大学物理实验讲义-张家港校区

大学物理实验教材

江苏科技大学张家港校区

前 言

《大学物理实验》是面向高等学校理工科学生的重要实践课程，对于培养学生的从事科学研究的基本素养、锻炼学生的动手能力、观测能力、数据处理与分析能力，培养学生的创新意识与科研开发能力，具有不可替代的重要作用。

物理实验作为科学实验的基础实验，其研究方法、观察和分析手段、各种仪器设备已被广泛地应用在自然科学和工程技术的各个领域。因此作为基础实验课，它既能让学生通过实验学习到科学实验的基础知识，又能使学生在实验方法的考虑、测量仪器的选择、实验误差的分析中受到训练，并为学生进行后续实验打下基础。

我们根据目前我国高等院校大学物理实验开设的情况，及我校的《大学物理实验》培养方案与目标，对照校区实验室的仪器设备配置，组织编写了这本实验讲义，可供校区所有理工科专业的学生使用。

本讲义的编写由肖沛主持，肖沛、林季资和徐胜共同完成。

本讲义在编写过程中,参考了许多其他高等师范院校的实验教材,得到了我校许多长期从事实验教学工作教师的大力支持，特别是参考了校本部物理实验室所用讲义以及学校尤建飞老师和李巧改老师编写的教材，以及，在此表示感谢！本讲义难免有不妥之处,恳请读者批评指正。

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目 录

绪 论 误差理论与数据处理-----------------------------------------3 实验一 霍尔位置传感器测杨氏模量-----------------------------------35 实验二 研究弦线上的驻波现象---------------------------------------41 实验三 利用霍尔效应测磁场-------------------------------------------------------------45 实验四 实验五 实验六 实验七 实验八 实验九 附 录 电位差计测电动势-------------------------------------------49 线性电阻和非线性电阻的伏电安特性曲线----------------------------------54 测量超声波在空气中的传播速度----------------------------------------------61 光电效应测普朗克常数----------------------------------------------------------66 夫兰克-赫兹实验------------------------------------------------------------------69 光的等厚干涉实验-------------------------------------------72 实验报告范例-----------------------------------------------76

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绪 论

物理学是研究物质的基本结构、相互作用和物质最基本、最普遍的运动形式及其规律的学科。物理学按研究方法可分为理论物理和实验物理两大分支。理论物理是从一系列基本原理出发，经过数学的推演得出结果，并将结果与观测和实验相比较，从而达到理解现象、预测未知的目的。实验物理是以观测和实验为手段来发现新的物理规律，验证理论结论，同时也为理论物理提供新的研究课题。因此，物理实验是研究自然规律的最基本的手段，是物理理论的源泉。

物理学从本质上说是一门实验科学。历史表明，在物理学的建立和发展过程中，物理实验一直起着重要的作用，并且在今后探索和开拓新的科技领域时，物理实验仍然是强有力的工具。在高等理工院校，物理实验课是学生进入大学后受到系统实验方法和实验技能训练的开端，是理工类专业对学生实验训练的重要基础，是大学生学习或从事科学实验的起步。因此，国家教育部把物理实验列为理工院校培养大学生进行科学实验基本训练的一门独立的、重要的必修课程。所以，学好物理实验对于高等理工院校的学生来说是十分重要的。

一、物理实验课的任务

根据国家教育部颁发的《高等工业学校物理实验课程教学基本要求》的规定，物理实验课的具体任务是：

1. 通过对物理实验现象的观察、分析及对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解。

2. 培养与提高学生的科学实验能力，其中包括：

(1) 能够自行阅读实验教材和资料，作好实验前的准备； (2) 能够借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器； (3) 能够运用物理学理论对实验现象进行初步分析判断；

(4) 能够正确记录和处理实验数据，绘制曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告； 3. 培养与提高学生的科学实验素养。要求学生具有理论联系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神和遵守纪律、爱护公共财产的优良品德。

二. 物理实验课的主要教学环节

为达到物理实验课的目的，学生应重视物理实验教学的三个重要环节。 1. 实验预习

课前要仔细阅读实验教材或有关的资料，基本弄懂实验所用的原理和方法，并学会从中整理出主要实验条件、实验关键及实验注意事项，根据实验任务画好数据表格。有些实验还要求学生课前自拟实验方案，自己设计线路图或光路图，自拟数据表格等。因此课前预习的好坏是实验中能否取得主动的关键。

2. 实验操作

学生进入实验室后应遵守实验室规则，按照一个科学工作者那样要求自己。井井有条地布置仪器，安全操作，注意细心观察实验现象，认真钻研和探索实验中的问题。不要期望实验工作会一帆风顺，在遇到问题时，应看作是学习的良机，冷静地分析和处理它。仪器发生故障时，也要在教师的指导下学习排除故障的方法。总之，要将着重点放在实验能力的培养上，而不是测出几个数据就以为完成了任务。对实验数据要严肃对待，要用钢笔和圆珠笔记录原始数据。如确系记错了，也不要涂改，应轻轻划上一道，在旁边写上正确值(错误多的，

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需重新记录)，使正误数据都能清晰可辨，以供在分析测量结果和计算误差时参考。希望同学们注意纠正自己的不良习惯，从一开始就不断培养良好的科学作风。实验结束时，将实验数据交教师审阅签字，整理还原仪器后方可离开实验室。

3. 实验总结

实验后要对数据及时进行处理。如果原始记录删改较多的，应加以整理，对重要的数据要重新列表。数据处理过程包括计算、作图、误差分析等。计算要有计算式，代入的数据都要有根据，便于别人看懂，也便于自己检查。作图按作图规则，图线要规矩、美观。数据处理后应给出实验结果。最后要撰写出一分简洁、明了、工整有见解的实验报告。这是每一个大学生必须具备的报告工作成果的能力。 实验报告内容包括：

(1) 实验名称—实验项目或实验选题。

(2) 实验目的—实验所希望得到的结果和希望实现的目标。

(3) 实验原理—简要叙述有关物理内容(包括电路图、光路图或实验装置示意图)及测量中依据的主要公式，式中各量的物理含义及单位，公式成立应满足的实验条件等。 (4) 实验步骤—写下主要实验步骤。设计性实验的步骤应详细写明，还要注明注意事项。 (5) 数据表格与数据处理—记录中要有仪器编号、规格及完整的实验数据。要完成数据计算、曲线图绘制及误差分析。最后写明实验结果。

(6) 分析与讨论—对实验进行合理的评价。可以是实验中现象的分析，对实验关键问题的研究体会，实验的收获和建议，也可解答思考题。

三. 实验室规则

1. 学生进入实验室需带上记录实验数据的表格，课前应完成指定的预习内容，经教师检查同意方可进行实验。

2. 遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。

3. 使用电源时，务必经过教师检查线路后才能接通电源。

4. 爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器，实验中严格按仪器说明书操作，如有损坏，照章赔偿。公用工具用完后应立即归还原处。

5. 做完实验后学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐。经教师审查测量数据和仪器还原情况并签字后，方可以离开实验室。

6. 实验报告应在实验后一周内交实验指导教师。

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误差理论与数据处理基础知识

在科学研究和实验过程中，往往离不开对某个物理量的测量。物理实验除了定性地观察物理现象外，也需要对物理量进行定量测量，并确定各物理量之间的关系。

由于测量设备、环境、人员、方法等方面诸多因素的影响，使得测量值与真实值并不完全一致，这种差异在数值上表现为误差。随着科学水平的提高和人们的经验、技巧、专门知识的丰富，误差虽然可以被控制得越来越小，却始终不能把它消除。因此，对实验中测量获得的数据，要选择合适的方法进行处理，并对其可靠性做出评价，否则，测量结果是没有价值的。

误差与数据处理理论已发展为一门学科，它涉及的内容丰富，且较为复杂。在此，将简单介绍大学物理实验中常用的一些初步和基本知识。

第一节 测量与误差

1．1 测量

一、定义

所谓测量，就是借助于专门设备，通过一定的实验方法，以确定物理量值为目的所进行的操作。它是一个实验比较的过程，即把一个量（待测量）与另外一个量（标准量）相比较。

测量由测量过程与测量结果组成。

测量过程是执行测量所需的一系列操作。包括建立单位、设计工具、设计测量方法、研究分析测量结果、寻找减小误差的途径等方面。

测量结果表示由测量所获得的待测量的值，一般由数值、单位和精度评定三部分组成。

二、分类

从不同的角度考虑，测量有不同的分类法。

按照测量结果获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量。 用预先校对好的测量仪器或量具对被测量进行测量，直接读取被测量数值的大小，称为直接测量。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时间，用天平与砝码测物体的质量，用电压表（或电流表）测电压（或电流）等都属于直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。

如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算获得的，这种测量称为间接测量。例如，体积、密度等物理量的测量往往采用间接测量，相应的被测物理量称为间接测量量。

实际测量中多数为间接测量，但直接测量简单、直观，是一切间接测量的基础。 按照测量条件的不同，测量可分为等精度测量和非等精度测量。

在相同的测量条件下（同一测量水平的观测者，同一精度的仪器，同样的实验方法和环境等）对某一待测量所做的重复性测量，称为等精度测量。大学物理实验学习阶段，主要考虑等精度测量。

在不同的测量条件下对某一待测量所做的重复性测量，称为非等精度测量。非等精度测量获得的所有数据的可信赖程度是不同的，在数据处理过程中应按精度高低，区别对待。

按照被观测对象在测量过程中所处的状态，可分为静态测量和动态测量。 如果待测量在测量过程中是固定不变的，这时所进行的测量为静态测量。静态测量不需要考虑时间因素对测量结果的影响，应把被测量或误差作为随机变量进行处理。

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如果待测量在测量过程中随时间不断变化，这时所进行的测量为动态测量。动态测量需考虑时间因素对测量结果的影响，应把被测量或误差作为随机过程来进行处理。

1．2 误差

一、定义

误差是指测量值与被测量的真值之差。用式子表示为

误差???=测量值?x?-真值?x0? （1-1） 其中，误差可正可负，反映了测量值偏离真值的程度；测量值是通过测量得到的被测量的值；真值是某一物理量在一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数值。一般情况下，真值是未知的，所以误差的概念只具有理论意义。只是在某些特殊情况下，真值可认为是已知的，主要包括：

1．理论真值：通过理论方法获得的真值。例如，三角形内角之和为180°；理想电容或电感构成的电路，电压与电流的相位差为90°等。

2．计量学的约定真值：国际计量机构内部约定而确定的真值。例如，7个SI基本单位量的确定，即长度单位米（m）、时间单位秒（s）、电流强度单位安培（A）、质量单位千克（kg）、热力学单位开尔文（K）、物质的量的单位摩尔（moL）、发光强度单位坎德拉（cd）。

3．标准器的相对真值：当高一级的标准器的误差小于低一级的标准器或普通计量仪器的误差一定程度后，高一级标准器的指示值可以作为级别低的仪器的相对真值。

二、误差的分类

根据误差的性质，可将误差分为系统误差、随机误差和疏失误差三类。 1．系统误差

系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

一个完整的测量系统，通常由实验源、实验体、观测系统、实验环境4部分组成，因此系统误差来源可以归纳为以下几个方面：

（1）仪器设备、装置误差 ① 标准器误差

标准器是作为与被测量相比较时提供标准值的器具。例如，标准电池、标准量块、标准电阻等。由于使用条件或制作不够完善等原因，标准器本身也会产生附加误差。

② 仪器误差

测量仪器是指能将被测量转化为可直接观测的指示值或等效信息的计量器具。例如，天平、电桥等比较仪器；温度计、秒表、检流计等指示仪器。仪器设计制造不完善、调节使用不当、老化等原因都会造成测量误差。

③ 附件误差

为使测量方便进行而使用的各种辅助配件，均属测量附件。例如，开关、导线、电源等各种辅助配件也会引起误差。

（2）环境误差

由于各种环境因素，如温度、湿度、压力、震动、电磁场等，与要求的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差。

（3）方法误差

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由于测量方法或计算方法不完善、不合理等原因引起的误差。例如，瞬时测量时取样间隔不为零；用单摆测量重力加速度时，公式g?4?L/T的近似性；用伏安法测电阻时，忽略电表内阻的影响等。

（4）人员误差

由测量人员分辨力有限，感官的生理变化，反应速度及固有习惯等原因引起的误差。例如，测量滞后与超前、读数倾斜等。

从不同角度，系统误差又可分为不同种类。 按对误差掌握程度，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差。已定系统误差的大小和符号是可以确定的，如千分尺、电表的零位误差，伏安法测电阻电表内阻引起的误差等。这类误差可以修正。未定系统误差是大小和符号不能确定，只能估计出大小变化范围的系统误差，如仪器误差。

按误差的变化规律，系统误差又可分为不变系统误差和变化系统误差。不变系统误差的大小和符号保持恒定不变。变化系统误差的大小和符号按某一确定规律变化，如线性、周期性等规律。

2．随机误差

在同一测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，以不可预知的方式变化，这种误差称为随机误差。随机误差是由测量过程中一些随机的或不确定的因素引起的。例如，人的感官灵敏度及仪器精度有限，实验环境（温度、湿度、气流等）变化，电源电压起伏，微小振动等都会导致随机误差。由于引起随机误差的因素复杂，又往往交叉在一起，不能分开，因此，随机误差是无法控制的，无法从实验中完全消除，一般通过多次测量来达到减小的目的。

从一次测量来看，随机误差是随机的。但当测量次数足够多时，随机误差服从一定的统计规律，可按统计规律对误差进行估计。

3．粗大误差

粗大误差又称疏失误差，它是由于工作人员疏失、仪器失灵等原因造成的超出规定条件下预期的误差。含有粗大误差的测量值明显偏离被测量的真值，在数据处理时，应首先检验，并将含有粗大误差的数据剔除。

应当指出，系统误差是测量过程中某一突出因素变化所引起的，随机误差是测量过程中多种因素微小变化综合引起的，两者不存在绝对的界限，变化的系统误差数值较小时与随机误差的界限不明显。随机误差和系统误差有时可以相互转化。

三、误差的表示形式

1．绝对误差

用绝对大小给出的误差定义为绝对误差。用式子表示为

误差???=测量值?x?-真值?x0? （1-2）

绝对误差是带有单位的数，可正可负。绝对误差反映测量值偏离真值的大小与方向。 2．相对误差

绝对误差与被测量真值的比值称为相对误差?E?。用式子表示为

相对误差?E?=绝对误差/真值 （1-3） 由于一般情况下真值未知，通常用测量值代替真值。相对误差是无量纲数，通常用“%”表示。相对误差可以反映测量的精度高低。

例1-1 测量两个长度量，测量值分别为L1?100.0mm，L2?80.0mm，其测量误差分

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22别为?1?0.8mm，?2?0.7mm。试比较两个测量结果精度的高低。

解：E1??1L1?100%?0.8?100%?0.8%， 100.0E2??2L2?100%?0.7?100%?0.9% 80.0从绝对误差的角度看，第一个量测量值的误差大于第二个量的误差；但从相对误差的角度来看，第一个量的测量精度却高于第二个量。

1．3 精度

精度又称为精确度，用来描述测量结果与真值的接近程度。它是一个定性的概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低。主要分为

一、精密度

精密度用来描述测量结果中随机误差的大小程度，即在一定条件下，进行多次重复测量时，各测量值之间的接近程度。精密度反映随机误差大小的程度。

二、正确度

正确度用来描述测量结果与真值的偏离程度，它反映系统误差的大小程度。

三、准确度（精确度）

准确度反映系统误差与随机误差综合大小程度。准确度高说明测量结果既精密又正确。 通过图1-1打靶弹着点的分布图，可以形象地说明上述三个概念。图中（a）表示精密度高，正确度低；图（b）表示正确度高，精密度低；图（c）表示正确度与精密度都高，即准确度高，或精度高。

（a） （b） （c） 图1-1 精度示意图

1．4 测量不确定度

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由于真值的未知性，使得测量误差的大小与正负难以确定。因此，在对测量结果的质量进行定量评定时，往往只是给出误差以一定的概率出现的范围。而这个用来定量评定测量结果质量的参数，即为测量不确定度。

测量不确定度是表征合理赋予被测量值分散性的一个参数。测量不确定度的来源较多，因而测量不确定度是由许多分量组成的。而评定各分量值的方法各不相同，按评定方法一般可将其分为两大类：

一、Ａ类不确定度

用统计方法评定的不确定度称为Ａ类不确定度，用uA表示。

二、Ｂ类不确定度

用非统计方法评定的不确定度称为Ｂ类不确定度，用uB表示。

不确定度的分类是按评定方法进行的。它们都基于概率分布，都用方差或标准差表征，称为标准不确定度。其中Ａ类标准不确定度由观测列概率分布导出的概率密度函数得到；Ｂ类标准不确定度由一个认定的或假定的概率分布函数得到。不确定度的分类方法与误差分类相比，避免了由于误差之间界限不绝对，在判断和计算时不易掌握的缺点。评定不确定度时，不考虑影响不确定度因素的来源与性质，只考虑评定方法，从而简化了分类，便于评定与计算。

1．5 有效数字

一、定义

有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由准确数字和可疑数字组成。（如果该数值绝对误差界是最末位数据的半个单位，那么从这个近似数左边第一个非零数字起到最后一位数字止，都叫有效数字。）

为了便于理解，举一例子加以说明。如图1-1所示，用最小刻度为1mm的米尺测量一物体的长度，不同的测量者测得结果不同，可能为2.55cm，2.56cm，2.57cm等。其中，前两位数是根据米尺的刻度准确读出的，不随观测者变化，是可靠的，称之为准确数字，最后一位数是在两个刻度之间估计读出的，随观测者个人情况可能略有不同，显然是不准确的，称为可疑数字。尽管可疑数字不准确，但它能客观、合理地反映出该物体比2.5cm长，比2.6cm短的事实，是有效的。因此，测量结果的有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的。

0 1 2 3 4 5

图1-1 长度测量示意图

二、有效数字应注意以下几个问题：

1．有效数字与测量条件密切相关

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从上面测量结果可以看出，测量结果的有效数字位数由测量条件和待测量的大小共同决定。对于大小已定的物理量，测量仪器的精度越高，有效数字位数越多，因此，有效数字可以在某种程度上反映出测量仪器的精度。例如，上述物体的长度，用米尺测量是3位有效数字，而采用1/50游标卡尺测量，可得4位有效数字，用千分尺测量，可得5位有效数字；当测量条件一定时，待测量越大，有效数字位数越多。

2．数字“0”在有效数字中的作用

“0”在数据中的位置不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如，0.03020m这个数中共有4个“0”，其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，而其余两个“0”是有效数字，即数字中间和末尾的“0”是有效的。

既然数字末尾的“0”是有效数字，那么就不能在数字的末尾随意加0或去掉0，否则物理意义将发生变化。要注意，一个物理量的测量值和数学上的一个数意义是不同的。数学上，0.0302m与0.03020m没有区别，但在物理上，0.0302m≠0.03020m，因为0.03020m中的“2”是准确测量出来的，是可靠的，而0.0302m中的“2”则是可疑数字，是不准确的。

由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，那么数字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效数字都是4位。因此，在十进制单位进行换算时，有效数字的位数不应发生变化。如，3.5A的电流值，若用mA单位表示，不能写成3500mA，而应采用科学记数法，写成3.5?103mA。

3．不确定度有效数字的确定

一般情况下绝对不确定度只取1位有效数字，对重要的、比较精密的测量或其他特殊情况，可取2位或2位以上有效数字，相对不确定度可取1～2位。本教材如无特殊说明，绝对不确定度取1位有效数字，相对不确定度取2位有效数字。

4．有效数字的确定

对于直接测量，有效数字的确定，实际上就是如何读数的问题。

由于测量结果的有效数字应是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的，因此，从测量仪器上读取数据时应注意完整性，即除了读取整刻度数值外，还应进行整刻度以下的估读。特别是读取的数据数值恰好为整数时，则需在后面补“0”，一直补到可疑位为止。例如，上述物体的末端恰好与刻度25mm对齐时，则测量结果应记为2.50cm，而不能写为2.5cm。总之，直接测量读数的原则是：应读到仪器产生误差的那一位。

对于间接测量，中间运算过程中，由于参与运算的量可能很多，有效数字的位数可能不一致，使得数据计算显得繁琐和复杂。为了简化运算过程，同时又不会造成过大的计算误差，一般可采用以下规则进行运算：

（1） 进行加减运算时，应以参与运算各数据中末位数数量级最大的数据为准，其余各数据在中间计算过程中向后可多取一位，最后结果与末位数数量级最大的那一位对齐。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348

（2）进行乘除法运算时，以参与运算各数据中有效数字位数最少的为准，其余数字在中间运算过程中可多取一位有效数字，最后结果的有效数字与有效数字位数最少的那个数相同。例如：39.534.0843730.0013=39.534.0830.0013=0.21

乘方和开方运算规则与乘除法运算规则相同，即结果的有效数字与被乘方、开方数的有效数据位数相同。例如，1.40=1.96，200?14.1

（3）进行函数运算时，结果有效数字一般可根据间接测量不确定度计算公式进行计算来确定（参见2．4）。对常用的函数，也可按简单规则确定。如，对数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与真数的有效数字位数相同。例如，lg1.983?0.2973；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与指数中小数点后面的位数相同。例如，

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106.25?1.79?106。

（4）间接测量计算过程中，计算公式中还会遇到自然数与常量，例如，球体的面积S与半径R有关系式S?4?R2。式中“4”是自然数，?是常量。自然数不是测量得到的，不存在误差，故有效数字是无穷多位，而不是一位；常量在运算过程中有效数字位数，不能少于参与运算的各数据中有效数字位数最少的那个数据，一般可以多取1位。

上述所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则。实际问题中，为了防止取舍所造成的误差过大，常常在运算过程中多取几位，特别是随着计算机和计算器的普及，这种处理不会带来太多的麻烦，只是在最后结果根据不确定度所在位进行截断。

三、有效数字的舍入规则

1、测量数据中打算舍弃的最左一位数字小于5 时则舍去，欲保留的各位数字不变。例如数据3.1448 取三位有效数字时为3.14。

2、测量数据中打算舍弃的数字的最左一位数字大于5 (或等于5 而其后跟有非全部为0 的数字时)，则应进一，即保留数字的末位加1。如3.1465001 取二位有效数字时为3.1，取三位有效数字时为3.15，取四位有效数字时为3.147。

3、测量数据中打算舍去的最左一位数字为5，而它后面无数字或全部为0 时，若所保留数字的末位为奇数则进一，为偶数或0 则舍弃。如数据3.1050 取三位有效数字为3.10，数据3.15 取二位有效数字则为3.2

4、负数修约时，先将它的绝对值按上述123规定进行修约，然后在修约值前加上负号。 以上对有效数字的修约规则可以归纳为一句话：“四舍、大于五入、缝五凑偶”。 对仪器误差限、标准差及不确定度的最后结果，在去掉多余位时，一般只入不舍。 如计算不确定度时计算数据为0.0316，取一位有效数字时为0.04

第二节 误差的处理

2．1 随机误差的处理

一、随机误差的分布及其数字特征

1．正态分布及特点

尽管单次测量时随机误差的大小与正负是不确定的，但对多次测量来说却服从一定的统计规律。随机误差的统计分布规律有很多，正态分布是最常见的分布之一。

服从正态分布的随机误差的概率密度函数为

f(?)?1e??22?2?2? （2-1）

或

f(x)?1e??x?x0?22?2?2? （2-1'）

式中，x为测量值；x0为真值；?为误差；f表示在?（或x）附近单位区间内，被测量误差（或测量值）出现的概率。分布曲线如图2-1所示。

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1.210.80.60.40.20-4-20f(?) 1.21f(?) σσ1 ?1??0.82 0.60.40.20-6-4-22 2?4 图2-1 正态分布曲线 图2-2 σ对曲线的影响 O 024?6 由图可以看出，正态分布的随机误差具有以下特点：

① 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； ② 对称性（抵偿性）：大小相同，符号相反的误差出现的机会相同；

③ 有界性：实际测量中，超过一定限度（如?3?）的绝对值更大的误差一般不会出现。 2．数字特征

数学期望与方差是定量描述统计规律分布的两个重要参数。 根据式（2-1）或（2-1'），满足正态分布的随机变量x或?，其数学期望为

E(x)????xf(x)dx?x0 （2-2）

或

????E(?)???f(?)d??0 （2-2'）

??上式说明，对于无限次测量，测量值的数学期望等于真值，或误差的数学期望等于零，即随机误差具有抵偿性。

根据式（2-1）或（2-1'），满足正态分布的随机变量?或x，方差D及标准差?为

D(?)?????2f(?)d???2 （2-3）

??或

D(x)???x?x???0??2f(x)dx??2 （2-3'）

标准差

??D(x) （2-4）

方差与标准差反映测量值与真值的偏离程度，或各测量值之间的离散程度。标准差或方差越小，离散程度越小，测量的精密度高；反之，离散程度越大。如图2-2所示。

标准差?的物理意义也可以从下面这一角度理解：

根据概率密度函数的含义，误差出现在??,??d??范围内的概率为f???d?，则误差出现在区间???,??内的概率为

P????f???d??68.3% （2-5）

?上式表示，在一组测量数据中，有68.3%的数据测量误差落在区间???,??内。也可以认为，任一测量数据的误差落在区间???,??内的概率为68.3%。把P称作置信概率，而???,??称为68.3%的置信概率所对应的置信区间。

更广泛地，置信区间可由??k?,k??表示，k称为包含因子（或置信因子），可根据需要

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选取不同大小的值。如，除了上述k?1的情况，还经常取k?2或3，这时的置信区间分别为??2?,2??和??3?,3??，对应的置信概率为95.5%和99.7%。

可以看出，如果置信区间为??3?,3??，则测量误差超出该区间的概率很小，只有0.3%，即进行1000次测量，只有3次测量误差可能超出??3?,3??。对于有限次测量（次数少于20次），超出该区间的误差可以认为不会出现，因此常将?3?称为极限误差。

二、算术平均值与标准偏差

对真值为x0的某一量x做等精度测量，得到一测量列x1～xn，则该测量列的算术平均值为

n?xix?i?1n （2-6）

若测量数据中无系统误差和粗大误差存在，由正态分布随机误差的对称性特点和数学期望、标准差含义可知，在测量次数n??时，有算术平均值

x?limi?1?x0 （2-7）

n??n?xin测量列标准差

??xi?x0???limi?1n??n2n （2-8）

在实际测量中，测量次数总是有限的，且真值不可知。因此，对于等精度测量列，可以用算术平均值作为真值的最佳估计值。而测量列标准差也需通过估计获得。估计标准差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，即子样标准差。公式为 Sx ??S???x?x?ii?1n2n?1??vi?1n1.22i1n?1 0.80.60.40.2（2-9）

式中vi?xi?x，称为残差。若无

说明均用上式表示。 0n o 05101520由于算术平均值也是一个随机变

图2-3 测量次数对Sx的影响 量，进行多组等精度重复测量时得到的算术平均值具有离散性。描述该离

散性的参数是算术平均值的标准差，由误差理论可以证明，算术平均值标准差与测量列（或单次测量）标准差之间的关系为

? （2-10） ?x?n由式（2-10）可看出，平均值的标准差比单次测量的标准差小。随着测量次数的增加，

平均值的标准差越来越小，测量精密度越来越高。但当测量次数n?10以后，次数对平均值标准差的降低效果很小。如图2-3所示。所以，不能够单纯通过增加次数来提高测量精度。在科学研究中测量次数一般取10～20次，而在大学物理实验中一般取5～10次。

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当测量次数有限时，根据式（2-9）与式（2-10），算术平均值的标准差可由下式进行估计

nn?x?Sx???x?x?ii?12n?n?1???vi?12in?n?1? （2-11）

本教材中，就是采用（2-9）和（2-11）式来计算直接测量量的标准差。

2．2 仪器误差的处理

仪器误差属于未定系统误差，它是由多种因素引起的，规律比较复杂，一般只给出最大允许误差的估计值，这个估计值即为仪器的极限误差，用?仪表示。仪器的极限误差，一般由计量部门检定，具体数值可通过仪器说明书或标牌指示计算得到。有些仪器的极限误差或准确度等级无明确标示，这时，如果是数字式仪表，则可取末位数1个单位为极限误差，如果是通过刻度读数的仪器，可以取最小分度的一半作为极限误差。

2．3 直接测量的数据处理

对某一量x做等精度直接测量，得到一测量列x1、x2、?、xn，经判断无已定系统误差和粗差后，对该直接测量列的处理主要包括以下几方面：

一、最佳估计值

根据前面的讨论，算术平均值

i?1?xinnx? （2-12）

可以做为直接测量量的最佳估计值。

二、不确定度评定

1、A类不确定度

直接测量量的标准不确定度A类分量用算术平均值的标准差估计公式计算，即

uA??x???x?x?ii?1n2n?n?1???vi?1n2in?n?1? （2-13）

2、B类不确定度

本课程只考虑仪器误差的影响，标准不确定度B类分量为

uB??仪??仪3 （2-14）

3、合成不确定度

假设不确定度各分量之间相互独立，则合成标准不确定度为

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22uc?uA?uB （2-15）

根据需要，有时将合成标准不确定度乘以某一倍数，得到扩展不确定度为

U?kuc （2-16） 式中的k为包含因子，它在确定的分布下与某个置信概率相对应，因此，在结果表示时应注明置信概率。一般精度要求不高时，可近似按正态分布处理，k取2～3。

三、测量结果的表示

在得到测量值和合成标准不确定度后，测量结果通常写为

（P=68.3%） （2-17） x?x?uc（单位）

相对不确定度为

E?uc （2-18） (或?100%）x如果用扩展不确定度表示，则测量结果为

（P??） （2-19） x?x?U（单位）

书写测量结果时应注意：

1．合成标准不确定度或扩展不确定度有效数字的取位

一般情况有效数字取1～2位，大学物理实验阶段，要求测量结果的不确定度有效数字取1位，为减小计算误差，中间过程的不确定度各分量有效数字可以多保留1位。相对不确定度的有效数字取2位。

按照这些约定对不确定度进行修约时，修约规则执行“1/3”原则，即如果要取舍的数字大于有效数字末位的1/3单位时，进位；否则，舍去。例如，不确定度计算数据为0.0234，有效数字取1位时，应为0.03；若为0.0232，则应为0.02。

2．测量结果有效数字的取位

测量结果有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍、大于五入、缝五凑偶”的修约规则。例如，对某长度量测量算术平均值为2.5431cm，不确定度为0.0324cm，结果表示为

L??2.54?0.03? cm （2-20）

四、直接测量数据处理步骤及举例

1、数据处理步骤

根据上面的主要内容，对直接测量列x1,x2,?,xn进行处理的步骤可归纳为：

（1）．判断测量数据中有无已定系统误差，并消除或尽量减小其影响； （2）．检验数据的合理性，发现含有粗大误差的测量数据后，将该数据剔除，再将剩余数据进行判别，直到没有粗大误差为止；（大学物理实验阶段主要在实验过程中进行判断，用统计法对数据的判断不做要求）

（3）．对经过检验无已定系统误差和粗大误差的数据，由公式（2-12）求算术平均值作为测量结果的最佳值；

（4）．求残差vi?xi?x ?i?1,2,?,n?，并由公式（2-13）计算出算术平均值的标准差?x作为不确定度A类分量uA；

（5）．根据仪器误差?仪，由公式（2-14）计算不确定度B类分量uB；

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（6）．由公式（2-15）、（2-18）求合成标准不确定度uc、相对不确定度E，必要时按公式（2-16）求出扩展不确定度U； （7）．结果表示

（P=68.3%） x?x?uc（单位）

E?uc (或?100%）x2、数据处理举例

例2-1 用0～25mm的一级千分尺测钢球的直径6次，测量数据为

D??mm?：3.115，3.122，3.119，3.117，3.120，3.118

若千分尺的零点读数为-0.006mm（即测量端对齐时，零刻度线在准线以上），测量数据中不存在粗大误差，求测量结果。

解：

（1）．由于千分尺的零点不准，存在定值系统误差，按D??D??0.006?mm进行修正，得

D?mm?：3.121，3.128，3.125，3.123，3.126，3.124

注：也可先求算术平均值，再进行修正。 （2）．修正后直径的算术平均值D?3.1245mm 注：为防止计算误差过大，多取1位有效数字。 （3）．求不确定度A类分量

uA??D???D?D?ii?162n?n?1??0.00099mm

（4）．求不确定度B类分量

按国家计量标准，测量范围为0～100mm的一级千分尺的仪器极限误差

?仪?0.004mm，故

uB?（5）．求合成标准不确定度

?仪3?0.0023mm

???222uc?uA?uB??D??仪??0.003mm

?3?（6）．结果表示为

2?P?68.3%??D??3.124?0.003?mm? ?0.003E??100%?0.096%?0.1%?3.124?

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2．4 间接测量的数据处理

设间接测量量y与直接测量量x1,x2,?,xk的函数关系为

y?f?x1,x2,?,xk? （2-21） 各直接测量量按1．3节步骤处理后的结果为

x1?x1?u1x2?x2?u2?????xk?xk?uk

一、间接测量量的最佳值

可以证明，间接测量量的最佳值用式

y?f?x1,x2,?,xk? （2-23）

（2-22）

求得。

二、间接测量量不确定度合成

由于间接测量量y与k个直接测量量有关，因此，间接测量量的不确定度由各直接测量量的不确定度决定。如果各直接测量量之间是相互独立的，由统计理论可推出

??f???f???f??????uc?y???u?u???u??x1???x2???xk? （2-24）

?1??2??k?u?y?E?c?y??lnf???lnf???lnf??????u?u???u1?2?k???x??x??x? （2-25）

12k??????222222式中

?lnf?f及（i?1，2，?，k）称为传播系数。 ?xi?xiuc求相对不确定度E比较简y对于加减运算的函数，先用（2-24）求不确定度uc，再用

单；而对乘除运算的函数，先用（2-25）求相对不确定度E，再用E?y求不确定度uc?y?比较简单。

三、间接测量数据处理步骤及举例

1、数据处理步骤 （1）．按直接测量数据处理步骤，求出各直接测量量的测量结果x1,x2,?,xk和不确定度u1,u2,?,uk；

（2）．按公式（2-23）求间接测量量的最佳估计值y； （3）．用不确定度计算公式（2-24）和（2-25），分别求出y的不确定度uc和相对不确定度E； （4）．结果表示

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?y??y?uc?单位??E?uc?或?100%??y??P?？?

2、数据处理举例

例2-2 用一0～25mm的一级千分尺测圆柱体的直径和高度各6次，测量数据如表2-1。 表2-1 圆柱体直径和高度的测量数据 测量次数 直径d/mm 高度h/mm 1 6.075 10.105 2 6.087 10.107 3 6.091 10.103 4 6.060 10.110 5 6.085 10.100 6 6.080 10.108 若测量数据无已定系统误差和粗大误差，试求该圆柱体的体积。

解：显然，体积U为间接测量量，直径d与高度h为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。

（1）．直径d的处理

①最佳值d

i?16?di6?6.0797 mm

d?②不确定度ud

A类分量 uA?d???d???di?d?i?1626?6?1??0.0045 mm

按技术规程，所用一级千分尺的极限误差?仪?0.004 mm，则 B类分量 uB?d???仪3?0.0023 mm

2???222d的合成不确定度 ud?uA?uB??d??仪??0.0051 mm

?3?注：上述各计算结果的有效数字，都比有效数字运算规则和不确定度取位规则要求的位数多一位，目的是减小后续计算误差。以下类同。

（2）．高度h的处理

①最佳值h

i?16?hi6?10.1055 mm

h?②不确定度uh

A类分量 uA?h???h???hi?h?i?1626?6?1??0.0015 mm

按技术规程，所用一级千分尺的极限误差?仪?0.004 mm，则

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B类分量 uB?h???仪3?0.0023 mm

2???222h的合成不确定度 uh?uA?uB??h??仪??0.0027 mm

?3?（3）．体积U的处理 ①最佳值V

12?dh?293.367 mm3 4②合成不确定度uc?V? V?体积U与高度和直径之间的函数为简单乘除关系，所以选用（2-25）式先求相对不确定度E

22?uh??uuc?V???lnV???lnV????2dE???uh???ud????h??dy??h???d????2???0.0017?0.17% ??2体积的合成不确定度 uc?V??V?E?0.5 mm

3③最终结果为

V??293.4?0.5?mm3E?0.17%?P?68.3%?

2．5 数据处理的几种常用方法

数据处理是实验的重要组成部分，它贯穿于实验的自始至终，与实验操作、误差分析及评定形成一有机整体，对实验的成败、测量结果精度的高低起着至关重要的作用。

数据处理的能力，往往代表着实验者水平的高低。高明的实验者可以利用精度不高的仪器，通过选择合适巧妙的数据处理方法，如作图法、列表法、逐差法和最小二乘法等，发现极其有价值的自然规律或自然界的新事物。因此，掌握基本的数据处理方法，提高数据处理的能力，对提高实验能力是非常有用的。

一、列表法

列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。它具有记录和表示数据简单明了，便于表示物理量之间对应关系，在测量和计算过程中随时检查数据是否合理，及早发现问题及提高处理数据效率等优点。列表的要求如下：

1、简单明了，便于表示物理量的对应关系，处理数据方便。

2、表的上方写明表的序号和名称，表头栏中标明物理量、所用单位和量值的数量级等。 3、表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。 4、测量日期、说明和必要的实验条件记录在表外。 例2-2 刚体转动法测量转动惯量见表1-5-1。 表2-2 r?t对应数值表

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实验一 霍尔位置传感器测杨氏模量

一. 实验目的

1、掌握游标卡尺和螺旋测微器的使用，霍尔位置传感器的工作原理。 2、弯曲法测量黄铜的杨氏模量；

3、测黄铜杨氏模量的同时，对霍尔位置传感器定标； 4、用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

二. 原理

（1）霍尔位置传感器

霍尔元件置于磁感应强度为B的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I，则与这二者 相垂直的方向上将产生霍尔电势差UH：

UH?K?I?B （1）

（1）式中K为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流I不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：

dB??Z （2） dZdB（2）式中?Z为位移量，此式说明若为常数时，?UH与?Z成正比。

dZ?UH?K?I? 为实现均匀梯度的磁场，可以如图1所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N极与N极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。当霍尔元件偏离中心沿Z轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（?2mm），这一对应关系具有良好的线性。 （2）杨氏模量

杨氏模量测定仪主体装置如图2所示,在横梁弯曲

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的情况下，杨氏模量Y可以用下式表示：

d3?Mg Y?；

4a3?b??Z其中：d为两刀口之间的距离，M为所加砝码的质量，a为梁的厚度，b为梁的宽度，?Z为梁中心由于外力作用而下降的距离，g为重力加速度。

其中：1.铜刀口上的基线 2.读数显微镜 3.刀口 4.横梁 5.铜杠杆（顶端装有95A型集成霍尔传感器） 6.磁铁盒 7.磁铁（N极相对放置） 8.调节架 9砝码

三. 技术指标

（1）读数显微镜

型号 JC?10型

放大倍数 20

分度值 0.01mm 测量范围 0～6mm （2）砝码 10.0g、20.0g （3）三位半数字面板表 0～200mV (4)测量仪放大倍数 3---5倍

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四. 实验步骤

1、 将水平仪放在实验装置上，然后调节底座箱的水平螺丝旋，将实验装置调节水平。 2、将横梁穿在砝码铜刀口内，安放在两立柱刀口的正中央位置。接着装上铜杠杆，将有传感器一端插入两立柱刀口中间，该杠杆中间的铜刀口放在刀座上。圆柱型拖尖应在砝码刀口的小圆洞内，传感器若不在磁铁中间，可以松弛固定螺丝使磁铁上下移动，或者用调节架上的套筒螺母旋动使磁铁上下微动，再固定之。注意杠杆上霍尔传感器的水平位置（圆柱体有固定螺丝）。

3、将铜杠杆上的三眼插座插在立柱的三眼插针上，用仪器电缆一端连接测量仪器，另一端插在立柱另外三眼插针上；接通电源，调节磁铁或仪器上调零电位器使在初始负载的条件下仪器指示处于零值。大约预热十分钟左右，指示值即可稳定。

4、调节读数显微镜目镜，直到眼睛观察镜内的十字线和数字清晰，然后移动读数显微镜使通过其能够清楚看到铜刀口上的基线，再转动读数旋纽使刀口点的基线与读数显微镜内十字刻线吻合。

5、用直尺、游标卡尺和螺旋测微器分别测量两刀口的间距、铜梁梁的宽度和厚度。然后记录下数据。

测量次数 d（cm） a（mm） b（cm） 1 2 3 4 5 平均值 6、放上砝码，调节读数显微镜，使视场中十字线与铜片刀口的基线重合。这时读出鼓轮对应的刻度Zi，算出横梁的下降量?Z，同时记录下仪器显示的数值Ui。

Z0??

M/g Zi/mm Ui/mU 7、用逐差法对表2的数据算出样品在M?10.00g的作用下产生的位移量?Z。 8、带入公式求铜的杨氏模量，并做U?Z图得到线性系数K??U。 ?Z9、换上铁梁，重复5。

10、加砝码，记录先仪器显示的电压，应用线性系数K来得到下降的位移量?Z。 11、计算铁的杨氏模量。

五. 注意事项

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1、梁的厚度必须测准确。在用千分尺测量黄铜厚度a时，将千分尺旋转时，当将要与金属接触时，必须用微调轮。当听到答答答三声时，停止旋转。有个别学生实验误差较大，其原因是千分尺使用不当，将黄铜梁厚度测得偏小；

2、读数显微镜的准丝对准铜挂件（有刀口）的标志刻度线时，注意要区别是黄铜梁的边沿，还是标志线；

3、霍尔位置传感器定标前，应先将霍尔传感器调整到零输出位置，这时可调节电磁铁盒下的升降杆上的旋钮，达到零输出的目的，另外，应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些；

4、加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达到稳定值，节省了实验时间；

5、实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有，应矫正。

六. 思考题

1、如果仪器无法调节到零，应怎样调节实验装置？

2、霍尔探头如果不在磁铁的之间，是否可以测量，为什么？

附录：

固体、液体及气体在受外力作用时，形状与体积会发生或大或小的改变，这统称为形变。当外力不太大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长变、切变和体变三种。

一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力F，其长度l发生改变

?l，以S表示横截面面积，称

定律有：

F?l为应力，相对长变为应变。在弹性限度内，根据胡克SlF?l?Y? SlY称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。

d3?Mg以下具体推导式子： Y?；

4a3?b??Z在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，所以整体说来，可以理解横梁发生长变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。

如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为dx的一小段：

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设其曲率半径为R(x)，所对应的张角为d?，再取中性面上部距为y厚为dy的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为(R(x)?y)?d?，所以，变化量为：

(R(x)?y)?d??dx

又 d??dx； R(x)ydx?dx??dx； R(x)R(x)所以 (R(x)?y)?d??dx?(R(x)?y)所以应变为： ???y； R(x)根据虎克定律有：

dFy??Y； dSR(x)又 dS?b?dy；

所以 dF(x)??Y?b?ydy； R(x) 39

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