数值积分论文

目录

1.数值积分的历史 .................................................................................................................... 3 1.1数值积分的起源 ............................................................................................................. 3 1.2数值积分的经典方法 ..................................................................................................... 3 1.3著名数学家—辛普森 ..................................................................................................... 3 2.常用的数值积分方法 ............................................................................................................ 4 2.1插值型求积公式 ............................................................................................................. 4 2.2Newton-Cotes公式 .......................................................................................................... 5 2.2.1梯形公式 .................................................................................................................. 5 2.2.2 Simpson 公式 .......................................................................................................... 5 2.2.3柯特斯公式 .............................................................................................................. 6 2.2.4 牛顿—柯特斯公式 ................................................................................................. 6 2.3复合求积公式 ................................................................................................................. 7 2.3.1复合梯形公式 .......................................................................................................... 8 2.3.2 复合的辛普森公式 ................................................................................................. 8 2.3.3 复合的柯特斯公式 ................................................................................................. 9 2.4逐次分半技术与龙贝格公式 ....................................................................................... 10 2.4.1梯形公式的递推化 ................................................................................................ 10 2.4.2龙贝格公式 ............................................................................................................ 10 2.5高斯型求积公式 ........................................................................................................... 12 2.5.1高斯—勒让德求积公式 ........................................................................................ 14 2.5.2高斯—切比雪夫求积公式 .................................................................................... 14 2.5.3Gauss-Laguerre求积公式 .................................................................................. 15 2.6奇异积分的数值计算 ................................................................................................... 15 2.6.1反常积分的计算 .................................................................................................... 15 2.6.2无穷区间积分的计算 ............................................................................................ 16 2.7振荡函数的积分 ........................................................................................................... 17 2.7.1分部积分公式 ........................................................................................................ 18

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2.7.2 Filon法 ................................................................................................................... 19 3.数值积分在Matlab中的应用 ............................................................................................ 20 参考文献 ................................................................................................................................. 26

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1.数值积分的历史

1.1数值积分的起源

数值积分是求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分的方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如牛顿，欧拉，高斯等人也在数值积分这个领域做出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。

1.2数值积分的经典方法

构造数值积分最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿—柯特斯公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式，但他们的精度很差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练，计算结果准确，使用方便，稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯求积公式进行计算，他在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。

1.3著名数学家—辛普森

辛普森（1710.8.20—1761.5.14）是英国著名的数学家，他生于英格兰列斯特郡，并卒于当地。他的父亲是一位纺织工人，所以它主要靠自己自学成才，而他的第一份工作也是纺织。但他对数学的兴趣最初是由一次日蚀所引发的。他在一位占卜师的指导下，学会了算术和基本的代数。其后，他放弃了纺织的工作，而当了一个学校的司阍，凭借他刻苦而持久的努力，他证明了他在数学方面的能力，以至于1735年它能够解决数个有关微积分的问题。

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1737年他便开始撰写有关数学的文章。在1754年他成了《淑女日记》的编辑，其后他到了伦敦的乌尔威治并出任数学教授一职，直至逝世。

辛普森最为熟知的贡献是他在插值法方面及数值积分法方面，事实上他在概率方面也有一定的工作。他在1740年推出他的《The Nature and Law of Chance》,而大部分他在这方面的结果也是建基于棣莫弗早期的结果。另外，当时有一群讲师巡回在伦敦咖啡屋讲学，而辛普森是其中最突出的一位，他钻研有关误差理论，并且试图证明算术平均数比单一观察较佳，Simpson公式就是他的代表定理。

在辛普森之后，很多后人都在他的基础上不断完善Simpson公式，使其公式越来越完备。其中，华罗庚，王元的著作《数值积分及其应用》中，就使用数论的方法研究辛普森公式，在其研究中，假设f?x?是在?a,b?内定义了的函数，以后如果用到n次微商，假定f?x?有n次微商。

2.常用的数值积分方法

2.1插值型求积公式

在?a,b?上，用以

xk为节点的n次Lagrange插值多项式

L?x?作为f?x?的逼近函数，

n即可得到插值型求积公式：

?f?x?d?x???L?x?d?x?

naabb??fk?0n?x??l?x?d?x?

kkab即

?f?x?d?x???Af?x?

abnk?0kkA??l?x?d?x?

kkabx?x??x?x???x?x??x?x???x?x????d?x? ????????xx??xx??xx??xx??xx?bo11k?1k?1knakokkk?1kk?1kn4

插值型积分公式具有n次代数精度，且

Ak?0时公式是稳定的。

2.2Newton-Cotes公式

2.2.1梯形公式

过x0?a,x1?b两点做一次朗格朗日插值多项式

L1(x)?x?bx?af(a)?f(b) a?bb?a?bab?x?bx?ab?a?L1?x?dx???f?a??f?b??dx?f?a??f?b??，用L1?x?代替?aa?bb?a2??b?a·····························（2.2.1） f?a??f?b??·?a2bf?x?dx?Af?x??Af?x?其中A=A=（2.2.1）上式称为梯形公式，也可改写为?a010101b?a 2f?x?得：?f?x?dx?b2.2.2 Simpson 公式

把区间?a,b?二等分，h?b?aa?b，取x0?a，x1?a?h?，x2?a?2h?b三22点，做二次拉格朗日插值多项式

L2?x??f?x0??x?x1??x?x2??fx?x?x0??x?x2??fx?x?x0??x?x1??1??2??x0?x1??x0?x2??x1?x0??x1?x2??x2?x0??x2?x1?另x?x0?th，则

?ba2??t?1??t?2??fxt?t?2??fxt?t?1??hdt?hfx?4fx?fx

L2?x?dx???f?x0??1??2??1??2????0??02?123??用

L2?X?代替f?x?，则得?af?x?dx??f?x0??4f?x1??f?x2??或

f?x?dx?b?a?f?a??4f?6???a?b??fb·······························（2.2.2） ??????2??5

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