八年级数学下册1.1.2直角三角形的性质和判定(I)同步练习湘教版

1.1.2直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

同步练习

一、选择题(本大题共8小题)

1. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm

2. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm

3. 等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( ) A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )

A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC

5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( ) A.0°＜∠B＜15° B.∠B=15° C.15°＜∠B＜30° D.∠B=30°

6. 等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( ) A.30° B.30°或150° C.120°或150°D.30°或120°或150°

7. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )

A.25° B.30° C.45° D.60°

二、填空题(本大题共6小题)

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.

1

9. 在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=

1AB,那么∠B=__________. 210.如图，AC=BC=6cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ______ ．

11. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.

12.在△ABC中，已知∠A=

11∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长是 。 2313. 如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，则CD的长是 .

三、计算题(本大题共4小题)

14. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.

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15. 如图△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=

16. 如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？

1AB． 4解

17. 已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题) 1. D

分析：首先根据角的比的关系可以判断三角形是直角三角形，从而根据中线性质得到最长边的长度。

解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC是直角三角形，根据直角三角形中线性质可得斜边AB为8 cm，故选D。

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2. C

分析：根据直角三角形中一角为30°的性质可解答。 解：在Rt△ABC中

∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°

∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等）∵AD=2cm 在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm

在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm∴AB的长度是8cm．故选C. 3. B

分析：根据等角三角形的角的关系进行计算可得顶角大小，从而根据直角三角形一锐角为30度的性质可的高长。 解：

设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则 2x+4x=180°，解得x=30°， 则顶角是120°，

如右图，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴AD= 4. A

分析：根据直角三角形一直角为30度的性质可得。

解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，∠B=30°所以AB=2AC ，故选A。 5. D

分析：根据直角三角形中角平分线的性质可得到答案。

解：解；过点D作DE⊥AB， ∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线， ∴ED=CD， ∵BD：DC=2：l，DE⊥AB， ∴BD/E =2/1 ， ∴∠B=30°． 故选D． 6. D

分析：分两种情况进行讨论解决。

解：（1）腰上的高是“腰”长的一半 ----->顶角＝30°或150° (在直角三角形中,30度所对的边为斜边的一半) （2）腰上的高是“底边”长的一半 --->底角＝30° 顶角=120。故选

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1AB=5．故选B． 2D。 7.B

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质和三角形的外角性质得到∠B=2∠A,从而不难求得∠A的度数。 解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线， ∴AE=CE， ∴∠A=∠ACE，

∵△CED是由△CBD折叠而成， ∴∠B=∠CED，

∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A， ∴∠B=2∠A， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=30°．

故答案为：30．故选B. 二、填空题(本大题共6小题)

8.

分析：根据直角三角形斜边中线性质可解答得到。 解：解：∵D为AB的中点，AB=8， ∴AD=4，

∵DE⊥AC于点E，∠A=30°， ∴DE=

AD=2，

故答案为：2．

9.分析：根据三角的关系可以判断三角形为直角三角形，再根据斜边与直角边的关系得到。 解：因为∠A+∠B=∠C，所以∠C=90，又因为AC=

1AB，所以∠B=30。 25

10.

分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 解：∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC=15°，

∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°， ∵AD⊥BC， ∴AD=

12AC=12×6cm=3cm． 故答案为3cm． 11.

分析：根据直角三角形一直角为30度的性质解得。

解：

如图，

∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB， 而BC=4米，∴AB=8米，

∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米． 故答案为：12．

12.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， ∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°. ∵AB=8 cm，∴BC=4 cm. 故最短的边的长是4 cm.

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13.

分析：在Rt△AEC中，由于

CE1= ，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，AC2从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD． 解：在Rt△AEC中，∵2CE=AC， ∴∠1=∠2=30°. ∵AD=BD=4， ∴∠B=∠2=30°.

∴∠ACD=180°-30°×3=90°. ∴CD=

1AD=2. 2三、计算题(本大题共4小题)

14.

分析：由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=

11AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=AB=BM，则22CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点， ∴CM=

1AB=BM. 21AB=BM. 2∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴CB=

∴CM=CB.

∵D为MB的中点， ∴CD⊥BM， 即CD⊥AB.

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15. 分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC=质解答即可得证． 证明：∴BC=∵CD是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=60°， ∴∠BCD=30°，

1AB，再求出∠BCD=30°，再次利用性21AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半）， 21BC， 21∴BD=AB．

4∴BD=

16. 解

分析：根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC的长度，再根据两个方位角可证明AB=BC，然后AB与BD相加即可得解。 解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°. 在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°. ∴AB=BC=2BD.

∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里， ∴BD=80海里. ∴AB=BC=160海里. ∴AD=160+80=240(海里).

因此船从A到D一共走了240海里.

17.

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解：取CD的中点E,连接AE, ∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°. ∵E是CD的中点,CD=2, ∴AE=

12CD=DE=CE=12×2=1. ∵BD=1,∴BE=CD. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. 又∵AB=AC,

∴△ABE≌△ACD（SAS）. ∴AD=AE=1=

12CD. 又∵∠CAD=90°, ∴∠C=30°.

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