山西省2018年中考数学试题(含答案)【中考】

数学

第Ⅰ卷 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下面有理数比较大小，正确的是（ ）

A ．02<-

B ．53-<

C ．23-<-

D ．14<-

2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）

A ．《九章算术》

B ．《几何原本》

C ．《海岛算经》

D ．《周髀算经》

3.下列运算正确的是（ ）

A ．326()a a -=-

B ．222236a a a +=

C ．23622a a a ?=

D ．326

328b b a a ??-=- ???

4.下列一元二次方程中，没有．．

实数根的是（ ） A ．220x x -= B ．2410x x +-= C ．22430x x -+= D ．2352x x =-

5.近年来快递业发展迅速，下表是2018年13:月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）： 太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市 3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 41

6.01 338.87 13:月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）

A ．319.79万件

B ．332.68万件

C ．338.87万件

D ．416.01万件

6.黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）

A ．46.0610?立方米/时

B ．63.13610?立方米/时

C ．63.63610?立方米/时

D ．536.3610?立方米/时

7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是（ ）

A ．49

B ．13

C ．29

D ．19

8.如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，6AC =，将ABC ?绕点C 按逆时针方向旋转得到'''A B C ?，此时点'A 恰好在AB 边上，则点'B 与点B 之间的距离为（ ）

A ．12

B ．6

C ．62

D ．63

9.用配方法将二次函数289y x x =--化为2

()y a x h k =-+的形式为（ ）

A ．2(4)7y x =-+

B ．2(4)25y x =--

C ．2(4)7y x =++

D ．2(4)25y x =+-

10.如图，正方形ABCD 内接于O e ，O e 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．44π-

B ．48π-

C ．84π-

D ．88π-

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算：(321)(321)= ．

12.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则

12345∠+∠+∠+∠+∠= 度．

13.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过115cm .某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm ，长与宽的比为8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm ．

14.如图，直线//MN PQ ，直线AB 分别与MN ，PQ 相交于点A ，B .小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AN 于点C ，交AB 于点D ；②分别以C ，D 为圆心，以大于12

CD 长为半径作弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；③作射线AE 交PQ 于点F .若2AB =，60ABP ∠=?，则线段AF 的长为 ．

15.如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作O e ，O e 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作O e 的切线FG ，交AB 于点G ，则FG 的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算：（1）210(22)4362---+?+.

（2）222111442

x x x x x x --?---+-. 17.如图，一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象分别与x 轴，y 轴相交于点A ，B ，与反比例函数222(0)k y k x

=≠的图象相交于点(4,2)C --，(2,4)D .

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当x 为何值时，10y >；

（3）当x 为何值时，12y y <，请直接写出x 的取值范围.

18.在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.

请解答下列问题：

（1）请补全条形统计图和扇形统计图；

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？

（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？

（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

19.祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.

项目内容

课题测量斜拉索顶端到桥面的距离

测量示意图

说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，

B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内.

测量数据

A

∠的度数B

∠的度数AB的长度

38?28?234米……

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin380.6

?≈，cos380.8

?≈，tan380.8

?≈，sin280.5

?≈，cos280.9

?≈，tan280.5

?≈）

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.

20.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米，“复兴号”92

G次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的

4

5

（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”92

G次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”92

G

次列车从太原南到北京西需要多长时间.

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名

美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在

一个三角形ABC 的AC 和BC 两边上分别取一点X 和Y ，使得AX BY XY ==.（如图）

解决这个问题的操作步骤如下：

第一步，在CA 上作出一点D ，使得CD CB =，连接BD .第二步，在CB 上取一点'Y ，

作'//Y Z CA ，交BD 于点'Z ，并在AB 上取一点'A ，使''''Z A Y Z =.第三步，过点A 作//''AZ A Z ，交BD 于点Z .第四步，过点Z 作//ZY AC ，交BC 于点Y ，再过点Y 作//YX ZA ，交AC 于点X .

则有AX BY XY ==.

下面是该结论的部分证明：

证明：∵//''AZ A Z ，∴''BA Z BAZ ∠=∠，

又∵''A BZ ABZ ∠=∠.∴''BA Z BAZ ??:.

∴

'''Z A BZ ZA BZ

=. 同理可得'''Y Z BZ YZ BZ =.∴''''Z A Y Z ZA YZ =. ∵''''Z A Y Z =，∴ZA YZ =.

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ 的形状，并加以证明；

（2）请再仔细阅读上面的操作步骤．．．．

，在（1）的基础上完成AX BY XY ==的证明过程； （3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形'''BA Z Y 放大得到四边形BAZY ，从而确定了点Z ，Y 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是________.

A ．平移

B ．旋转

C ．轴对称

D ．位似

22.综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，2AD AB =，E 是AB 延长线上一点，且BE AB =，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM .试判断线段AM 与DE 的位置关系.

探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：

证明：∵BE AB =，∴2AE AB =.

∵2AD AB =，∴AD AE =.

∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC . ∴EM EB DM AB

=.（依据1） ∵BE AB =，∴1EM DM =.∴EM DM =. 即AM 是ADE ?的DE 边上的中线，

又∵AD AE =，∴AM DE ⊥.（依据2）

∴AM 垂直平分DE .

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明.

23.综合与探究

如图，抛物线211433

y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F .

（1）求A ，B ，C 三点的坐标；

（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接．．

写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值.

试卷答案

一、选择题

1-5: BBDCC 6-10: CADBA

二、填空题

11. 17 12. 360 13. 55

14. 125

三、解答题

16.（1）解：原式84217=-++=.

（2）解：原式22(1)(1)11(2)2

x x x x x x --+=?---- 1122

x x x +=--- 2

x x =-. 17. 解：（1）∵一次函数11y k x b =+的图象经过点(4,2)C --，(2,4)D ， ∴11

4224k b k b -+=-??+=?， 解得112k b =??=?

. ∴一次函数的表达式为12y x =+. ∵反比例函数22k y x =

的图象经过点(2,4)D ，∴242

k =.∴28k =. ∴反比例函数的表达式为28y x =. （2）由10y >,得20x +>.

∴2x >-.∴当2x >-时，10y >.

（3）4x <-或02x <<.

18.解：（1）

（2）10100%40%1015?=+. 答：男生所占的百分比为40%. （3）50021%105?=（人）.

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人.

（4）1515515108154816

==+++. 答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为

516. 19.解：（1）过点C 作CD AB ⊥于点D .

设CD x =米，在Rt ADC ?中，90ADC ∠=?，38A ∠=?.

∵tan 38CD AD ?=，∴5tan 380.84

CD x AD x ===?. 在Rt BDC ?中，90BDC ∠=?，28B ∠=?.

∵tan 28CD BD ?=

，∴2tan 280.5

CD x BD x ===?. ∵234AD BD AB +==，∴522344x x +=. 解得72x =.

答：斜拉索顶端点C 到AB 的距离为72米.

（2）答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.

20.解法一：设乘坐“复兴号”92G 次列车从太原南到北京西需要x 小时，

由题意，得50050040151()646

x x =+--. 解得83x =.

经检验，83x =是原方程的根. 答：乘坐“复兴号”92G 次列车从太原南到北京西需要83小时. 解法二：设“复兴号”92G 次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时，

由题意，得5005004054

x x =+. 解得52

x =. 经检验，52x =

是原方程的根. 518263

+=（小时）. 答：乘坐“复兴号”92G 次列车从太原南到北京西需要

83

小时. 21.解：（1）四边形AXYZ 是菱形.

证明：∵//ZY AC ，//YX ZA ，∴四边形AXYZ 是平行四边形.

∵ZA YZ =，∴AXYZ Y 是菱形.

（2）证明：∵CD CB =，∴12∠=∠.

∵//ZY AC ，∴13∠=∠.

∴23∠=∠.∴YB YZ =.

∵四边形AXYZ 是菱形，∴AX XY YZ ==.

∴AX BY XY ==.

（3）D （或位似）.

22.（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）.

依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）. ②答：点A 在线段GF 的垂直平分线上.

（2）证明：过点G 作GH BC ⊥于点H ，

∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，

∴90CBE ABC GHC ∠=∠=∠=?，∴1290∠+∠=?.

∵四边形CEFG 为正方形，

∴CG CE =，90GCE ∠=?，∴1390∠+∠=?.∴23∠=∠.

∴GHC CBE ???.

∴HC BE =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =.

∵2AD AB =，BE AB =，∴22BC BE HC ==，∴HC BH =. ∴GH 垂直平分BC .∴点G 在BC 的垂直平分线上.

（3）答：点F 在BC 边的垂直平分线上（或点F 在AD 边的垂直平分线上）. 证法一：过点F 作FM BC ⊥于点M ，过点E 作EN FM ⊥于点N . ∴90BMN ENM ENF ∠=∠=∠=?。

∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，

∴90CBE ABC ∠=∠=?，∴四边形BENM 为矩形.

∴BM EN =，90BEN ∠=?.∴1290∠+∠=?.

∵四边形CEFG 为正方形，

∴EF EC =，90CEF ∠=?.∴2390∠+∠=?.

∴13∠=∠.∵90CBE ENF ∠=∠=?，

∴ENF EBC ???.

∴NE BE =.∴BM BE =.

∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =.

∵2AD AB =，AB BE =.∴2BC BM =.∴BM MC =.

∴FM 垂直平分BC .∴点F 在BC 边的垂直平分线上.

证法二：过F 作FN BE ⊥交BE 的延长线于点N ，连接FB ，FC .

∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，

∴90CBE ABC N ∠=∠=∠=?.∴1390∠+∠=?.

∵四边形CEFG 为正方形，∴EC EF =，90CEF ∠=?.∴1290∠+∠=?.∴23∠=∠. ∴ENF CBE ???.

∴NF BE =，NE BC =.

∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =.

∵2AD AB =，BE AB =.∴设BE a =，则2BC EN a ==，NF a =， ∴2222(3)BF BN FN a a =+=+10a =.

2222(2)CE BC BE a a =+=+5a =.

22210CF CE EF CE a =+==.

∴BF CF =.∴点F 在BC 边的垂直平分线上.

23.解：（1）由0y =，得

2114033x x --=. 解得13x =-，24x =.

∴点A ，B 的坐标分别为(3,0)A -，(4,0)B .

由0x =，得4y =-.∴点C 的坐标为(0,4)C -.

（2

）答：1(4)22

Q -，2(1,3)Q -. （3）解：过点F 作FG PQ ⊥于点G ，

则//FG x 轴.由(4,0)B ，(0,4)C -，得OBC ?为等腰直角三角形.

∴45OBC QFG ∠=∠=?.

∴2

GQ FG FQ ==

. ∵//PE AC ，∴12∠=∠.

∵//FG x 轴，∴23∠=∠.∴13∠=∠. ∵90FGP AOC ∠=∠=?，∴FGP AOC ??:. ∴FG GP AO OC =，即34

FG GP =.

∴443323

GP FG FQ FQ ==?=.

∴23QP GQ GP FQ FQ =+=

+6FQ =.

∴7FQ =. ∵PM x ⊥轴，点P 的横坐标为m ，45MBQ ∠=?，

∴4QM MB m ==-，211433PM m m =-+

+. ∴21

14(4)33QP PM QM m m m =-=-++--21433

m m =-+.

∴2147733QF m m ?==-+??

?

277m =-+.

∵07-<，∴QF 有最大值.

∴当27m ==??

时，QF 有最大值. 解法二：提示，先分别求出BQ 和BF 关于m 的代数式，再由QF BF BQ =-得到QF 关于m 的代数式.

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