场论基础

场论基础

附1 Hamilton 算子?

在直角坐标系中定义Hamilton 算子?为

??i??x?j??y?k??z （附1.1）

这里，?既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘(?)运算和叉乘(?)运算。

附1.1 梯度运算gradu??u

对于一个标量场u(x,y,z)，我们定义相关的梯度运算为

gradu??u?i?u?x?j?u?y?k?u?z （附1.2）

那么标量函数u(x,y,z)的梯度运算结果gradu为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数u(x,y,z)的方向导数

?u?n???u?x?x?n?u?x??u?y?y?n?u?n，我们有

??u?y?u?z?z?ncos(n,y)??u?zcos(n,z) cos(n,x)??j?u?y （附1.3）

?(i?u?x?k?u?y)?(inx?jny?knz)?n?gradu因此有

?u?n ?graducos(?u,n) （附1.4）

?u?n从中可以看到，当单位向量n的方向和梯度gradu的方向一致时，取到极大值，

而极大值就为gradu。这就是说，梯度gradu为函数u(x,y,z)变化最快的方向，也是等值函数u(x,y,z)?C的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度gradu的定义和坐标系是无关。梯度gradu在数值计算方法中有很重要意义。

附1.2 散度运算divA???A

对于一个向量场A(x,y,z)，沿某一个曲面S的通量定义为

????A?ndS (附1.5)

S更进一步，如果S是个封闭曲面，其所包围的区域?，体积为V，那么当

1

divA?lim?V????limS??MA?ndS (附1.6)

V?0???dV?存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域?退化成一点M)。下面我们来看散度和Hamilton 算子?之间的关系。在直角坐标中，如果向量场A(x,y,z)为

A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

那么由高斯公式

??

???SA?ndS????Pdydz?Qdxdz?RdxdyS??P?Q?R?????????dV?x?y?z???

根据中值定理

?????P??x??Q?y??R??V ?z?M*其中M*为区域?中某一点，当V?0时，M*?M，所以

??P?Q?R?????V?y?z????xlim?limV?0VV?0 V??P?x??Q?y??R?z

从而有

divA???A （附1.7）

而高斯公式也可以表示为

???SA?ndS????divAdV? （附1.8）

特别地，当在区域?内恒成立??A?divA?0时，则??0。这样的场我们称之为无源场。

在平面坐标系中，我们记通量为

????Ads

nl其中An为向量A在曲线l外法线n的方向上的分量。曲线l的外法线方向为

n?cos(l,x)i?cos(l,y)j?dydsi?dxdsj

容易得到 nx?dyds,ny??dxds,nz?0

在三维问题中若记?为单位高的柱体，R?0，则

A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j

而式(附1.5) 、(附1.6) 和(附1.8) 变为

2

????A?nds????Pdy?Qdx (附1.9)

ll divA?lim?S?MS???A?nds (附1.10) lilmS?M??dxdyS??Pdx?Qdx?l??(?P?x??P?x)dxdy (附1.11)

因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。

附1.3 旋度运算 rotA???A

对于一个向量场A(x,y,z)，沿某一个封闭曲线l的环量定义为

W?

??A?ds (附1.12)

l在直角坐标中，如果向量场A(x,y,z)为

A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

那么环量为

W???Pdx?Qdy?Rdz

l如果M为向量场中某一点，在M点上有一个固定的方向n，以n为外法线取一个小曲面S，曲面S的面积为?，曲面S的封闭边界为l，l的正向与n一起构成右手坐标系。我们定义环量面密度为

??A?dl

??liml??0? (附1.13)

根据斯托克斯(G. G. Stokes)公式，

W?????A?dl???Pdx?Qdy?Rdzll??(RSSy?Qz)dydz?(Pz?Rx)dzdx?(Qx?Py)dxdyy

????(R?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)??dS根据中值定理

?W???(Ry?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)?M*?

从而有

??(Ry?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)?R?n (附1.14)

其中

R?(Ry?Qz)i?(Pz?Rx)j?(Qx?Py)k

我们称该向量为向量场A(x,y,z)的旋度，记为rotA。和标量场的方向导数类似，当外法

3

线方向n和旋度方向一致的时候，环量面密度的值最大，大小为旋度rotA的模。沿某一方向n的环量面密度为旋度rotA在该方向上的投影。斯托克斯(G. G. Stokes)公式可以表示成旋度的形式

??A?ds???rotA?ndS (附1.15)

lS把旋度记成行列式形式有

??rotA?????i??xPj??yQk???? ?z??R?

也就是说

rotA???A (附1.16)

A?0特别地当在某一区域内恒有rot

附1.4 几种比较重要的场 附1.4.1 有势场

，我们称该向量场为无旋场。

对于一向量场A(x)，存在一个单值函数u(x)使得

A(x)??gradu???u (附1.17)

我们称该向量场是一有势场，或者是一个梯度场。

性质1 向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零。

附1.4.2 管形场(无源场)

对于一向量场A(x)，如果其散度处处为零，divA???A?0，我们称该向量场是一管形场。

性质1 管形场中任意一个矢量管上两个截面的通量保持不变。 性质2 矢量场为管形场的充要条件为它是另外一个矢量场的旋度场。 附1.4.3 调和场

对于一向量场A(x)，如果恒有divA???A?0及rotA???A?0，我们称该向量场是一调和场。也就是说，调和场既无源又无旋。

根据有势场性质，向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零，所以对于调和场，一定存在势函数u，使得A?gradu，又根据定义有divA?0，因此有

div(gradu)?0 ??(?u)?0

?u?0 (附1.18)

写成Hamilton算子形式为 或者记为

其中?????为拉普拉斯(Laplace)算子, 上述方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数u称为调和函数。在直角坐标中，拉普拉斯算子为

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???22?x??22?y??22?z

在平面问题中，对于调和场， 我们可以找到一对调和函数u和v，它们满足

?u?0 ?v?0

?u?x??v?u?v (附1.19) ,???y?y?x我们称它们为共轭调和场。 附1.5 Hamilton算子性质

先引入两个关于向量的恒等式:向量的混合积和二重矢量积等式 (1)

a?(b?c)=b?(c?a)=c?(a?b) (附1.20)

证明: 设某一平行六面体三条棱分别为a,b,c, 从平行六面体的体积出发可以证明上式。 (2)

a?(b?c)=(a?c)b?(a?b)c (附1.21)

证明:

很明显m?a?(b?c)必定在b与c所在的平面, 假设

m?kb?hc

那么

m?a?k(b?a)?h(c?a)?a?(b?c)?a?0

从中可以得到

k??hc?a(b?a)

所以

m?h??(a?c)b?(a?b)c?

上式对所有的a,b,c都应成立。为了求出h的值, 我们假设a?b?i,c?j, 那么

m?a?(b?c)?i?(i?j)?i?k??jm?h??(a?c)b?(a?b)c??h[?(i?j)i?(i?i)j]?hj

比较可得h??1，从而，式(附1.21) 成立。 以下是哈密尔顿算子?的常用公式∶

1) ?(A?B)?A??B?B??A

2) ??(A?B)???(AC?B)???(A?BC)?B?(??A)?A?(??B) 3) ??(A?B)???(AC?B)???(A?BC) ?A(??B)?(A??)B?B?(?A)?(B?? )A4) ??(??A)??(??A)?(???)A??(??A)??A 5) 高斯公式 ??6) 格林公式

???SA?ndS??????AdV?

??Ads?????AdS

nlS 5

7) 斯托克斯(G. G. Stokes)公式

??A?ds?????A?ndS

lS附2 正交曲线坐标系

正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为

qi?qi(x1,x2,x3),i?1,2,3

或者

xi?xi(q1,q2,q3),i?1,2,3

沿曲线坐标线qi的微元长度(平分)为

?dsi?2??xj????dqi??j?1??qi?32??xj????q?dqi j?1?i?32如果记

Hi???xj????q? (附2.1) j?1?i?32那么

dsi?Hidqi

我们把Hi称为Lame系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为

qdq,j dSij?dsidsj?HiHdjii,?j1, 2 (附2.2)

ds2ds? dV?ds13H1H2H3dqdq2d q (附2.3) 1在直角坐标系统中一般弧线的长度为

3

ds?dx1?dx2?xd3?2222?i?1xdxid i在曲线坐标系中的长度表示为

22222?H2dq2? ds?H1dq1H3d q 3 (附2.4)

2空间中任意一点在直角坐标系中的表示为

r?x1i1?x2i2?x3i (附2.5)

其中ij为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。在曲线坐标系中

?r?qi3??j?1?xj?qiij (附2.6)

其长度为

?r?qi???xj????q??Hi j?1?i?32所以有

?r?qi?Hiei (附2.7)

其中ei为沿曲线坐标系的单位矢量。

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7) 斯托克斯(G. G. Stokes)公式

??A?ds?????A?ndS

lS附2 正交曲线坐标系

正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为

qi?qi(x1,x2,x3),i?1,2,3

或者

xi?xi(q1,q2,q3),i?1,2,3

沿曲线坐标线qi的微元长度(平分)为

?dsi?2??xj????dqi??j?1??qi?32??xj????q?dqi j?1?i?32如果记

Hi???xj????q? (附2.1) j?1?i?32那么

dsi?Hidqi

我们把Hi称为Lame系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为

qdq,j dSij?dsidsj?HiHdjii,?j1, 2 (附2.2)

ds2ds? dV?ds13H1H2H3dqdq2d q (附2.3) 1在直角坐标系统中一般弧线的长度为

3

ds?dx1?dx2?xd3?2222?i?1xdxid i在曲线坐标系中的长度表示为

22222?H2dq2? ds?H1dq1H3d q 3 (附2.4)

2空间中任意一点在直角坐标系中的表示为

r?x1i1?x2i2?x3i (附2.5)

其中ij为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。在曲线坐标系中

?r?qi3??j?1?xj?qiij (附2.6)

其长度为

?r?qi???xj????q??Hi j?1?i?32所以有

?r?qi?Hiei (附2.7)

其中ei为沿曲线坐标系的单位矢量。

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