高考数学专题提升训 - 选修4-4坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程

A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)

1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 5π

解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－6. 5π??

23，－?答案 6???

?x＝sin α，

2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?(α为参数)，

y＝cos α＋1?若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________． 解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ

π???π?3．在极坐标系中，点P?2，－6?到直线l：ρsin?θ－6?＝1的距离是________．

????解析 依题意知，点P(3，－1)，直线l为：x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1. 答案

3＋1

π??π??

3，4，???4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，则△AOB(其3?，?6???中O为极点)的面积为________．

1π?ππ?1

解析 由题意得S△AOB＝2×3×4×sin?3－6?＝2×3×4×sin 6＝3.

??答案 3

?x＝－1－t，

5．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程?(t为参数)所表示的图形分别

?y＝2＋3t是________．

解析 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， ∴x2＋y2＝x，

1?1?整理得?x－2?2＋y2＝4，

??∴所表示的图形为圆．

?x＝－1－t，?x＋1＝－t，

由?得? ?y＝2＋3t?y－2＝3t，消t得3x＋y＋1＝0， ∴所表示的图形为直线． 答案 圆，直线

5??x＝t2，?x＝5cos θ，6．已知两曲线参数方程分别为?(0≤θ<π)和?4(t∈R)，它

?y＝sin θ??y＝t

们的交点坐标为________．

x22

解析 消去参数θ得曲线方程为5＋y＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分．消4

去参数t得曲线方程为y2＝5x，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立?25?

?. 两方程，解得交点坐标为?1，

5???25?

? 答案 ?1，

5??

?x＝tcos α，?x＝4＋2cos φ，

7．直线?(t为参数)与圆?(φ为参数)相切，则此直线

?y＝tsin α?y＝2sin φ的倾斜角α＝________________.

解析 直线y＝xtan α，圆：(x－4)2＋y2＝4，21如图，sin α＝4＝2， π5π∴α＝6或6. π5π

答案 6或6

8．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半

轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

解析 将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案 x2＋y2－4x－2y＝0

2

?x＝8t，

9．已知抛物线C的参数方程为?(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛

?y＝8t

物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.

解析 消去参数t得抛物线C的标准方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意得r＝答案

2

|4－2|

＝2. 2

10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1交点的极坐标为________．

解析 ∵ρ＝2sin θ，∴x2＋y2＝2y.

∵ρcos θ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1,1)，∴交点的极3π??

坐标为?2，4?.

??3π??

答案 ?2，4?

??

?x＝cos α，

11．已知圆C的参数方程为?(α为参数)，以原点为极点，x轴正半

?y＝1＋sin α轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C交点的直角坐标为____________．

解析 圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1， 直线l的直角坐标方程为y＝1.

22

?x＋?y－1?＝1，?x＝－1，?x＝1，???或? ?y＝1?y＝1?y＝1.

∴l与⊙C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)． 答案 (－1,1)，(1,1)

12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．

解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.

?x＋y＝1，?x＝0，π??

联立方程组?得?则交点为(0,1)，对应的极坐标为?1，2?.

???y－x＝1?y＝1，π??

答案 ?1，2?

??

13．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相π

同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，它与曲线?x＝1＋2cos α，?(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________. ?y＝2＋2sin α

π

解析 极坐标方程θ＝4(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y＝x，?x＝1＋2cos α，?(α为参数)?(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2) ，r＝2.圆心到?y＝2＋2sin α直线y＝x的距离d＝答案

14

|1－2|2

＝2，|AB|＝2r2－d2＝2 2

14－2＝14.

π??

14．(2013·北京卷)在极坐标系中，点?2，6?到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

??π??

解析 极坐标系中点?2，6?对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线

??ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y＝2，∴点到直线y＝2的距离为d＝1. 答案 1

π??

15．圆心为C?3，6?，半径为3的圆的极坐标方程为________．

??解析 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)， π

则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－6， |OA|＝2×3＝6， 在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|×cos∠POA，

?π?

∴ρ＝6cos?θ－6?.

??

?π?∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos?θ－6?.

???π?

答案 ρ＝6cos?θ－6?

??

B组(供高考题型为解答题的省份使用)

π??

1．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C?2，3?，半径R＝5，求圆C的极

??坐标方程．

π??

解 将圆心C?2，3?化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为

??(x－1)2＋(y－3)2＝5.

再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， ?π?化简得ρ2－4ρcos?θ－3?－1＝0.

??此即为所求的圆C的极坐标方程．

2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2

?x＝?2t＋1，?2??y＝2t，

求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

解 曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.

2

?x＝?2t＋1，

直线l的参数方程?

2?y＝?2t，圆心(2,0)到直线l的距离为长为2

1

4－2＝14.

化为普通方程为x－y－1＝0，曲线C的

12

＝2，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦2

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