2013中考数学分类汇总专项训练 - 探究、动态类题目

广西贵港市2013年中考数学试卷

21．（7分）（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=

与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．

（1）求n关于m的函数关系式；

（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标．

25．（10分）（2013?贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作

，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E

作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF． （1）求证：EF是

所在⊙D的切线；

（2）当MA=时，求MF的长；

（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

2013年桂林市初中毕业升学考试试卷

26．（本题满分12分）已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(?2,0)，(2,0). （1）直接写出抛物线解析式；

（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴

的交点为A、B，与原抛物线的交点为P

①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；

②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.

y P DyDEOACBPxOABx第26题图 第26题备用图 广西贺州市2013年中考数学试卷 26．（12分）（2013?贺州）直线y=x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？

广西柳州市2013年中考数学试卷

26．（12分）（2013?柳州）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；

（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

2

广西南宁市中考2013年数学试卷

26．（10分）（2013?南宁）如图，抛物线y=ax+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，

的值；

2

的值都等于同一个常数．

广西钦州市2013年中考数学试卷

26．（12分）（2013?钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA． （1）求点A的坐标和∠AOB的度数；

（2）若将抛物线y=x+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x+2x上，请说明理由；

（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

2

广西玉林市防城港市2013年中考数学试卷

26．（12分）（2013?玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）． （1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2

2013年江西省南昌市中考数学试卷

24．（12分）（2013?江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可） ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程； （3）类比探究：

（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： 等腰直角三角形 ．

（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

25．（12分）（2013?江西）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x

2

﹣a1）+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推． （1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；

2

（2）抛物线y3的顶点坐标为（ 9 ， 9 ）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ n ， 2

n ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 y=x ； （3）探究下列结论：

①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An； ②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

2

内蒙古包头市2013年中考数学试题

25.（本小题满分12分） 如图， 在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F. （1） 如图①，当

SCE1?时，求?CEF的值；

S?CDFEB3（2） 如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=2OA；

（3） 如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=

D A

O

F

CBE

图①

26.（本小题满分12分） 已知抛物线y?x21BG. 2DADAOFECOFEGCBB图②

25题图

图③

?3x?7的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B4的左侧），与y轴相交于点C.

（1） 求点A、B、C、D的坐标；

（2） 在y轴的正半轴上是否存在点P，使以P、O、A为顶点的三角形与⊿AOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 取点E（?33，0）和点F（0，?），直线L经过E、F两点，点G是线段BD的24中点.

① 点G是否在直线L上，请说明理由；

② 在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线L的对称点在x轴上？若存在，求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

4y

3

2

1

x

–4–3–2–1O1234 –1

–2

–3

–4

26题图

内蒙古呼和浩特市2013年中考数学试卷

25．（12分）（2013?呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为 （，0） ；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

安徽 18．（8分）（2013?安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…

（1）观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 1 图1 2 图2 3 图3 4 图4 … … 特征点的个数 7 12 17 22 … 猜想：在图（n）中，特征点的个数为 5n+2 （用n表示）； （2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1= ；图（2013）的对称中心的横坐标为 4025 ．

北京

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为

的正方形ABCD各边上分别

截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。

小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无

缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积。

中国教育&#^@出版网

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若

25．对于平面直角坐标系O

中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，

，则AD的长为__________。

B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。 已知点D（

，

），E（0，-2），F（

，0）

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________； ②过点F作直线交

轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（

的取值范围；

，）

是⊙O的关联点，求

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。

黑龙江一

17．（3分）（2013?大庆）已知

…

依据上述规律 计算

的结果为

（写成一个分数的形式）

26．（8分）（2013?大庆）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）． （1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；

2

（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax+3x+=0有实数根的概率．

27．（9分）（2013?大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB

2

是方程4x﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．

28．（9分）（2013?大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．

（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值； （2）设

=t，试用t表示EF的长；

=4S1S3．

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，

黑龙江二

9.如图所示：边长分别为1和2的两个正方形,其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么s与t的大致图象应为

ssss

oootott AtDCB

17.定义一种新的运算a﹠b=a,如2﹠3=2=8,那么请试求（3﹠2）﹠2 = .

20. 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°???按此规律所作的第n个菱形的边长是.

b3

26.（本题满分8分）

已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线，AC=DC,DB⊥MN于点B，如图（1）易证BD+AB=2CB， 过程如下：过点C做CE⊥CB于点C与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°∠ACB+∠ACE=90°∴∠BCD=∠ACE ∵ 四边形ACDB内角和为360°∴∠BDC+∠CAB=180° ∵∠EAC+∠CAB=180°∴∠EAC=∠BDC

又∵AC=DC ∴△ACE≌△DCB ∴AE=DB CE=CB ∴△ECB为等腰直角三角形 ∴BE=2CB 又∵BE=AE+AB ∴BE=BD+AB ∴ BD+AB=2CB

(1) 当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，

请写出你的猜想，并对图（2）给予证明.

21世纪教育网(2) MN在绕点A旋转过程中当∠BCD=30°，BD=2时，则CD= , CB=.

MEAMMABABCC图（1）DN图（2）BNDNC图（3）D

28.(本题满分10分)

如图，平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=

3 ， 3(1) 求B、C两点的坐标；

(2) 把矩形沿直线DE对折使点C

落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

若点M在直线DE上，平面内是否存在点N,使以O、F、M、N为顶点的

四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

27．(本题l0分)

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长；

(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：

(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于

点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF=

3QG? 3

28．(本题l0分)

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC

和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．

(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；

(2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

1223

黑龙江四

10．（3分）（2013?黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为

（） ．

n

22．（6分）（2013?黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）

26．（8分）（2013?黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

27．（10分）（2013?黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元． （1）请问有几种开发建设方案？

（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？

（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．

黑龙江五

9．（3分）（2013?牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（ ）

A．B． C． D． b3 17．（3分）（2013?牡丹江）定义一种新的运算a﹠b=a，如2﹠3=2=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= 81 ． 20．（3分）（2013?牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 （

）

n﹣1

．

26．（8分）（2013?牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明． （2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ．

黑龙江六

18．（3分）（2013?齐齐哈尔）请运用你喜欢的方法求tan75°= 2+ ． 20．（3分）（2013?齐齐哈尔）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构． 若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是 k=6） （写出n的取值范围）

（n=3，4，6）或k=2+

（n=3，4，

22．（6分）（2013?齐齐哈尔）如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）． （1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1

（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）

26．（8分）（2013?齐齐哈尔）已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE

（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．

（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明） 28．（10分）（2013?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B

2

两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

吉林省长春市

22．（9分）（2013?长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．

应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为 152 ．

23．（10分）（2013?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）求点C在这条抛物线上时m的值．

（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN． ①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．

②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．

2

24．（12分）（2013?长春）如图①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．

（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．

（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．

（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

吉林二

25．（10分）（2013?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）

（1）当点P运动到点F时，CQ= 5 cm； （2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度； （3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．

2

26．（10分）（2013?吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x于点A、B，交抛物线C2：y=x于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD． 【猜想与证明】 填表： m 1 2 2

2

2

3 =

．请证明你的猜想．

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有【探究与应用】

（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为 ；

（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差； 【联想与拓展】

如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为

．

河北

9．如图2，淇淇和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y = A．2 B．3 C．6 D．x+3 26．（本小题满分14分）

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．

探究如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝4，tan37°＝4)

拓展在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

[温馨提示：下页还有题！] 延伸在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

3

3

河南一

22.（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其

中∠C=90°， ∠B=∠E=30°. （1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上

时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.

（2）猜想论证

A(D)

图1

C

A 图2

C D E B(E)

B 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC 中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

A C N M D B

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.

若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE， 请直接写出相应的BF的长. ．．．．

B E C 图4 222.（14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y?ax?bx(a?0) （1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a=__________；

当顶点坐标为（m，m），m?0时，a与m之间的关系式是____________________ （2）继续探究，如果b?0，且过原点的抛物线顶点在直线y?kx(k?0)上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，?，An在直线y?x上，横坐标依次

为1，2，?，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，?，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长。

D A

22．(本题满分12分)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=3+1，AD=3．

（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D￠处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为_______________；

CED ,BⅱC交E向左翻折，压平后得四边形Bⅱ（2）如图③，再将四边形BCED￠沿D￠AE于点F，则四边形BⅱFED的面积为_______________；

（3）如图④，将图②中的DAED￠绕点E顺时针旋转a角，得DAⅱED ，使得EA￠恰好经过顶点B，求弧D?D??的长.（结果保留?）

图①图②图③图④ （第22题图）

25．(本题满分14分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，

BD=60．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和D?A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）求菱形ABCD的周长；

（2）记DDMN的面积为S, 求S关于t的解析式，并求S的最大值；

（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

25．（14分）（2013?莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E． （1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若AC≠BC． ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它

（第25题图） 条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

21．（10分）（2013?三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP； （2）求证：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 58 度．

25．（2013年佛山市）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，

黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识． 已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a． (1) 把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明 (见题答卡表格里的示例)；

要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个． (2) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．

要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长． 解：在表格中作答

分割图形 示例 分割或图形说明 D CA 第25题图

B D C 示例①分割成两个菱形。 ②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。 A 第25题图 D B C A 第25题图 D B C A 第25题图 B 24.（本小题满分14分）

（2013年广州市）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA. (1)当OC=22时（如图12），求证：CD是⊙O的切线；

（2）当OC＞22时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.

①当D为CE中点时，求△ACE的周长;

②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

16. （2013 深圳）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；????按这样的规律下去，第6幅图中有___________个正方形。

23.（2013 深圳）如图7-1，直线AB过点A（，0），B（0，），且>0，>0）。

（1）为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？ （2）如图7-2，在（1）的条件下，函数若

，求的值。

（其中

的图像与直线AB相交于C、D两点，

（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿轴的正方向平移，如图7-3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间（秒）的函数关系式（0<<10）。

25.（2013广东省）有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,

∠FDE=90°,DF=4,DE=

.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F

重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.

(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M, 则∠EMC=______度； (2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;

(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应的取值范围.

16、（2013 湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴 上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,?,，顶点依次用

A1、A2、A3、A4、?表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、 A4A5与A7A8、?均相距一个单位，则顶点A3的坐标是， A92的坐标是．

24、（2013 湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：

13，则sin230??cos230??；① sin30??,cos30??22sin45??22，则sin245??cos245??；② ,cos45??2222，则sin260??cos260??．③ ,cos60??22sin60????

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A?cos2A? 1 ．④ （１）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理 对?A证明你的猜想； （２）已知：?A为锐角?cosA?0?且sinA?3，求cosA． 510．（4分）（2013?珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 _________ ．

26．（10分）（2013?宁夏）在?ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE≌△CPB时，?ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

9．（3分）（2013?贵阳）如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从A点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B点，然后再以相同的速度沿着直径回到A点停止，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D． 22224．（12分）（2013?贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a+b=c

222222

时，△ABC是直角三角形；当a+b≠c时，利用代数式a+b和c的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．

222222

（2）猜想，当a+b ＞ c时，△ABC为锐角三角形；当a+b ＜ c时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

25．（12分）（2013?贵阳）如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x

轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移． （1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标 （，3） ；

（2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标； （3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

24．（10分）（2013?六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ． （2）实践运用

如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，

的度数为60°，点B是

的中点，在直径CD上

．

作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为

（3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 25．（16分）（2013?六盘水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式． （2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．

（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）（2011?珠海）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=

2

（1+）．善于思考的小明进行了以下探索：

222

设a+b=（m+n）（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m+2n+2mn．

22

∴a=m+2n，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b

2

2

=，用含m、n的式子分别表

示a、b，得：a= m+3n ，b= 2mn ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2

2）； （3）若a+4

=

，且a、m、n均为正整数，求a的值？

=（ 1 + 1

26．（12分）（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

24.（本小题满分9分）如图1，点

为线段

将线段

分成两部分，如果

，那么称点

的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄

的图形分成两部

金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为分，这两部分的面积分别为线.

（1）如图2，在△

请问点是否是

、

，如果

，那么称直线为该图形的黄金分割

中，°，，的平分线交边上的黄金分割点，并证明你的结论；

是不是△

于点，

（2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线割线，并证明你的结论； （3）如图4，在直角梯形延长、不是直角梯形

中，

的黄金分

，对角线、交于点，是

交于点，连接交梯形上、下底于、

的黄金分割线，并证明你的结论.

两点，请问直线

A

C B

C F H

D B A

· · · A A D B D C E C B 图1 图2 图3 图4 24．（10分）（2013?天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：

如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由． （2）探究与计算：

已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值． （3）归纳与拓展：

已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．

24．（9分）（2013?达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．

根据 SAS ，易证△AFG≌ △AEF ，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D=180° 时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 四川绵阳 25．（本题满分14分）

我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究

； ，试判断O是

S四边形BCGH

S△AGH的最大值。

10. （2013四川南充，9，3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；

；③直线NH的解析式为y=－

中正确的结论个数为

t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其

（ ） C. 2 C

D. 1

A. 4 B. 3

24．（12分）（2013?攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

．动点P在线段AB

上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为 （﹣4，0） ，直线l的解析式为 y=x+4 ；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

23．（本小题满分11分）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N.

（1）如图8-1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（4分）

（2）如图8-2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）：

① 判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由. （4分）

② 连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a、t之间的关系；若不能，请说明理由.（3分）

图8-1

图8-2

图9

七、解答题（本题满分12分）

?A1??A?30°． 23．将两块全等的三角板如图①摆放，其中?ACB11??ACB?90°，

（1）将图①中的?A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是AC与AB的交点，点Q是1A1B1与BC的交点，求证：CP1?CQ；

（2）在图②中，若AP1?2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、PE，设BC?1，当BE?PB时，求?PBE111面积的最大值．

山东德州

22．（10分）（2013?德州）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可） 表1 1 2 3 ﹣7 0 1 ﹣2 ﹣1 （2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和

与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值 表2． 22a ﹣a a﹣1 ﹣a 22﹣a a﹣2 1﹣a a 23．（10分）（2013?德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

2

山东东营

23．（9-3全等与相似的综合与创新·2013东营中考）(本题满分10分) (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有

∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状. B D A （图1）

C

B C B F C m E m D

A （图2） （第23题图）

E m D A （图3）

E 山东莱芜

23．（10分）（2013?莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D

两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程； （2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

山东聊城

25．（2013聊城）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．

（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；

山东省临沂市

25．（11分）（2013?临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则

的值为

；

的值；

的

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求

（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，值是否变化？证明你的结论．

26．（13分）（2013?临沂）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，

）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

山东青岛

23、在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式

这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。

aaba

a

b bb

第23题图① 第23题图②

【研究速算】

提出问题：47×43，56×54，79×71，??是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？

40

3几何建模：

7用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的 矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。 （2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43

40的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形

面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋ 3×7＝2021

43用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘， 再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果 第23题图③ 归纳提炼：

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） _____________________________________________________________________________

47_____________________________________________________________________________ x+2x【研究方程】

提出问题：怎么图解一元二次方程x?2x?35?0(x?0)? 几何建模：

（1）变形：x(x?2)?35

（2）画四个长为x?2，宽为x的矩形，构造图④

x+2xx22xx+2(x?x?2)或四个长x?2，（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，

宽x的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积 即：(x?x?2)?4x(x?2)?2 ∵x(x?2)?35

∴(x?x?2)?4?35?2 ∴(2x?2)?144 ∵x?0

∴x?5

归纳提炼：求关于x的一元二次方程x(x?b)?c(x?0,b?0.c?0)的解

要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）

【研究不等关系】

提出问题：怎么运用矩形面积表示(y?2)(y?3)与2y?5的大小关系（其中y?0）？ 几何建模：

（1）画长y?3，宽y?2的矩形，按图⑤方式分割 （2）变形：2y?5?(y?2)?(y?3) （3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为

yy11122222x+2第23题图④

(y?2)(y?3)；阴影部分面积可以表示为(y?3)?1，

画点部分的面积可表示为y?2，由图形的部分与整体 的关系可知：(y?2)(y?3)＞(y?2)?(y?3)，即

11第23题图⑤

(y?2)(y?3)＞2y?5

归纳提炼：

当a?2，b?2时，表示ab与a?b的大小关系

根据题意，设a?2?m，b?2?n(m?0,n?0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）

24、已知，如图，□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？ （2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成2:1的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

B A

B

MAPOQNCDDC第24题备用图 ADBC

24．（12分）（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M． （1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

山东日照

20.（本题满分10分） 问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________． （2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 解析：

…………………4分

（2）解：如图，在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′. ∵AD平分∠BAC，

∴点B与点B′关于直线AD对称. …………6分 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E，连结BE,

则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短) ………8分 在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/=AB= 10，

，

∴BE+EF的最小值为

. ………………10分

山东泰安

29．（2013泰安）如图，抛物线y=x+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．

（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

2

山东威海

22．（9分）（2013?威海）如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 （2，﹣1） ．

2

25．（12分）（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax+bx+c过点A，O，B，顶点为点E． （1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

2

潍坊市

22.（本题满分11分）

如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为?.

（1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角?的值；

'（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜?＜90°，求证：GD'?E'D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，?DCD'与?CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角?的值；若不能，说明理由.

24.（本题满分13分）

如图，抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且

2?3?AB?4,点D?2，?在抛物线上，直线l是一次函数y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标

?2?原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

25．（10分）（2013?烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系式 QE=QF ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 26．（2013?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D． （1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面

2

积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

枣庄市

25. (本题满分10分)

如图，在平面直角坐标系中，二次函数

的图象与x轴交于A、B两点，B

点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

y y

A B x O A B x O C ·P ·P

第25题图2(备用) 第25题图1

淄博

22．（8分）（2013?淄博）分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

23．（9分）（2013?淄博）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；

（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C（0，的正切值．

）时，求∠ODB

重庆的卷子是图片 一、计算类：

含数、式、因式分解、探究规律等 方程、不等式类

1.（2013杭州）下列计算正确的是（ ） A．m3+m2=m5

B．m3m2=m6 C．（1﹣m）（1+m）=m2﹣1 D．

2.（2013杭州）若a+b=3，a﹣b=7，则ab=（ ）

A．﹣10 B．﹣40 C．10 D．40

3.（2013杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（ ）

A．k＞2 B．1＜k＜2 C．

D．

4.（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ） A． B． C． D．

5.（2013杭州）32×3.14+3×（﹣9.42）=．

6.（2013杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．

7.（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=

；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）

8.（2013杭州）当x满足条件

时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．

D． ﹣1 9D． 6x 9.（2013?湖州）实数π，，0，﹣1中，无理数是（ ） π 0 A．B． C． 10.（2013?湖州）计算6x?x的结果是（ ） 56 6x A．B． C． 6x 6x 3211.（2005?宁德）计算：= 1 ．

12.（2013?湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′= 15.5 度．

13.（2013?湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是 85 ．

14.（2013?湖州）因式分解：mx﹣my．

22

15.（2013?湖州）解不等式组：

16.（2013?嘉兴）﹣2的相反数是（ ） 2 A．B． ﹣2 ． C． D． 17.（2013?嘉兴）据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船（中共一大会址）．数2500万用科学记数法表示为（ ） 8766 A．B． C． D． 2.5×10 2.5×10 2.5×10 25×10 18.（2013?嘉兴）下列运算正确的是（ ） 22235236633 A．B． C． D． 2x﹣x=1 x+x=x x?x=x x÷x=x 19.（2013?嘉兴）二次根式

中，x的取值范围是 x≥

20.（2010?鞍山）因式分解：ab2﹣a= a（b+1）（b﹣1） 21.（2013?嘉兴）（1）计算：|﹣4|﹣（2）化简：a（b+1）﹣ab﹣1．

22.（2013·丽水）在数0，2，-3，-1.2中，属于负整数的是

A. 0 B. 2 C. -3 D. -1.2 23. （2013·丽水）化简?2a?3a的结果是

A.

+（﹣2）0；

?a B. a C. 5a D. ?5a

24.（2013·丽水）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解

释 A.

x≤2 B. x>1

C. 1≤x<2 D. 1

25.（2013·丽水）一元二次方程(x?6)?16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元

一次方程是x?6?4，则另一个一元一次方程是

A. x?6??4 B. x?6?4 C. x?6?4 D. x?6??4 26.（2013·丽水）分解因式：x?2x=__________ 27.（2013·丽水）分式方程

221?2?0的解是__________ x12028.（2013·丽水）计算：8??2?(?)

29.（2013·丽水）先化简，再求值：(a?2)?(1?a)(1?a)，其中a??23 430.（2013?宁波）﹣5的绝对值为（ ） 5 A．﹣5 B． C． ﹣ D． 31.（2013?宁波）下列计算正确的是（ ） 222235224 A．B． 2a﹣a=2 C． D． （ab）=ab （a）=a a+a=a 32.（2013?宁波）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学记数法表示为（ ） 9101011 A．B． C． D． 7.7×10元 7.7×10元 0.77×10元 0.77×10元 33.（2013?宁波）实数﹣8的立方根是 ﹣2 ． 34.（2011?海南）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ． 35.（2013?宁波）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣3．

36.解方程：=﹣5．

37.（2013?衢州）比1小2的数是（ ） 3 1 A．B． C． ﹣1 D． ﹣2 38（2013?衢州）下列计算正确的是（ ） 443262623 3a+2b=5ab A．B． C． D． a﹣a=a （﹣ab）=ab a÷a=a 39.（2013?衢州）衢州新闻网2月16日讯，2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次．将数833100用科学记数法表示应为（ ） 6554 A．B． C． D． 0.833×10 83.31×10 8.331×10 8.331×10 40.（2013?衢州）不等式组的解集是 x≥2 ．

41.（2013?衢州）化简：= ．

42.（2013?衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边

形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2

的周长是 20 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是

．

43.（2013?衢州）

﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）

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