a?2b?(a?2b)2?a?2?a?2b?cos60??2b【解析】∴a?2b?12?23 ??21?22?2?2?2??22?4?4?4?12

2?x?2y?1?38.设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为_______．

?x?y?0??x?2y?1?不等式组?2x?y??1表示的平面区域如图所示

?x?y?0?yACB1xx+2y-1=0

2x+y+1=0由z?3x?2y得y?2x?2，

求z的最小值，即求直线y?2x?2的纵截距的最大值 当直线y?2x?2过图中点A时，纵截距最大

3z3z3z由?x?2y?1解得A点坐标为(?1,1)，此时z?3?(?1)?2?1??5

??2x?y??1x2y239.已知双曲线C:a2?b2，（a?0，b?0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，

圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若?MAN?60?，则C的离心率为

_______． 【解析】如图，

OA?a，AN?AM?b

∵?MAN?60?，∴AP?3bAP2∴tan??OP?3a2?b243b，OP?2322OA?PA?a2?b24

又∵tan??a，∴

b3bb2?a3a2?b24，解得a2?3b2

b2123∴e?1?2?1??a33

40.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，

D、E、F为元O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是一BC，CA，AB为底边的

CA，△ECA，AB为折痕折起△DBC，△FAB，等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，

使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______．

【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD?BC

【解析】OG?3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比 6【解析】设OG?x，则BC?23x，DG?5?x

【解析】三棱锥的高h?DG2?OG2?25?10x?x2?x?25?10x【解析】S△ABC?23?3x?

1?33x2 212【解析】则V?S△ABC?h?3x?25?10x=3?25x4?10x5 354534【解析】令f?x??25x?10x，x?(0,)，f??x??100x?50x

2【解析】令f??x??0，即x4?2x3?0，x?2 【解析】则f?x?≤f?2??80 【解析】则V≤3?80?45 【解析】∴体积最大值为415cm3

【解析】

三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 四、 （一）必考题：共60分。

41.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

a2． 3sinA42.（1）求sinBsinC；

43.（2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应

用.

1a2S?【解析】（1）∵△ABC面积S?.且2bcsinA 3sinAa21?bcsinA 【解析】∴3sinA2322【解析】∴a?bcsinA

2322【解析】∵由正弦定理得sinA?sinBsinCsinA，

22由sinA?0得sinBsinC?3.

21（2）由（1）得sinBsinC?3，cosBcosC?6

∵A?B?C?π

∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?1 2又∵A??0，π?

∴A?60?，sinA?13，cosA?2 2aa由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9① 由正弦定理得b?sinA?sinB，c?sinA?sinC

a2∴bc?2?sinBsinC?8②

sinA由①②得b?c?33 ∴a?b?c?3?33，即△ABC周长为3?33 44.（12分）

45.如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD中，且?BAP??CDP?90?．

46.

47.（1）证明：平面PAB?平面PAD；

48.（2）若PA?PD?AB?DC，?APD?90?，求二面角A?PB?C的余弦值． 【解析】（1）证明：∵?BAP??CDP?90? 【解析】∴PA?AB，PD?CD

【解析】又∵AB∥CD，∴PD?AB

【解析】又∵PDPA?P，PD、PA?平面PAD 【解析】∴AB?平面PAD，又AB?平面PAB 【解析】∴平面PAB?平面PAD

【解析】（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE 【解析】∵ABCD

【解析】∴四边形ABCD为平行四边形 【解析】∴OEAB

【解析】由（1）知，AB?平面PAD

【解析】∴OE?平面PAD，又PO、AD?平面PAD 【解析】∴OE?PO，OE?AD 【解析】又∵PA?PD，∴PO?AD 【解析】∴PO、OE、AD两两垂直

【解析】∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz

0，0【解析】设PA?2，∴D?2，0，?【解析】∴PD??2，??2，0?、P?0，0，2?、C??2，2，0?， ?、B?2，2?、PB??2，2，?2?、BC???22，0，0?

【解析】设n??x,y,z?为平面PBC的法向量 【解析】由???2x?2y?2z?0，得??22x?0 n?BC?0??????n?PB?0【解析】令y?1，则z?2，x?0，可得平面PBC的一个法向量n?0,1,2【解析】∵?APD?90?，∴PD?PA

【解析】又知AB?平面PAD，PD?平面PAD 【解析】∴PD?AB，又PAAB?A 【解析】∴PD?平面PAB

【解析】即PD是平面PAB的一个法向量，PD??2,0,?2【解析】∴cosPD,n?PD?nPD?n??223??33??

??

【解析】由图知二面角A?PB?C为钝角，所以它的余弦值为?33 49.（12分）

50.为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生

?2?． 产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N??，51.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在???3?，??3??之外的零件数，求P?X≥1?及X的数学期望；

52.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在???3?，??3??之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

53.（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

54.（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 55. 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 56. 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1161?162?2s?xi?16x2??0.212，?xi?x??57.经计算得x??xi?9.97，其中xi为抽取的第i个???1616i?1i?1?i?1?1616． 零件的尺寸，i?1，2，，?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计58. 用样本平均数x作为?的估计值???3??，???3???之外的数据，用剩值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除??下的数据估计?和?（精确到0.01）．

?2?,则P???3??Z???3???0.9974． 59.附：若随机变量Z服从正态分布N??，60. 0.997416?0.9592，0.008?0.09．

【解析】（1）由题可知尺寸落在???3?，??3??之内的概率为0.9974，落在???3?，??3??之

外的概率为0.0026．

0【解析】P?X?0??C16?1?0.9974?0.997416?0.9592

0【解析】P?X?1??1?P?X?0??1?0.9592?0.0408 0.0026? 【解析】由题可知X~B?16，【解析】?E?X??16?0.0026?0.0416

??3??之外的概率为0.0026， 【解析】（2）（i）尺寸落在???3?，由正态分布知尺寸落在???3?，??3??之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理． （ii）

??3??9.97?3?0.212?9.334 ??3??9.97?3?0.212?10.606

10.606? ???3?，??3????9.334，10.606?，?需对当天的生产过程检查． 9.22??9.334， 因此剔除9.22

剔除数据之后：??229.97?16?9.22?10.02． 1522222222?2?[?9.95?10.02???10.12?10.02???9.96?10.02???9.96?10.02???10.01?10.02???9.92?10.02???9.98?10.02???10.04?10.02???10.26?10.02???9.91?10.02?2222??10.13?10.02???10.02?10.02???10.04?10.02???10.05?10.02???9.95?10.02?]??0.0082115 ???0.008?0.09 61.（12分）

??3?3?x2y2P?1，P1，a?b?0P1，1P0，1????????????1C62.已知椭圆：a2b2，四点1，2，3??，4??中恰有22????三点在椭圆C上．

63.（1）求C的方程；

64.（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的

和为?1，证明：l过定点．

【解析】（1）根据椭圆对称性，必过P3、P4

PP4三点 【解析】又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，?3?P0，1，P?1，???代入椭圆方程得 【解析】将23??2????1?b2?1?【解析】?3，解得a2?4，b2?1

?1?1?2?4b2?ax2【解析】∴椭圆C的方程为：?y2?1．

4【解析】（2）①当斜率不存在时，设l:x?m，A?m，yA?，B?m，?yA? 【解析】kP2A?kP2B?yA?1?yA?1?2????1 mmm【解析】得m?2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 【解析】②当斜率存在时，设l∶y?kx?b?b?1? 【解析】A?x1，y1?，B?x2，y2?

?y?kx?b1?4k2?x2?8kbx?4b2?4?0 【解析】联立?2?，整理得2?x?4y?4?0?8kb【解析】x1?x2?1?4k2【解析】则kP2A?kP2B4b2?4，x1?x2?1?4k2

y?1y2?1x2?kx1?b??x2?x1?kx2?b??x1?1??x1x2x1x2

8kb2?8k?8kb2?8kb1?4k2【解析】? 4b2?41?4k28k?b?1????1，又b?1 【解析】

4?b?1??b?1?【解析】?b??2k?1，此时???64k，存在k使得??0成立．

∴直线l的方程为y?kx?2k?1 当x?2时，y??1

所以l过定点?2，?1?． 65.（12分）

66.已知函数f?x??ae2x??a?2?ex?x． 67.（1）讨论f?x?的单调性；

68.（2）若f?x?有两个零点，求a的取值范围．

2xx【解析】（1）由于f?x??ae??a?2?e?x

2xxxx【解析】故f??x??2ae??a?2?e?1??ae?1??2e?1?

【解析】①当a?0时，aex?1?0，2ex?1?0．从而f??x??0恒成立． 【解析】f?x?在R上单调递减

【解析】②当a?0时，令f??x??0，从而aex?1?0，得x??lna．

单调减 极小单调增 值综上，当a?0时，f(x)在R上单调递减； 当a?0时，f(x)在(??,?lna)上单调递减，在(?lna,??)上单调递增

（2）由（1）知，

当a?0时，f?x?在R上单调减，故f?x?在R上至多一个零点，不满足条件．

当a?0时，fmin?f??lna??1?a?lna． 令g?a??1?a?lna．

令g?a??1?a?lna?a?0?，则g'?a??a2?a?0．从而g?a?在?0，???上单调增，而

g?1??0．故当0?a?1时，g?a??0．当a?1时g?a??0．当a?1时g?a??0

11111若a?1，则fmin?1?a?lna?g?a??0，故f?x??0恒成立，从而f?x?无零点，不满足条件．

若a?1，则fmin?1?a?lna?0，故f?x??0仅有一个实根x??lna?0，不满足条件． 若0?a?1，则fmin?1?1aa2?lna?0，注意到?lna?0．f??1??2??1??0． aeee11?1??ln??lna． 故f?x?在??1，?lna?上有一个实根，而又ln?aa???3?1且

?3??3???1??ln??1??3?ln??3?af?ln(?1)??e???a?e?a??a?2??ln??1????a??a????3??3??3??3????1???3?a?a?2??ln??1????1??ln??1??0． ?a??a??a??a??lna，ln??1??上有一个实根． 故f?x?在??a?????3??又f?x?在???，?lna?上单调减，在??lna，???单调增，故f?x?在R上至多两个实

根．

?lna，ln??1??上均至少有一个实数根，f?x?在R上恰有又f?x?在??1，?lna?及?故a??????3??两个实根．

综上，0?a?1．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

69.[选修4-4：坐标系与参考方程]

?x?3cos?，xOy70.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为?y?sin?，（??为参数），直线l的参数方

?x?a?4t，程为?y?1?t，（t为参数）．

?71.（1）若a??1，求C与l的交点坐标；

72.（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a． 【解析】（1）a??1时，直线l的方程为x?4y?3?0．

x2【解析】曲线C的标准方程是?y2?1，

921??x?4y?3?0x????x?3?2?25【解析】联立方程?x??，解得：或， 2y?024?y?1??y???9?25??2124?【解析】则C与l交点坐标是?3，0?和??，?

?2525?【解析】（2）直线l一般式方程是x?4y?4?a?0． 【解析】设曲线C上点p?3cos?，sin??． 【解析】则P到l距离d?3cos??4sin??4?a17?5sin??????4?a17，其中tan??4．

3【解析】依题意得：dmax?17，解得a??16或a?8

73.[选修4-5：不等式选讲]

74.已知函数f?x???x2?ax?4，g?x??x?1?x?1． 75.（1）当a?1时，求不等式f?x?≥g?x?的解集；

1?，求a的取值范围． 76.（2）若不等式f?x?≥g?x?的解集包含??1，2【解析】（1）当a?1时，f?x???x?x?4，是开口向下，对称轴x?12的二次函数．

?2x，x?1?【解析】g?x??x?1?x?1??2，?1≤x≤1，

??2x，x??1?当x?(1,??)时，令?x2?x?4?2x，解得x?17?1 2g?x?在?1，???上单调递增，f?x?在?1，???上单调递减

∴此时

f?x?≥g?x?解集为???1，17?1??2??． 当x???1，1?时，g?x??2，f?x?≥f??1??2． 当x????，?1?时，g?x?单调递减，f?x?单调递增，且综上所述，

f?x?≥g?x?解集???1，17?1??2??．

（2）依题意得：?x2?ax?4≥2在??1，1?恒成立． 即x2?ax?2≤0在??1，1?恒成立． 则只须??2?1?a?1?2≤0????1?2?a??1??2≤0，解出：?1≤a≤1．

故a取值范围是??1，1?．

g??1??f??1??2．

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