2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学理科（四）

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）

数学 (理科)测试卷（四）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A，B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 kn-kPn(k)=Cknp(1-p)(k=0,1,2,?，n) 台体的体积公式 1V=h(S1?S1S2?S2) 3其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高 柱体的体积公式 V?Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1V?Sh 3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 43 V?πR 3其中R表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知集合P??3,4,5,6?，Q??5,7?，下列结论成立的是 （ ）

A．Q?P B．P?Q?P C．P?Q?Q D． P?Q??5? 2．已知i是虚数单位，若复数z满足(z?i)(3?i)?10，则z? （ ）

A．5 B．6 C．10 D．13 3．“???2k?(kZ?)”是“cos2??0”的 （ ）

4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件

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?

4．已知两条直线a,b，两个平面?,?．给出下面四个命题：

①a//b,a//??b//?； ②a??,b??,?//??a?b； ③a??,a//b,b//???//?； ④?//?,a//b,a???b??．

其中正确的命题序号为 （ ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．如果执行右边的程序框图，若输出的s?55，则k?（ ）

A．8

B．9 C．10 D．9或10

开始 i?1,s?1i?i?1s?s?ix2y26．设F1,F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，

ab否 i?k?是 输出s 使?F1MF2?60?，且MF1?2MF2，则双曲线离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．5

7．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女

生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）

A．20 B．40 C．60 D．80

8．?ABC中，A,B为锐角，a,b,c为其三边长，如果asinA?bsinB?c，则?C的大小为 （ ）

A．30? B．45? C．60? D．90?

9．已知正三角形ABC的顶点A(3,1),B(33,1)，顶点C在第一象限，若点M(x,y)在?ABC结束 第5题 ?????????的内部或边界，则z?OA?OM取最大值时，3x2?y2有 （ ）

A．定值52 B．定值82 C． 最小值52 D． 最小值50

?34?8x?,1?x?2,??210．定义函数f(x)??，则函数g(x)?xf(x)?6在区间[1,2n]（n?N*）

?1f(x),x?2.??22内的所有零点的和为 （ ）

3n3(2?1) D．(2n?1) 42二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

A．n B．2n C． 11． (x?18)展开式中x5的系数是 ． x12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ．

??????2a?3b?113．已知向量a,b满足，则a?b最大值为 ．

14．设点A,B分别在直线3x?y?5?0和3x?y?13?0上运动，线段AB的中点M恒在圆x2?y2?8内，则点M的横坐标的取值范围

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为 ．

15．已知f(x)?sinx?acosx，且f()?0，则当x?[??,0)时，f(x)的单调递减区间

3是 ．

16．设抛物线y2?4x的焦点为F，准线为l，A为抛物线上一点，AK?l，K为垂足，如果直线KF的斜率为?1，则?AKF的面积为 ．

17．已知f(x)是二次函数，令a1?2,a2?f(2),a3?f(a2),?,an?f(an?1)，如果数列?an?是各项为正的等比数列，则f(2)? ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． 设数列?an?的前n项的和为Sn．已知a1?6，an?1?3Sn?5n，n?N*．

（1）设bn?Sn?5n，求数列?bn?的通项公式；

（2）数列?bn?中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．

19． 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记?1分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记?2分．

（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；

（2）设X（单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求X的数学期望．

20．在四棱锥P?ABCD中， AD//BC，?ABC??APB?90?，点M是线段AB上的一点，且PM?CD，AB?BC?2PB?2AD?4BM．

（1）证明：面PAB?面ABCD；

（2）求平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．

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?PAMCBD（第20题）

x2y221．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的短轴长为单位圆C2:x2?y2?1的直径，且椭圆的

ab离心率为6． 3（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A,B两点（A,B两

点均在y轴的右侧），设B2为椭圆的短轴的下顶点，求?AB2B的最大值．

22．已知函数f(x)?x?3x?bx?c在x?1处的切线是y?(3a?3)x?3a?4．

（1）试用a表示b和c； （2）求函数f(x)??

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32yB1AOxBB2（第21题）3在?1,3?上恒成立，求实数a的取值范围． 2

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）

数学理科（四）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1． D提示：因为7?P，所以A，B，C都错． 2． D提示：由(z?i)(3?i)?10得z?3．A提示：当??10?i?3?2i，所以z?13． 3?i??2k?(k?Z)时，cos2??cos(?4k?)?0；当cos2??0时，42??2k?(k?Z)．

2444．D提示：①b可能在平面?内，所以①错；②由b??,?//?得b??，因为a??，所以a?b，②正确；③由a??,a//b,b//?可得???，所以③错；④由?//?，a??得a??，又a//b，所以b??，即④正确． 2????2k?(k?Z)，得???5．B 提示：∵S?1?2??10?55，所以i?10，故k?9．

6．B提示：由点M在双曲线上，且MF1?2MF2，则MF1?4a,MF2?2a，又

???k?，推不出????F1MF2?60?，所以在?MF1F2中，由余弦定理得16a2?4a2?2?4a?2a?cos60??4c2，解得e?3 7．B提示：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和

1?A22?A22?A22?20种．第二类：女生的排法都有A22种，所以第一类的排法总数有A22?A22?C2女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．

8．D提示：若A?B??2，则sinA?cosB,sinB?cosA，从而

sin2A?sin2B?sinAcosB?cosAsinB?sin(A?B)?sinC，这与asinA?bsinB?c矛盾；

同理A?B??2也不可能，所以A?B??2，及?C?900．

?????????C(23,4)z?OA?OM?3x?y，而kBC??3，所以9．C提示：由题意得， 因为

?????????z?OA?OM取最大值时，点M(x,y)的坐标满足3x?y?10(23?x?33)，所以

y?10?3x(23?x?33)，s?3x2?y2?3x2?(10?3x)2?6x2?203x?100，

对称轴x?53，所以s?f(x)在?23,33?上单调递增，因此当x?23时s有最小值

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10． D提示：当1?x?313时，f(x)?8x?8，所以g(x)?8(x?)2?8，此时当x?时，222g(x)max?0；当

3?x?2时，f(x)?16?8x，所以g(x)??8(x?1)2?2?0； 2由此可得1?x?2时，g(x)max?0．

下面考虑2n?1?x?2n且n?2时，g(x)的最大值的情况． 当2n?1?x?3?2n?2时，由函数f(x)的定义知f(x)?1x1xf()???n?1f(n?1)，因为22221?31，所以g(x)?2n?5(x?2n?2)2?8，此时当x?3?2n?2时，g(x)max?0；

2221当3?2n?2?x?2n时，同理可知，g(x)??2n?5(x?2n?1)2?8?0．

2n?1x?由此可得2n?1?x?2n且n?2时，g(x)max?0．

综上可得对于一切的n?N*，函数g(x)在区间[2n?1,2n]上有1个零点，从而g(x)在区

3间[1,2n]上有n个零点，且这些零点为xn?3?2n?2，因此，所有这些零点的和为(2n?1)． 2三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18． 解：因为an?1?Sn?1?Sn，且an?1?3Sn?5n，所以Sn?1?4Sn?5n，??2分 把Sn?bn?5n代入得bn?1?4bn，??3分

所以数列?bn?是首项为b1?S1?5?1，公比为4的等比数列，所以bn?4n?1．??5分

（2）假设数列?bn?中存在任意三项ai,aj,ak成等差数列．??6分

不妨设i?j?k?1，由于数列?bn?单调递增，所以2aj?ai?ak，所以

j?1i?1k?1，??9分 2?4?4?4因此2?4i?k?4j?k?1，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，??13分

所以数列?bn?中不存在不同的三项，它们构成等差数列．??14分

19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有x个，则白球有4?x个，由题设可得4x?(4?x)?10，解得x?14，??4分由x?N，得x?3或x?4，所以所求的53?0.83?0.2?0.84?0.8192．??6分 概率为P?C4（2）由题意知X可能取值分别为X?10,5,2,?3，??8分

且由每次摸球的独立性，可得：P(X?10)?0.8?0.9?0.72，P(X?5)?0.2?0.9?0.18，

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P(X?2)?0.8?0.1?0.08，P(X??3)?0.2?0.1?0.02，??12分

由此得X的数学期望为：EX?10?0.72?5?0.18?2?0.08?(?3)?0.02?8.2．??14分

20．解：（1）由AB?2PB?4BM，得PM?AB，

又因为PM?CD，且AB?CD，所以PM?面ABCD，??5分 且PM?面PAB．所以，面PAB?面ABCD。??7分

（2）由（1）可知：面DA?面PAB，延长AB与CD交于一点H， 作AN?PH，连接ND，则平面PAB与平面PCD的二面角的平面角是

?AND，??10分

在?AND中，AN?39，AD?2t， 13NP13所以sin?AND?，平面PAB与平面PCD的

4二面角的正弦值是

HDAMB13．??15分 4解法二：（1）同上； （1）如图建系，

C平面PAB的法向量为n?(1,0,0)，

zPP(0,0,3t3t),C(2t,,0),D(t,?t,0) 222A?????t3???因此PC?(2t,,t),CD?(?t,?2t,0)，??10分

22设平面PCD的法向量为m?(x,y,z)，则

DMByx?2y?0,4x?y?3z?0，

???3即可得m?(23,?3,?7)，所以cos?m,n??．

4即平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值是

xC13．??15分 4ca2?1621．解：（1）由题意知b?1，又e??，解得a2?3，所以椭圆的方程?aa3x2为?y2?1．??7分 37 《提优卷》·数学（理科）测试卷（四） 第 7 页 共 9 页

（2）由（1）得B1(0,1),B2(0,?1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y?kx?1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1??1．把y?kx?1代入C1得k1?3k2?1216k1?3k21?3kk???，由题意易知，且直线的斜率为，所以BBB(?,)k?022?6k3k1?3k21?3k21?3k2k1,k2?0，且k1?3k2，??10分

??????????又在?B2AB是直角三角形，所以?AB2B必为锐角．因为B2A与B2B的方向向量分别为

????????????????????2所以B2A?B2B?(1,k1)?(1,k2)?1?3k2，又B2A?B2B?1?k12?1?k22cos?AB2B(1,k1),(1,k2)，从而cos?AB2B?1?3k221?9k?1?k2222??12分

4k22433，当且仅当时，cos?AB2B取得最小?1??1??k?22411?10k2?9k223?9k22?102k2值3?，由?AB2B为锐角得?AB2B的最大值为．??15分 2622．解：（1）因为f?(x)?3x?6x?b，所以f?(1)??3?b?3a?3，

2f(1)?b?c?2?1，即有b?3a,c??3a?3．??5分

32（2）由（1）可知f(x)?x?3x?3ax?3a?3，x?3x?3ax?3a?3??3232， 3ax?3a??x3?3x2?9932??7分 3a(x?1)??x?3x?，，22当x?1时，成立，a?R，??8分

?x3?3x2?当x?1时，3a?92x?1?t3?3t?， 令t?x?1，3a?t552??t2?3?2 t555?2t3?2令g(t)??t2?3?2，0?t?2）g?(t)??2t?2?22（，所以， ttt5555g?(t)?0?t?()3，g?(t)?0?t?()3，g(t)max?g(()3)?3?3()3， 44448 《提优卷》·数学（理科）测试卷（四） 第 8 页 共 9 页

1112

223?1?(5，故a4)3．??14分

《提优卷》·数学（理科）测试卷（9 四）第 9 页 共 9 页53a?3?3()4

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