2013年徐汇区中考二模数学试卷+答案

2012学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

初三年级数学学科

（时间100分钟 满分150分）

考生注意∶

1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是 Ａ．6； Ｂ．；

Ｃ．；

Ｄ．．

2013.4

2．将抛物线y (x 2)2向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为

Ａ．y x2； Ｂ．y x2 2；Ｃ．y (x 2)2 2； Ｄ．y (x 2)2 2． 3．如果关于x的一元二次方程x 2x m 1 0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是

Ａ．m＞2； Ｂ．m＜2； Ｃ．m＞2且m 1；Ｄ．m＜2且m 1． 4．下列一组数据： 2、 1、0、1、2的平均数和方差分别是

Ａ．0和2； Ｂ．0和2； Ｃ．0和1； Ｄ．0和0．

5．下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是 Ａ．四边相等； Ｂ．对角线相等；

Ｃ．对角线平分一组对角； Ｄ．对角线互相平分且垂直．

6．在 ABC中，AB AC 2， A 150 ，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是

Ａ．相离； Ｂ．相切； Ｃ．相交； Ｄ．无法确定． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：

2

1x ． x 1x 1

8．计算：2a(3a 1) _______． 9．方程x 1

x 1的解是

2

，那么f( 1) ▲ . 2 x

10．已知函数f(x)

11．如图1，点A在反比例函数的图像上，那么该反比例函数的解析式是

12．如图2，在 ABC中，中线AD和BE相交于点G，如果AB a，AC=b，那么向量

AG

13．如图3，AB∥CD，CB平分 ACD，如果 BAC 120 ，那么cosB ． 14角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是___▲_____． 15．为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年级学生中，随机抽取

50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除[90,100]

▲ （填百分数）．

16．如图4，⊙O半径为5， ABC的顶点在⊙O上，AB AC，AD BC，垂足是D，

cotB 2，那么AD的长为 17．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是

x 2, x 2,

或 ，

y 4 y 4

试写出一个符合要求的方程组__________▲ _____________（只需写一个）． 18．在Rt ABC中， C 90 ，sinA

4

，将 ABC绕点A

旋转后，点C落在射线BA上，5

点B落到点D处，那么sin ADB的值等于 ▲ ．

O

（图3） （图2） （图4）

三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；

满分78分） 19．（本题满分10分）

计算：( 2) cot30

1

() 2． 2 2

1

20．（本题满分10分）

2(x 4) 3x 2

解不等式组： ；并将解集在数轴上表示出来． 1 x

x 1 3

21．（本题满分10分，每小题5分）

销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数 量y（件）与商品单价x（元∕件）的函数关系的图像如图5所示中的线段AB. （1）求y关于x的函数关系式；

（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？

x 22．（本题满分10分，每小题5分）

如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD AB，AB 3，BD 4，CD 2.

求：（1）tan CAB的值； （2） AOD的面积.

（图6） 23．（本题满分12分）

如图7，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N.

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （4分）

2

（2）如果AD AB AF，求证：CM AB DM CN. （8分）

（图7）

24．（本题满分12分）

抛物线y ax2 bx（a 0）经过点A(1)，对称轴是直线x 2，顶点是D，与x 轴正半轴的交点为点B．

（1）求抛物线y ax2 bx（a 0）的解析式和顶点D的坐标； （6分） （2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的⊙N和

以MB为半径的⊙M相切时，求点M的坐标． （6分）

25．（本题满分14分）

如图8，在Rt ABC中， CAB 90 ，AC 3，AB 4，点P是边AB上任意一点，

过点P作PQ AB交BC于点E，截取PQ AP，联结AQ，线段AQ交BC于点D，设AP x，DQ y．

（1）求y关于x的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ，当 CDQ和 ADB相似时，求x的值； （5分）

（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个

交点在边AB上时，求AP的长． （5分）

（图8） （图9）

P

P 9

4

（备用图）

2012学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初三年级数学学科参考答案和评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．B； 6．B． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）

231 1 7． 1； 8．6a 2a； 9．x1 1或x2 2； 10．； 11．y ； 12．a b；

3x33

2

13．

y 2x,22；14．；15．38﹪；16．2；17．不唯一，如 等； 18．或．

5255 xy 8;

三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14

分，满分78分）

19. 解：原式 1 3 2 4…………………………………………………（8分）

2 3……………………………………………………………………（2分）

20．解：由不等式（1）解得x＜2………………………………………………………（3分）

由不等式（2）解得x≥1…………………………………………………………（3分） ∴原不等式组的解集是1≤x＜2 ……………………………………………（2分） 图正确．……………………………………………………………………………（2分） 21．解：（1）设y关于x的函数关系式为y kx b(k 0)．…………………………（1分）

由题意，得

30k b 100,

……………………………………………（2分）

50k b 20;

解得，

k 4,

……………………………………………………………（1分）

b 220;

∴ y关于x的函数关系式为y 4x 220． …………………………（1分） （2）设该商品的单价应该定x元．………………………………………………（1分）

由题意，得x( 4x 220) 2400…………………………………………（1分） 化简整理，得x 55x 600 0．………………………………………（1分） 解得，x1 40，x2 15． ………………………………………………（1分）

2

经检验，x2 15不合题意，舍去；………………………………………（1分）

答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．

BOAB3

． ……………………………………（2分） DOCD2312

∵BD 4，∴BO 4 ．………………………………………（1分）

55

在Rt ABO中， ABO 90 ，

BO4

．…………………………………………………（2分）∴tan CAB AB5

128

…………………………………………（2分）（2）∵DO BD BO 4 55

11812

∴S AOD AB DO 3 ．…………………………………（3分）

2255

23．证明：（1） ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC AB；…………………………………………（2分） ∵BE AB，∴DC BE；…………………………………………（1分） 又DC∥BE，

∴四边形DBEC是平行四边形．………………………………………（1分）

ADAF2

（2） ∵AD AB AF，∴，………………………………（1分） ABAD

又 A A，∴ ADB∽ AFD，∴ ADB DFA； ……（1分） ∵DC∥AB，∴ CDF DFA；………………………………（1分） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴ ADB DBC；（1分） ∵四边形DBEC是平行四边形，∴CE∥DB，∴ MCN DBC；（1分） ∴ MCN CDF；…………………………………………………（1分）

CMCN

又 CMN DMC，∴ CMN∽ CMD，∴，…（1分） DMDC

CMCN

∵DC AB，∴， DMAB

∴CM AB DM CN．………………………………………………（1分）

22．解：（1）∵AB∥CD，∴

9

a b , 4

24．解：（1）由题意，得 ，…………………………………………………（2分）

b 2; 2a

3

a ,解得 4 ……………………………………………………………（2分）

b 3;

∴y

32

x 3x ………………………………………………………（1分） 4

∴顶点D(2,3)． …………………………………………………………（1分） （2）设⊙M的半径为r．

由题意，可得C(0,3)，N(1,3)，∴⊙N的半径为1；B(4,0)；……（2分） 当⊙M和⊙N相切时，分下列两种情况：

1 当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，

可得32 (4 r 1)2 (r 1)2． 解得r

1715

，∴M(,0)．……………………………………………（2分） 88

2 当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO的延长线上，

可得32 (r 1 2)2 (r 1)2．

171

，∴M( ,0)．…………………………………………（2分） 44

151

2 ，当⊙M和⊙N相切时，M(,0)或M( ,0)． 综合1 、

84

25．解：（1）过点D作DM AC，垂足为M．

解得r

由题意，可知 APQ是等腰直角三角形，∴AQ 易得 CMD∽ CAB，∴

2x；……………（1分）

CMCA3

； DMAB4

312

，DM AM 77

设CM 3x，DM 4x，∴AM 4x，∴x ∴AD

12

2……………………………………………………………（1分） 712

2．………………………………………………………（1分）∴y 2x 712

定义域是：≤x≤4 ．………………………………………………（1分）

7

（注：其它解法参照评分．）

（2）∵ CDQ ADB，∴当 CDQ和 ADB相似时，分以下两种情况：（1分）

1 当 QCD B时，∴CQ∥AB，易得四边形CAPQ是正方形；

∴x AP AC 3． …………………………………………………（2分）

CDQD

， ADBD

1520

由上述（1）的解法，可得CD ，BD

772 当 QCD QAB时，∴

∴

121520252

2y ，∴y ； 77714

7122

，解得x ．………………………………（2分） 2

2714

7

． 2

∴2x

2 ，当 CDQ和 ADB相似时，x的值为3或 综合1 、

（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N． ∴BC QM,QN MN.易得 BMN∽ CAB， QPM∽ CAB，

MNAC3 ，设MN 3t，BN 4t，∴BM 5t； …（1分） BNAB4

724

t；∵BQ BM 5t，∴BP t； …（1分） ∴QM 6t，∴PQ

55

2024247

t，∴t t 4，解得t 又AP PQ ； ……………（2分）

31555

242096 ∴AP ．…………………………………………………（1分） 53131

∴

B

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