第九章 习题详细解答

曲线积分与曲面积分习题详解

习题9.1

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I

L

xds，其中L是圆x2 y2 1中A

(0,1)到B 之间的一段劣弧；

AB的参数方程为： 解: L

x cos ,y sin (

4

2

y

)，于是

A

I

cos

C

o

B

cos d (1

．

（2）

(x y 1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及B(0,1)所成三角形的边界；

L

解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有

(x y 1)ds

L

(x y 1)ds (x y 1)ds (x y 1)ds，

OA

AB

BO

由于OA:y 0，0 x 1，于是

ds dx，

10

故 (x y 1)ds (x 0 1)dx

OA

3

， 2

而AB:y 1 x,0 x 1，于是

ds ． 故

(x y 1)ds [x (1 x)

AB

01

d0同理可知BO:x 0（0 y 1），s

，则

(x y 1)ds [0 y 1]dy

BO

1

3

． 2

综上所述

(x y 1)ds

L

33

3 ． 22

（3

）

，其中L为圆周x2 y2 x；

解 直接化为定积分．L1的参数方程为

x

且

111

cos ,y sin （0 2 ）, 222

1

ds d ．

2

于是

（4）

2

cos

1

d 2．

22

L

x2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),

D(1,2,3)；

解 如图所示， x2yzds

L

x2yzds

x2yzds

x2yzds．

线段AB的参数方程为 x 0,y 0,z 2t(0 t 1)，则

ds 2dt，

故

AB

xyzds 0 0 2t 2dt 0．

2

1

线段BC的参数方程为x t,y 0,z 2(0 t 1)，则

ds

故

dt,

1

xyzds t2 0 2 dt 0，

2

线段CD的参数方程为x 1,y 2t,z 2 t

(0 t 1)，则

ds ，

所以

（5）

x2yzds 12 2t (2 t) (2t t2)dt

1 1

L

x2yzd s2

B

xyz d2

BC

x ys

2

CD

d s

L

x2ds，L为球面x2 y2 z2 1与平面x y z 0的交线。

解 先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面

x2 y2 z2 1与经过球心的平面x y z 0的交线，如图所示，

因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以z (x y)代入x2 y2 z2 1有x2 xy y2

1

，将其化为参

2

xt， yt，即有 2 t，即 x y

得z ttt，代入x2 y2 z2 1（或x y z 0中） t，从而L的参数方程为

x

tt，z tt(0 t 2 )． t，y则 ds

dt, 2

2

所以 x ds

L

2222 2

costdt cos2tdt ． 3303

2 设一段曲线y lnx(0 a x b)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．

解 依题意曲线的线密度为 x2，故所求质量为M x2ds，其中

L

L:y lnx(0 a x b)．则L的参数方程为

x x

(0 a x b)，

y lnx

ds ，

所以

M

a

3112323 [(1 b) (1 a)]． [(1 x2)]ba

33

3 求八分之一球面x2 y2 z2 1(x 0,y 0,z 0)的边界曲线的重心，设曲线的密度 1。

解 设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面内的弧段分别为L1、L2、L3，曲线的重心坐标为

x,y,z ，则曲线的质量为M

x y z

1

M

L1 L2 L3

ds 3 ds 3

L1

2 3 ．由对称性可得重心坐标 42

L1 L2 L3

xds

1

M

xds

L1

L2

xds xds

L3

444

故所求重心坐标为 ,,

3 3 3

1M2 M

1L1

xds 0 xds

L3

2M

L1

xds

24 ． M3 ．

习题9.2

1 设L为xOy面内一直线y b（b为常数），证明

Q(x,y)dy 0。

L

证明：设L是直线y b上从点(a1,b)到点(a2,b)的一段，其参数方程可视为

y y(x) b，（a1 x a2），

于是

a2

Q(x,y)dy

L

a1

Q(x,b) 0 dx 0。

2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）

L

xydx，其中L为抛物线y2 x上从点A(1, 1)到点B(1,1)的一段弧。

解 将曲线L的方程y2 x视为以y为参数的参数方程x y2，其中参数y从 1变到

1。因此

144

xydx yy(y)dy 2ydy 。 L 1 1

5

1

2

2

（2）

L

(x2 y2)dx (x2 y2)dy，其中L是曲线y 1 x从对应于x 0时的点到

x 2时的点的一段弧；

解

L1的方程为y x(0 x 1)，则有

L2

L1

(x2 y2)dx (x2 y2)dy

1

2x2dx

2． 3

L2的方程为y 2 x(1 x 2)，则

(x2 y2)dx (x2 y2)dy

2

2

[x2 (2 x)2]dx [x2 (2 x)2] ( 1)dx

1

1

2(2 x)2dx

1

2

2． 3

4． 3

所以

（3）解

L

(x2 y2)dx (x2 y2)dy

L

ydx xdy,L是从点A( a,0)沿上半圆周x2 y2 a2到点B(a,0)的一段弧；

y

A( a,0)B(a,0)

利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:x acos ,y asin ，在起点A( a,0)处参数值取 ，在终点B(a,0)处参数值相应取0，故 从 到0．则

L

ydx xdy asin d(acos ) acos d(asin )=a2 cos2 d 0．

00

（4） xy2dy x2ydx，其中L沿右半圆x2 y2 a2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0)

L

到终点B(0, a)的路径；

解 利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:x acos ,y asin ，在起点A(0,a)处参数值取

，在终点B(0, a)处参数值相应取 ，则 22

2

2

L

xydy xydx 2acos (asin )2d(asin ) (acos )2asin d(acos )

2

2

2a （5）

4

sin2 cos2 d

4

a4。

2

L

x3dx 3zy2dy x2ydz，其中L为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB；

解 直线AB的方程为

xyz

321

化成参数方程得

x 3t，y 2t，z t，t从1变到0。

所以

L

xdx 3zydy xydz [(3t)2 3 3t(2t)2 2 (3t)2 2t]dt

1

322

87

1

t3dt

87

。 4

x2 y2 1 ,

（6）I 且从z轴 L(z y)dx (x z)dy (x y)dz，L为椭圆周 x y z 2 ,

正方向看去，L取顺时针方向。

解 L的参数方程为

x cost，y sint，z 2 cost sint，t从2 变到0，

I

(z y)dx (x z)dy (x y)dz

L

(3cos2t sin2t 2sint 2cost)dt 2 。

2

3 设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)沿直线移到

(x2,y2,z2)时重力所作的功。

解 因为力

F (0,0,mg)

所以

z2

W mgdz mg(z2 z1)。

z1

习题9.3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

x acos3t ,

(0 t 2 )； (1) 星形线 ） 3

y asint ,

11

xdy ydx 4 2[acos3t 3asin2tcost asin3t3acos2t( sint)]dt 解 A 02L2

6a

2

20

[costsint sintcost]dt 6a

2

4242

20

32

costsintdt2 a2。

8

(2) 圆x y 2by，（b 0）；

解 设圆的参数方程为x bcost,y b bsint ,t从0变到2 .那么

2

112

xdy ydx [bcost bcost (b bsint)b( sint)]dt L022122

nd)t b2。 b (1 sit

02

A

（3）双纽线(x y) a(x y)，（b 0）。 解 把双纽线的参数方程代入到公式A 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)

2

22

2

2

2

12

xdy ydxa即可求得所要求的面积。 L2

L

(y x)dx (3x y)dy，其中L是圆(x 1)2 (y 4)2 9，方向是逆时针

方向；

解 设闭曲线L所围成闭区域为D，这里

P y x，Q 3x y，

由格林公式，得

Q P

3， 1， x y

(y x)dx (3x y)dy (3 1)dxdy

L

D

2(2)

dxdy 18 。

D

L

ydx x)dy，其中L是依次连接A( 1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线

Q P

1 1 2，且线段CA:y 0， x y

段，方向是顺时针方向。

解 令P(x,y)

y，Q(x,y)x，则

x由1变化到-1，故有

L

ydx x)dy

ydx x)dy ydx x)dy

( 2)dxdy 0 dx 2 dxdy 2．

D

1

D

1

其中D为ABCA所围成的闭区域． (3)

L

(exsiny my)dx (excosy m)dy，其中m为常数，L为圆x2 y2 2ax

上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向弧；

解 如右图所示，设从点O到点A的有向直线段的方程为 OA:y 0，x从0变到2a。

则OA与曲线L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为D，令

y

P exsiny my，Q excosy m，

Q P

excosy， excosy m， x y

由格林公式，得

A(2a,0)

L OA

(exsiny my)dx (excosy m)dy mdxdy

D

m而

12

m a。 dxdy 2D

故

OA

(esiny my)dx (ecosy m)dy [(exsin0 m 0) (excos0 m) 0]dx

xx

2a

0，

(e

L

x

siny my)dx (excosy m)dy

L OA

(exsiny my)dx (excosy m)dy

OA

(exsiny my)dx (excosy m)dy

11

m a2 0 m a2。 22

(4)

xdy ydx22

Lx2 y2，其中L为椭圆4x y 1，取逆时针方向；

yx P Qy2 x2

Q(x,y) 2 解 令P(x,y) 2，，则当(x,y) (0,0) ，

x y2x y2 y x(x2 y2)2

但积分曲线L所围区域包含点(0,0)，P(x,y),Q(x,y)在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点(0,0)去掉，为此作半径足够小的圆C:x y ，使C位于L的内部，如图右所示．C的参数方程为

x cos ，y sin ， [0,2 ]，

C取逆时针方向．于是

xdy ydxxdy ydx

Lx2 y2 L C x2 y2

2

2

2

C

xdy ydx

，

x2 y2

其中C 表示C的负方向．由格林公式则有

xdy ydx

0 dxdy 0， L C x2 y2 D其中D为L与C所围成的闭区域．故

xdy ydxxdy ydxxdy ydx

Lx2 y2 Cx2 y2 Cx2 y2

d 2 ．

02

2

cos d( sin ) sin d( cos )

2222

cos sin

(5)

u u2222

Lds，其中，为圆周是u(x,y) x yx y 6x L n n

u u ,x) ucos(n ,y) 2xcos 2ycos ， cos(n其中 , 是在曲线L上点

n x y

u沿L的外法线方向导数。

解 由于

(x,y)处的切线的方向角，故

u

ds (2xcos 2ycos )ds．根据两类曲线积分之间的L n

联系及格林公式，有

u

4dxdy． L( 2y)dx 2xdy L n L( 2ycos 2xcos )ds D因为L为圆周x2 y2 6x，所以L所围成的圆的面积 9 ，因此

3 证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值: (1)

u

4dxdy 4 36 。 L n

D

(2,1)

(0,0)

(2x y)dx (x 2y)dy；

Q P

在整个 1 x y

解 令P 2x y，Q x 2y，则

(2,1)

因此，曲线积分 xOy面内恒成立，

(0,0)

(2x y)dx (x 2y)dy

在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

(2,1)

(0,0)

(2x y)dx (x 2y)dy

AB

OA

(2x y)dx (x 2y)dy (2x y)dx (x 2y)dy

10

[(2x 0) (x 2 0) 0]dx [(2 2 y) 0 (2 2y)]dy

2

4 1 5。

(2)

(x,y)

(0,0)

(2xcosy y2sinx)dx (2ycosx x2siny)dy；

解 令P 2xcosy y2sinx，Q 2ycosx x2siny，

则

Q P

2(ysinx xsiny) 在整个xOy面内恒成立，因

x y

此，

(x,y)

(0,0)

(2xcosy y2sinx)dx (2ycosx x2siny)dy在整

个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

(x,y)

(0,0)

(2xcosy y2sinx)dx (2ycosx x2siny)dy

(2xcosy y2sinx)dx (2ycosx x2siny)dy

OA

(2xcosy y2sinx)dx (2ycosx x2siny)dy

AB

[(2xcos0 02sinx) (2 0 cosx x2sin0) 0]dx

x

[(2xcosy y2sinx) 0 (2ycosx x2siny)]dy

y

2xdx (2ycosx x2siny)dy

xy

x2 (y2cosx x2cosy x2) x2cosy y2cosx。

（3）

(1,2)

(2,1)

(x)dx (y)dy，其中 (x)和 (y)为连续函数。

Q P

0 在整个xOy面内恒成立，因此，曲线

x y

解 令P (x)，Q (y)，则

(1,2)

积分

(2,1)

(x)dx (y)dy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图

所示的积分路径，则有

(1,2)

(2,1)

(x)dx (y)dy

BC

AB

(x)dx (y)dy (x)dx (y)dy

2

(x)dx (y)dy。

2

1

1

4 验证下列P(x,y)dx Q(x,y)dy在整个xOy面内为某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个u(x,y)：

（1）(2x siny)dx xcosydy； 解 令P 2x siny，Q xcosy

Q P

cosy， cosy x y

∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取

(x0,y0) (0,0)，

u(x,y)

(x,y)

(0,0)2

Pdx Qdy= 2xdx xcosydy=x2 xsiny

2

2

2

xy

（2）(x 2xy y)dx (x 2xy y)dy；

解 因为P x 2xy y，Q x 2xy y，所以

2

2

2

2

Q P

2x 2y 在整个

x y

：在整个xOy面内，(x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2)dy是某xOy面内恒成立，因此，一函数u(x,y)的全微分，即有

(x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2)dy du。

于是就有

u

x2 2xy y2 （4） x

u

x2 2xy y2 （5） y

由（4）式得

22

u(x,y) (x 2xy y)dx

13

x x2y xy2 (y) （6） 3

将（6）式代入（5）式，得

x2 2xy (y) x2 2xy y2 （7） 比较（7）式两边，得

(y) y2

13

y C （其中C是任意常数） 3

131

x x2y xy2 y3 C。 33

于是 (y)

代入（6）式便得所求的函数为

u(x,y)

（3）ex(1 siny)dx (ex 2siny)cosydy。

解 令P(x,y) ex(1 siny)，Q(x,y) (ex 2siny)cosy，则在全平面上有 Q P

excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， x y

ex(1 siny)dx (ex 2siny)cosydy

是全微分．

下面用三种方法来求原函数：

解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点O(0,0)，动点A(x,0)与M(x,y)，于是原函数为

u(x,y)

(x,y)(0,0)

y

M(x,y)

ex(1 siny)dx (ex 2siny)cosydy．

o

A(x,0)取路径: OA AM，得

u(x,y) ex(1 0)dx (ex 2siny)cosydy ex 1 exsiny sin2y．

xy

解法2 从定义出发，设原函数为u(x,y)，则有分（y此时看作参数），得

u

P(x,y) ex(1 siny)，两边对x积 x

u(x,y) ex(1 siny) g(y) （*）

待定函数g(y)作为对x积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又

excosy g (y) (ex 2siny)cosy，

u

Q(x,y)，于是 y

即 g (y) 2sinycosy，从而 g(y) sin2y C（C为任意常数），代入（*）式，得原函数u(x,y) ex exsiny sin2y C．

5 可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分

与路径无关？

L

f(x,y)(ydx xdy)

解 令P yf(x,y)，Q xf(x,y)，则

Q P

f(x,y) xfx(x,y)。 f(x,y) yfy(x,y)， x y

当

P Q

，即f(x,y) yfy(x,y) f(x,y) xfx(x,y)或yfy(x,y) xfx(x,y)在整个 x y

L

xOy面内恒成立时，曲线积分 f(x,y)(ydx xdy)在整个xOy面内与路径无关。

习题9.4

1 当 为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分

f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?

答 当 为xOy面内的一个闭区域D时， 在xOy面上的投影就是D，于是有 2 计算曲面积分（1

）锥面z 解

锥面z

f(x,y,z)dS f(x,y,0)dxdy。

D

22(x y)dS，其中 是

及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面；

与平面z 1的交线为x2 y2 1，即锥面在xOy面上的投影区

2

2

域为圆域Dxy (x,y)x y 1。而

z z，，

x y

， 因此

222222

x y)dxdy 1 (x y)dxdy (x

y)dS

DxyDxy

1)

Dxy

222

(x

y)dxdy 1)d r rdr

2 1

1

1) 。 2

z y

（2）yOz面上的直线段 (0 z 1)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。

x 0

解

旋转曲面为z z 1)，故

dS ， 所以

(x

2

y2)dS x2 y2)dxdy，

Dxy

其中Dxy (x,y)|x2 y2 1是 在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，

于是

(x2 y2)dS d r2 rdr

2

1

。

3 计算下列曲面积分: (1)

22

，其中是抛物面在面上方的部分：xOyz 2 (x y),z 0； dS

解 抛物面z 2 (x2 y2)在xOy面上方的部分在xOy面上的投影Dxy为圆域x2 y2 2,

z z

2x, 2y,故

x y

dS

Dxy

2π0

xdy

xdy

Dxy

d (2)

dr

13π

. 3

2222

，其中是上半球面,z 0； x y z a(x y z)dS

解

上半球面z

xOy面上的投影Dxy为圆域x2 y2

a2,

z z ,

y x

dS

xdy 故

(x y z)dS

x y

Dxy

2π

xdy

d

rcos rsin 0

a

dr.

a

2π

2 d

r dr

a

a

a (cos sin )d

2π

20

r a d rdr

2πa

0 πa3 πa3.

（3） (x

3yzxyz

)dS，其中 为平面 1在第一卦限的部分； 22234

解 将曲面的方程改写为 :z 4(1 z4 z

2, ，从而

y3 x

xy

)，则 23

dS ，

图9－12

3

在xOy上的投影区域为Dxy {(x,y)|0 x 2,0 y 3 x},故

2

I (x

3yz3xy )dS [x y 2(1

22223Dxy

3 3x25dx(2 y)dy 0 06

（4）

1222

，其中是柱面被平面z 0﹑z H所截得的部分. dSx y R 22 x y

解 将曲面 分成丙个曲面

: 1:x

和 2:x ， 1﹑ 2在yOz

面上的投影区域都为Dyz {(y,z) R y R,0 z H},先算

1

dS.由于

22 x y 1

x

y

,

x

0， z

从而

dS

，

HπH111R . dS dz222

0Rx yRR 1Dyz

同理可求得

πH1

. dS22 Rx y 2

所以

2πH111

. dS dS dS222222 Rx yx yx y 1 2

12

(x y2)（0 z 1）的质量，此壳的密度为 z。 2122

解 在抛物面壳z (x y)（0 z 1）上取一小块微小曲面dS,其质量dm zdS

2

4 求抛物面壳z

整个抛物面壳的质量为m zdS. 在xOy面上的投影Dxy为圆域

x2 y2 2,

z z

x, y,故

x y

m

12

zdS (x y2xdy

2 Dxy

12π2π3

d dr 1). 2 015

习题9.5

1当 为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分

R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系?

答 当 为xOy面内的一个闭区域时, 的方程为z 0。若 在xOy面上的投影区域 为Dxy，那么

R(x,y,z)dxdy R(x,y,0)dxdy，

Dxy

当 取上侧时，上式右端取正号; 当 取下侧时，上式右端取负号。

2 计算下列对坐标的曲面积分:

(1) (x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy，其中 是以坐标原点为中心，边长为2的

立方体整个表面的外侧；

解 把 分成下面六个部分:

1:z 1 ( 1 x 1, 1 y 1)的上侧； 1 ( x 2:z

1,0 1y 的下侧； 1)

3:x 1 ( 1 y 1, 1 z 1)的前侧； 1( 1 y 4:x

1, 1z 的后侧； 1)

1)的右侧；

x 1, 1z 5:y 1( 1

6:y 1( 1 x 1, 1 z 1)的左侧.

因为除 3﹑ 4处,其余四片曲面在yOz面上的投影都为零,故有

(x y)dydz (x y)dydz (x y)dydz

3 4

(1+y)dydz (-1+y)dydz

Dyz

Dyz

4 ( 4) 8；

同理可得

(y z)dzdx 8； (z x)dxdy 8.

于是所求的曲面积分为

(x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy 24.

1

（2） (z2 x)dydz zdxdy，其中 为旋转抛物面z (x2 y2)介于z 0,z 2之间部

2 分的下侧。

解 由两类曲面积分之间的联系，可得

222

(z x)dydz (z x)cos dS (z x)

cos

dxdy， cos

在曲面 上，有

cos

。

故

22(z x)dydz zdxdy [(z x)( x) z]dxdy。

再依对坐标的曲面积分的计算方法，得

1212 222 2

x y x ( x) x y(z x)dydz zdxdy dxdy。 4 2 Dxy

注意到

1222

xx ydxdy 0， 4Dxy

故

2π2 12 212222 2

d cos d 8π。 x x ydxdy(z x)dydz zdxdy 0 0 22 Dxy

（3）

xdydz ydxdz zdxdy，其中 为x

2

y2 z2 a2，z 0的上侧；

222

解 在yOz面上的投影为半圆域y2 z2 a2，z 0，x a y z

xdydz

= D

yz

( )

Dyz

a2322222

2d a rrdr a =a y zdydz 0 0 Dyz

3

2323

由对称性 ydxdz= a， zdxdy= a

33

233

∴ 原式= a 3=2 a

3

=2

（4）

xydydz yzdxdz zxdxdy，其中 是由平面x 0，y 0，z 0，

x y z 1所围成的四面体的表面的外侧。

解 如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 1取下侧， 2取后侧， 3取左侧， 4取上侧。于是

xydydz yzdxdz zxdxdy

xydydz yzdxdz zxdxdy

1

xydydz yzdxdz zxdxdy

2

xydydz yzdxdz zxdxdy

3

xydydz yzdxdz zxdxdy

4

0 dxdy 0 dydz 0 dzdx

Dxy

Dyz

Dzx

x(1 x y)dxdy y(1 z y)dydz z(1 x z)dzdx

Dxy

Dyz

Dzx

由于Dxy，Dyz和Dzx都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故

xydydz yzdxdz zxdxdy 3 x(1 x y)dxdy 3 0xdx 0(1 x y)dy 。

Dxy

11 x

1

8

3 把对坐标的曲面积分

P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

化成对面积的曲面积分，这里

为平面3x 2y 6在第一卦限的部分的上侧。 解 平面

的上侧的法向量为n ，其方向余弦是

32cos ,cos ,cos

55于是

P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

[P(x,y,z)cos Q(x,y,z)cos R(x,y,z)cos ]dS

32 [P(x,y,z) Q(x,y,z) (x,y,z)]dS

55

习题9.6

1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1）

其中 为柱面x (x y)dxdy x(y z)dydz，

2

y2 1及平面z 0及z 3所

围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170 例1）

解 这里P x(y z)，Q 0，R x y，由高斯公式得 P Q R ( )dxdydz (x y)dxdy x(y z)dydz x y z

2 139

(y z)dxdydz d rdr (rsin z)dz 。

0002

（2）

z ，其中为曲面及平面(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy

z 0﹑z h(h 0)所围成的空间区域的整个边界的外侧。

解 这里P y z，Q z x，R x y，用高斯公式来计

算，得

(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy

Pdydz Qdzdx Rdxdy

(

P Q R )dv (0 0 0)dv 0， x y z

其中

是曲面zz h(h 0)所围成的空间闭区域．

（3）

222222

，其中为锥面介于平面x y z(xcos ycos zcos )dS

z 0﹑z h(h 0)之间的部分的下侧，cos ﹑cos ﹑cos 是 在点(x,y,z)处的法

向量的方向余弦。

解 这里P x2，Q y2，R z2，由高斯公式得

222

(xcos ycos zcos )dS (

P Q R

)dxdydz x y z

2 (x y z)dxdydz 2 d rdr (rcos rsin z)dz h3。

2 hh

2 利用高斯公式计算三重积分

(xy yz zx)dxdydz，

其中 是由x 0，y 0，0 z 1及x2 y2 1所确定的空间闭区域。

解 如下图所示， 的边界由闭曲面

1 2 3 4 5

所围成，取 的外侧。令P Q R xyz,那么由高斯公式得

(xy yz zx)dxdydz

xyzdydz xyzdzdx xyzdxdy。

xyzdydz xyzdydz xyzdydz xyzdydz xyzdydz xyzdydz

1

2

3

4

5

在yOz面上，只有 3和 5的投影面积不为零，其它都为零。故 而

xyzdydz xyzdydz xyzdydz 0，

1

2

4

xyzdydz 0 yzdydz 0，

3

Dyz

xyzdydz

5

Dyz

yzdydz

1

11

y zdz ，

06

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