普通高中数学课程标准(2) - 11 - 图文

第一部分 前言 数学是研究空间形式和数量关系的科学，也是研究模式与秩序的科学。数学是描述、探索自然和社会规律的科学语言和研究工具，数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质已成为公民所必须具备的一种基本素质。

数学教育应该体现数学的价值和特点，并把当今数学发展所体现的理念适当地反映到新的高中数学课程中。

一、课程性质

高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是参加社会生产、处理日常生活的基础，也是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础，对于认识数学的科学和文化价值，形成理性思维、发展智力，培养学生的创新意识和应用意识有积极作用。

高中数学课程有助于培养学生抽取事物的数、形属性的敏锐意识，利用抽象模式、结构研究事物的思维方式，借助符号和逻辑系统进行严密演绎的探索习性；可以对学生进行美感熏陶，培养学生的审美意识；为学生的终生发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要作用。

二、课程的基本理念

通过国际比较，剖析我国数学教育发展的历史与现状，从时代需求、国民素质、个性发展、全球意识等各个方面综合思考，形成了《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）的基本理念。 1．构建共同基础，提供发展平台

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：一.在义务教育阶段之后，为我国公民适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；二.为进入高一级学校的学生提供必要的数学准备。高中数学课程由必修课程和选修课程组成，必修课程应当满足所有学生共同的数学需求；为有不同需求的学生提供了选修课程，它仍然应是学生发展所需要的基础性数学课程。 2．提供多样课程，适应个性选择

与义务教育阶段不同，高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。 《标准》应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。《标准》应为学生提供选择和发展的空间，学生可以在适当的指导下进行自主选择，初步选择以后还可以进行适当的转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据自身的条件和学生的基本需求，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。 3．有利于形成积极主动、勇于探索的学习方式

学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，《标准》还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，《标准》设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，进一步为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，发展创新意识。 4．有利于提高学生的数学思维能力

提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、反思建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，它们有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式做出思考和判断，数学思维能力在形成理性思维能力中发挥着独特的作用，有助于学生不迷信权威、不感情用事、不含糊马虎。《标准》自始至终力求体现有利于提高学生数学思维能力这一基本理念。 5．发展学生的数学应用意识

20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育（包括大学数学教育）在很长一段时间里对于数学与实际的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识。高中数学课程应提供一些基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立数学应用的专题课程。《标准》力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。 6．用发展的眼光认识“双基”

我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用和现代信息技术的发展对社会各个领域的影响，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识作为新的数学基础知识和基本技能。同时，应删减繁琐计算、人为技巧化的难题和枝微末节的内容。 7．返璞归真，注意适度的形式化

形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。但是，数学教学不能过度地形式化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，数学教学应该“返璞归真”，根据不同教学内容的要求，努力揭示数学的本质。数学课程“要讲推理，更要讲道理”，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

8．体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分，不同的民族有不同的数学传统。数学课程应适当介绍数学的历史、应用和发展趋势；数学对推动社会发展的作用；数学的社会需求；社会发展对数学发展的推动作用；数学科学的思想体系；数学的美学价值；数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用；逐步形成正确的数学观。为此，《标准》提倡在高中数学课程内容中体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化” 的学习要求，设立“数学史选讲”、“现实社会中的数学”等专题选修课程。 9．注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响。《标准》提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，注意把算法融入到数学课程的各个相关部分。提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。。 10．建立合理、科学的评价机制

数学课程的重大改变必将引起评价体系的深刻变化，评价改革应当与数学课程改革同步进行，包括评价理念、评价体制、评价内容、评价形式的改革。评价应在公平、公正的原则下，既要关注学生学习的结果，也要关注他们学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。例如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生提出、分析、解决问题等过程的评价，特别对于数学建模、数学探究等学习活动，建立相应的过程评价内容和方法。

评价的改革是这次基础教育改革的重要组成部分，应进一步解放思想，创建适合高中课程改革需要的新的评价制度。

三、课程设计思路

在《标准》制定的过程中，力求将数学课程改革的基本理念与课程框架设计、课程内容确定、课程实施建议有机地结合起来。

高中数学课程框架

1．课程框架

高中数学课程由6个系列课程构成，分别是A，B，C，D，E，F系列。A，B，C系列由若干个模块组成，每个模块2个学分(36学时)；D，E，F系列由专题组成，每个专题1学分（18学时），每2个专题组成1个模块。

课程结构如图所示：

D4 E4 F10

? C3 ?D3 E3

? C2

D2 E2 F2 B2 C1

D1 E1 F1 B1

A1 A2 A3 A4 A5

注：上图中 代表模块； 代表专题，其中2个专题组成1个模块。

6个系列的高中数学课程分为必修课程和选修课程两部分。 2．必修课程

必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括 A1， A2， A3，A4，A5五个模块。 A1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）； A2：空间几何初步、解析几何初步； A3：算法初步、统计、概率； A4：基本初等函数II（三角函数）、解三角形、数列； A5：平面向量、三角恒等变换、不等式。 3．选修课程

对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由B，C，D，E，F系列课程组成。 ◆B系列课程：由B1，B2两个模块组成。

B1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；

B2：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。 ◆C系列课程：由C1，C2，C3三个模块组成。

C1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何； C2：导数及其应用、数系的扩充与复数的引入；

C3：计数原理、统计、概率。 ◆D系列课程（文化系列课程）：由D1，D2，D3，D4等4个专题组成。 D1：数学史选讲；

D2：现实社会中的数学； D3：中学数学思想方法； D4：数学问题集锦。

◆E系列课程（应用系列课程）：由E1，E2，E3，E4等4个专题组成。 E1：优选法与实验设计； E2：统筹法与图论； E3：风险与决策；

E4：数字电路设计与代数运算。 ◆F系列课程（拓展系列课程）：由F1，F2，F3，F4，F5，F6，F7，F8，F9，F10等10个专题组成。 F1：几何证明； F2：不等式； F3：参数方程与极坐标； F4：矩阵与变换；

F5：数列与差分； F6：尺规作图与数域扩充； F7：欧拉公式与闭曲面分类； F8：初等数论初步；

F9：对称变换与群； F10：球面几何与非欧几何。 4．关于课程设置的说明

◆课程设置的原则与意图

必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求；为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

选修课程内容确定的原则是：为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础；满足学生的兴趣和对未来发展的愿望。

B系列课程是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，C系列课程则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。B，C系列是选修课中的基础性内容。

D系列课程是数学文化系列课程。是为扩展学生的数学视野，提高学生对数学文化价值的认识，并借此向社会普及数学科学而设计的。E，F系列选修课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设计的，所涉及的内容都是数学的基础性内容。D，E，F系列课程中的专题今后还将逐步地予以扩充。对于D，E，F系列课程，学生可根据自己的兴趣、志向自由选择。

◆设置了数学建模、数学探究、数学文化内容 具体要求如下：

高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想渗透在各模块内容之中，并在高中阶段至少安排一次数学建模、一次数学探究活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。

◆模块的逻辑顺序

（1）A系列课程是B，C系列课程的基础。D，E，F系列课程不依赖于其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。

（2）A系列课程中，A1是A2，A3 ，A4和A5的基础，A2，A3 ，A4和A5的开设可以不考虑先后顺序；

（3）在A系列课程的基础上，可分别学习B，C两个系列的课程。B系列课程依B1，B2顺序开设。C系列课程中，C1是 C2和C3的基础，C2和C3的开设可以不考虑先后顺序。

◆课程资源的建设与开发

学校应首先保证A，B，C系列课程的开设和质量。对于D，E，F系列课程中的专题，在满足学生基本选择需求的前提下，可以根据学校自身的情况逐步丰富和完善，教师也可以自身的条件制定在开设课程方面个人发展计划。鼓励学校开放办学，开发校外课程资源。

学生的6种最基本的选择和课程组合的基本建议

学生的志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。据此，学生可以选择不同的课程组合。课程组合的基本建议如下：

（1）学生完成10学分的必修课，即可达到高中毕业的最低数学要求。他们还可以任意选修其它的数学课程。

（2）学生完成10学分的必修课，在选修课程中任选1个模块获得2学分，即可达到高职、艺术、体育类的高等院校的数学要求。

（3）学生完成10学分的必修课，在选修课程中选修B1，B2，获得4学分，在其他选修课程中选修1个模块获得2学分，总共取得16个学分，即可达到人文社会科学类高等院校的数学要求。

（4）对数学有兴趣、并希望获得较高数学素养的学生，可在（3）的基础上，在E，F系列中选修2个模块获得4学分，总共取得20个学分，经过考试可成为升学或其他需要的依据和参考。

（5）学生完成10学分的必修课，在选修课程中选修C1，C2，C3，获得6学分，在其他选修系列课程中选修1个模块（两个专题）获得2学分，另外在E，F系列中选修1个模块（两个专题）获得2学分，总共取得20个学分，即可达到理工、经济类高等院校的数学要求。

（6）对数学有兴趣、并希望获得较高数学素养的学生，可在（5）的基础上，再在E，F系列中选修2个模块（4个专题）获得4学分，总共取得24个学分，经过考试可成为升学或其他需要的依据和参考。

课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生做出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即可转换。

《标准》中使用的主要行为动词

本《标准》的目标要求包括知识技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面，所涉及的行为动词水平大致分类如下。 目标领域 水 平 行为动词 了解，体会，知道，感知，认识，初步了解，初步体知道/了解/模仿 会，初步学会，初步理解，求（简单的） 描述，描绘，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推测，想象，理解，归纳，总结，抽象（出），提取，理解/独立操作 比较，对比，识别，判定，判断，会求，能，运用，知识与技能 初步应用，（简单的）应用，初步讨论 掌握/应用/迁移 掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题 过程与方法 反应/认同 情感态度与价值观 领悟/内化 经历，观察，感知，操作，查阅，借助（工具），模仿，分析实例，设计（问卷、装置），收集（数据），回顾，复习，梳理，整理，合作，参与，试验，交流，分析（实例），发现，尝试，研究，探索，探究，解决（问题） 感受，认识，了解，初步体会，体会（价值）， 获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥（想象力），发展，

第二部分 课程目标 高中数学课程的总目标是： 在9年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下：

1.获得必要的数学基础知识和基本技能理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用，体会其中的数学思想和方法；

2.提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；

3.在以上基本能力基础上，初步形成数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力； 4.发展数学应用意识和创新意识力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式做出思考和判断； 5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；

6.具有一定的数学视野，初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，逐步形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。

第三部分 内容标准 一、必修课程

必修课程是整个高中数学课程基础，包括5个模块，共10学分，是所有学生都要学习的内容。它的内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。 5个模块的内容为：

A1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）； A2：空间几何初步、平面解析几何初步； A3：算法、统计、概率；

A4：基本初等函数II（三角函数）、解三角形、数列； A5：平面向量、三角恒等变换、不等式。

A1是学习这五个模块的基础，其他各个模块的教学顺序，以及数学知识之间的局部交叉，应考虑数学知识的内在联系，视实际教学情况，可以进行合理的调整与安排。

必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴涵的基本思想方法，体现数学知识的发生过程和实际应用，而不在技巧、难度上做过高的要求，要保证基本知识的掌握与基本技能的形成。

A1

在本模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。 内容与要求

1．集合（4课时） （1）集合的含义与表示

①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

②针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）加以描述。 ③会用集合语言对已经学习过的某些数学对象加以描述，感受集合语言的意义和作用。 （2）集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 ②在具体情境中，了解全集与空集的含义。 （3）集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2．函数概念与基本初等函数I（32课时） （1）函数

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解这些函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；知道奇偶性的含义。 ⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参看例1）。 （2）指数函数

①通过具体实例（如：细胞的分裂，考古中所用的C14的衰减，药物在人体内残留量的变化），了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理指数幂的必要性。

②理解有理指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 ④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参看例2）。 （3）对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然（常用）对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

x ③知道指数函数y=a和对数函数y=logax互为反函数。（a>1,a≠1） （4）幂函数

23-11/2

通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x, y=x, y=x, y=x的图象，了解它们的变化情况。 （5）函数与方程

①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 （6）函数模型及其应用

①利用计算工具，对比指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用。

（7）实习作业

根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽里略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。有关要求参见数学文化的要求。 说明与建议

1．集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有知识，列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉“自然语言”、“集合语言”、“图形语言” 各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的。

2．函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入，一般有两种方法，一种方法是：先学习映射，再学习函数；另一种方法是：通过具体实例，体会数集之间的对应，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们在对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和对函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。

3．在教学中，应强调对于函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

4．指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合实例，引入有理指数幂及其运算性质，然后借助“用有理数逼近无理数”的思想，直观地描述实数指数幂的意义及其运算性质，可以让学生利用计算器或计算机的实际操作，感受这一“逼近”过程。

x5．反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释，例如可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=a和对数函数y=logax（a>1,a≠1）互为反函数。淡化对反函数的形式化定义，不要求一般地讨论反函数的定义，也不要求求已知函数的反函数。

6．在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

7．应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，如利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。 参考案例

例1 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函

o

数，它的图象大致是（ ）。

使用的臭变

氧的初始量。

（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

A2

Ocl例2 家用电器（如冰箱等）的氟化物的释放破坏了大气上层

l0氧层。臭氧含量Q呈指数函数型化

，

满

足

关

系

式

Q?Q0e?0.0025t，其中Q0是臭

在本模块中，学生将学习空间几何初步、平面解析几何初步。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形与空间性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求。在空间几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体等为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；最后对有关平行、垂直的性质与判定用数学语言进行严格的表述，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

平面解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。 内容与要求

1．空间几何初步（18课时） （1）空间几何体

①利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构。

②能画出简单立体图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的视图，会用材料将上述的视图复原为立体模型，并会用斜二侧法画出它们的直观图。

③通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解立体图形的不同表示形式。

④完成实习作业，如画出校舍某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。 ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（2）点、线、面之间的位置关系

① 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下公理。

公理：

◆如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ◆过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆平行于同一条直线的两条直线平行。

◆空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

②以空间几何的上述定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 2．平面解析几何初步（18课时） （1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何量，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）在平面解析几何的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（4）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。 ②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。 说明与建议

1．空间几何教学的重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。应在义务教育阶段有关三视图学习的基础上，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示立体图形的方法和技能。（参看例1）

2．几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以将长方体内的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。（参看例2）

3．空间几何的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行逻辑论证；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修课程C系列中将用向量方法加以论证。

4．有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，提高学生的几何直觉，为几何证明的教学提供生动的支持。教师可以指导和帮助学生运用空间几何知识选择课题，进行探究。

5．在平面解析几何的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿于平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。 参考案例

例1 如图是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积。

10cm 20cm 5cm 主视图 左视图 20cm 俯视图

例2 观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置关系，并说明理由。

A3

在本模块中，学生将学习算法、统计、概率。

算法是数学的重要组成部分，是计算理论、计算机理论和技术的基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越

来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，并作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的模型，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。 内容与要求

1．算法（12课时）

（1）算法的含义、程序框图

①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如：二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如：三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。 2．统计（16课时）

（1）随机抽样

①能从现实世界或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 ②结合具体问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。 ④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 （2）用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参看例1）。 ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布、用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识，了解新闻媒介、广告等公布的数据可能带来的误导。 （3）变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 3．概率（8课时）

（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参看例2）。 （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 说明与建议

1．算法在高中数学课程中是一个新的内容，其思想是非常重要的。但算法并不神秘，例如运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是一种算法。为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。本模块重要的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力。不应将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。

2．算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的地方，应鼓励学生尽可能上机尝试。

3．算法除作为本模块的内容之外，应该在其他有关内容中注意渗透算法思想，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。

4．教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征是通过部分的数据来推测全体数据的性质。学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的。

5．统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念（如“总体”、“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义。

6．统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。例如在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。在此基础上，教师可以引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程。对感兴趣的学生，教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。（参看例3）

7．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。（如：“中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖。”

8．古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要把重点放在“如何计数”上。

9．应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据、进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。

参考案例

例1 下面某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的比较图： 甲 乙 0 8 52 1 346 54 2 368 976611 3 389 94 4 0 5 1 根据上图对两名运动员的成绩进行比较。

（甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分比乙好。）

例2 在所示的图中随机撒一大把豆子，（可以利用计算器、计算机模拟这一过程），计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比由此估计圆周率的值，并初步体会几何概型的意义。

例3 下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表：

气温（℃） 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 （1）将上表中的数据制成散点图。 （2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗？

（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。 （4）如果某天的气温是-5 ℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数。

（当运用直线近似表示温度与杯数的关系时，学生可能选择能反映直线变化的两个点，例如（4，50），（18，24）确定一条直线；也可以取一条直线，使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同；还可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。）

A4

在本模块中，学生将学习三角函数、解三角形、数列。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和计算有关的实际问题。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。 内容与要求

1．三角函数（14课时）

（1）任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式， 能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在[-π/2，π/2]上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

22

④理解同角三角函数的基本关系式：sinx+cosx=1，sin x/cos x=tan x。

⑤结合具体实例，了解y=Asin（?x+?）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（?x+?）的图象，观察A，?，?对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 2．解三角形（8课时）

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和计算有关的实际问题。 3．数列（12课时）

（1）数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 （2）等差数列、等比数列

①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。

③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。（参见例1）

④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。 说明与建议

1．在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数的模型作用。如：通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，明确三角函数是刻画周期现象的重要模型，发展运用三角函数描述周期现象的能力。（参见例2）

2．在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问

题的能力。

3．提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。

4．弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的1/2π）。随着后继课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。

5．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，而不必在恒等变形上做过于繁琐的训练。

6．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如：教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

7．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练时，要控制难度和复杂程度。

8．在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，计算测量问题，分析y=Asin（?x+?）中参数变化对函数的影响等。在三角函数、解三角形、数列相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。 参考案例

例1 教育储蓄的收益与比较

要求学生收集有关本地区教育储蓄的信息，思考以下问题。

（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少元？ （2）依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？

（3）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？ （4）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？ （5）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？

（6）依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？ （7）依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？ （8）开放题：不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式, 以每月可存100元, 6年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较。

例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 （1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系。给出整点时的水深的近似数值。 （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）？该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

A5

在本模块中，学生将学习平面向量、三角恒等变换、不等式。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三角恒等变换在三角函数学习中有一定的作用，有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其它的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单恒等变换。

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。 内容与要求

1．平面向量（12课时）

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 （2）向量的线性运算

① 通过实例，掌握向量加减法的运算，并理解其几何意义。

② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示

① 了解平面向量的基本定理及其意义，能将平面向量表示为坐标轴上单位向量的线性组合。 ② 会用有序实数对表示平面向量。

③ 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算。 ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积

① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ② 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ③ 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

④ 能运用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些其他的实际问题的过程，体会向量是一种处理几何等问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

2．三角恒等变换（8课时）

（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

（2）能从两角差的余弦公式导出并会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 （3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

3．不等式（16课时） （1）不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （2）一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。 ②通过函数图象了解一元二次不等式与函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，尝试设计求解给定的一元二次不等式的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（参看例1） ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（参看例2）

（4）基本不等式：

ab?a?b（a,b≥0） 2①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。（参看例3、例4） 说明与建议

1．向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景就是力、速度、加速度等概念，几何背景就是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于他们理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。

2．在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。并鼓励学生独立探索和讨论交流，尝试推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。

3．一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先应求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

4．不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。

5．优化是解决实际问题的一种基本思想，线性规划是优化的具体模型之一。在本模块内容的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，但不必引入很多名词。 参考案例

例1 医生嘱咐某个病人每餐至少要摄入55克蛋白质和125克维生素C。某午餐提供肉片和蔬菜，在1克的肉片中含235毫克的蛋白质，不含维生素C；在1克的蔬菜中含33毫克的蛋白质和100毫克的维生素C。设计出符合医生要求的营养配餐。

（假设需要x克肉片，y克蔬菜，则如上问题可用不等式组来表示

235 x＋33 y≥55000，

100 y≥125000。 其中x≥0, y≥0

在平面直角坐标系中表示出上述不等式组，即得到一个平面区域。）

例2 海建是一个咖啡生产供应公司，本月该公司仓库中有4000该公司与某咖啡屋签署了生产消费合同，每月向咖啡屋供应5000

通咖啡。极品咖啡完全由精品豆研制而成，而普通咖啡则是由极品D 品咖啡的价格为98元，每千克普通咖啡的价格为64元，那么海建收益？

例3 如图，设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把它关于A AC折起，AB折过来以后交DC于点P，

B 设AB=x，求△ADP的最大面积及相应的x值。

322

例4 某工厂建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m，深度为3 m。如果池底每1 m的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

二、选修课程 B，C系列课程

在完成必修课程学习的基础上，对于希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的兴趣和需求，选择学习B、C系列课程。

B系列课程是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包含2个模块，共4学分。C系列课程则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，包含3个模块，共6学分。

B系列课程2个模块的内容分别为：

B1：常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，导数及其应用。

B2：统计案例，推理和证明，数系扩充与复数的引入，框图。 C系列课程3个模块的内容分别为：

C1：常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，空间向量与立体几何。 C2：导数及其应用，数系的扩充与复数的引入。 C3：计数原理，统计，概率。

在B、C系列的课程中，有一部分内容及要求是相同的，如常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等；有一部分内容基本相同，但要求

千克的精品豆和2000千克的普通豆。千克的咖啡原料，以制成极品咖啡和普

假如每千克极C 豆和普通豆混合制成的。

公司应该如何安排生产才能获得最大

P

不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程；还有一些不同的内容，B系列中安排了推理和证明、框图等内容，C系列安排了空间向量与立体几何、计数原理、离散随机变量及其分布等内容。

对于希望在人文、社会科学方面发展的学生，考虑到其兴趣和需求的不同、学时的限制，在B系列安排了“推理和证明”和“框图”两部分内容。这既可以加强学生对逻辑思维的认识和训练，也有助于学生今后的工作。对于选择C系列的学生，由于在他们学习的很多内容中涉及了推理和证明，强调了推理和证明的基本方法和基本训练，所以没有安排“推理与证明”和“框图”的内容。

B系列课程

B1

本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。

在必修课程学习解析几何内容的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用，开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值和作用。 内容与要求

1．常用逻辑用语（8课时） （1）命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。 （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”的含义。

（3）全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。 ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2．圆锥曲线与方程（12课时）

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单性质。

（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质。 （4）通过圆锥曲线的学习，体会数形结合的思想。 （5）了解圆锥曲线的简单应用。

3．导数及其应用（16课时） （1）导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。（参见例1、例2）

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义——切线。 （2）导数的运算

2

① 能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x的导数。

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 ③ 会使用导数公式表。（见附录） （3）导数在研究函数中的应用

① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过3次的多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过3次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过3次的多项式函数的最大值、最小值。 （4）生活中的优化问题举例。

如：使用利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（参看例3） （5）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。有关要求见数学文化的要求。

说明与建议

1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题：

（1）这里考虑的命题是指条件和结论比较明显的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

（2）对逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。 （3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。

（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。

2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例，如：行星运行轨道，抛物运动轨迹，探照灯的镜面等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用。 3．教师也应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。（参见例4）

4．教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。

5．本模块中，导数的概念不是在定义极限的基础上给出，而是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

6．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。 参考案例

例1（平均变化率） 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如下图所示。 试问那个企业治污效果好。（其中W表示治污量）

（在t0处，虽然W1(t0)?W2(t0)，然而[W1(t0)?W1(t0??t)]/(??t)?

。 [W2(t0)?W2(t0??t)]/(??t)，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹）

例2 我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度

为：H(t)??4.9t2?6.5t?10，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？

（解：该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]的平均速度为

H(2.1)?H(2)2.041?3.4???13.59。

2.1?20.1同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，??的平均速度，也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，??的平均速度。

时间 间隔 平均速度 时间 间隔 平均速度 [2，2.1] 0.1 -13.59 [1.9,2] 0.1 -12.61 [2，2.01] 0.01 -13.149 [1.99,2] 0.01 -13.051 [2，2.001] 0.001 -13.1049 [1.999,2] 0.001 -13.0951 [2，2.0001] 0.0001 -13.10049 [1.9999,2] 0.0001 -13.09951 [2，2.00001] 0.00001 -13.100049 [1.99999,2] 0.00001 -13.099951 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数（13.1）就可作为该运动员在2秒时的速度。

例3 有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后作成一方盒。 （1） 试把方盒的容积V表示x的函数。 （2） 求x多大时，作成方盒的容积V最大。

例4 如图，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭锥和截面相切。那么，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。

B2

在本模块中，学生将学习统计案例、推理和证明、数系扩充及复数的引入、框图。 学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

“推理和证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程，有助于学生避免出现逻辑错误，提高逻辑思维能力。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用演绎推理得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法），感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。在本模块中，学生将学习用“流程图”、“结构图”刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，从而能清晰地表达和交流思想。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会数系扩充中人类理性思维的作用。 内容与要求

1．统计案例（12课时）

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。 ① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。 ②通过对典型案例（如“质量控制”、“新药是否有效”）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。（参看例1） ③通过对典型案例（如 “昆虫分类” ）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。 ④通过对典型案例（如 “学习成绩与学习时间的关系”）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

2．推理和证明（10课时） （1）合情推理与演绎推理

圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。（参见例2、例3）

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明

①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点。 （3）数学文化

①通过介绍“四色问题”和吴文俊在计算机自动推理领域作出的贡献，体会计算机在数学证明中的作用。（参见例4） ②通过对实例的分析（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。 3．框图（6课时） （1）流程图

①通过具体实例，进一步认识程序框图。

②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例5、例6）。

③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。

（2）结构图

①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。 ②结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物之间联系中的作用。

4．数系的扩充与复数的引入（6课时）

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法和三角表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 说明与建议

1．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，并运用一些常见的统计软件解决实际问题。

3．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性或者用反例推翻错误的猜想，教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。

4．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

5．框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。

3

6．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x=1的根、介绍代数学基本定理等。 参考案例

例1 某地区羊患某种病的概率是0.25，且每头羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选12头羊做实验，结果这12头羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。

（初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占

14左

右。这12头羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取12头羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几头羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。

现假设药无效，在此假设下令

X表示任取12头羊中患病的头数，则X服从n?12,p?0?25的二项分布。即：

kP(X?k)?C120?25k0?7512?k k?0，1，?，12

12头羊都不生病的概率是

P(X?0)?0?7512?0?032

这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。

这里的分析思想有些象反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。 应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.032。也就是说，我们有近97%的把握认为药是有效的。）

例2 探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系。（欧拉公式的发现）

例3 平面上的圆与空间中的球的类比 平面几何中的概念 圆 圆的切线 圆的弦 圆周长 圆面积

球 球的切面 球的截面圆 球的表面积 球的体积 空间几何中的类似概念

圆的性质 球的性质 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦. 球心与截面圆（不经过圆心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面圆. 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离与球心距离相等的两个截面圆相等；与不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长。 球心距离不等的两个截面圆不等，距球心较近的截面圆较大。 ?? ?? 例4 四色问题简介

1852年，英国业余数学家费朗西斯·格斯里在为英国分郡地图着色时，发现了一个看似简单但他却无法回答的问题：为任何地图着色，并使任何两个有公共边界的区域的颜色都不同，那么，最少需要多少种颜色？

后来，他求教于当时著名的数学家摩根，摩根不能回答这个问题。但是他证明了，任何地图上不会有这样的五个国家存在，其中每一个国家都和其余四个相邻。他同时进行猜想：画在纸上的任何地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同的颜色，这就是所谓的四色问题。

1878年，英国数学家凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。

1879年，一位叫肯普的英国律师宣布证明了四色猜想。但11年后，一位叫希伍德的青年人指出了肯普的证明中有严重错误。但他运用肯普的方法证明了五色定理（即对任何地图着色五种颜色总是足够的）。

到1968年，数学家已解决了除平面和球面以外的所有曲面上的地图着色问题。

经过许多数学家的努力，把四色问题归结为近两千种情况下的证明。但是靠人工一个一个地完成判断和证明是不可能的。

终于在1976年，三位美国数学家阿沛、哈肯和摩尔借助于当时先进的计算机，花了1200小时，作了近100亿个逻辑判断，才最终证明了四色问题。

例5 零件加工过程的流程图

在零件加工的过程中要对零件是否合格进行检验，以生产出符合规格的零件。其检验分三步：即检验，返修检验和最后检验。结果为符合要求的成品和不符合要求的废品。流程图如下： 不合格 不合格 零件到达 粗加工 检 验 返修加工 返修检验 废品 合格

合

不合格 合格 格

精加工 最后检验 成品 例6 数学建模过程的流程图

实际情景

修改 提出问题 数学模型

数学结果

检验 不合实际

合乎实际 C系列课程

C1

可用结果 在本模块中，学生将学习常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，空间向量与立体几何。

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流。

在必修阶段学习解析几何内容的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。

用空间向量处理立体几何问题，提供了新的几何视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间观念。 内容与要求

1．常用逻辑用语（8课时） （1）命题及其关系

① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。 （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义。 （3）全称量词与存在量词

① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。 ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2．圆锥曲线与方程(16课时) （1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤ 通过圆锥曲线的学习，体会数形结合的思想。 （2） 曲线与方程

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。 3．空间向量与立体几何(12课时)

（1）空间向量及其运算

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，能将空间向量表示为坐标轴上单位向量的线性组合，掌握空间向量的坐标表示。 ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。（参看例1、例2、例3） ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 说明与建议

1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题：

（1）这里考虑的命题是指条件和结论比较明显的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

（2）对逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。 （3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。

（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。

2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例，如：行星运行轨道，抛物运动轨迹，探照灯的镜面等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用。 教师也应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。（参见例4）

3．教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。

4．曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。

5．空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。 6．在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决空间几何问题。 参考案例

例1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，?ACB?90，?BAC?30，BC

例2 已知矩形

???1，AA1?6，M是棱CC1的中点，证明：AB1?A1M。

ABCD和矩形ADEF垂直，以

AD为公共边，但它们不在同一平面上。点M、N分别在对角线BD、AE上，且

BM?1/3BD，AN?1/3AE。证明：MN

例3已知单位正方体ABCD?①

∥平面CDE.

分别是棱B1C1和C1D1的中点。试求：

A1B1C1D1，E、FAD1与EF所成角；

② AF与平面BEB1所成角；

③ 二面角C1-DB-B1的大小。

例4 如图，用一个平面去截圆锥，在圆锥内有大小两个球分别与圆锥的交线是一个椭圆，平面与两个球的切点是椭圆的两个焦点。

C2

锥和截面相切。那么，这个平面与圆

在本模块中，学生将学习导数及其应用、数系的扩充与复数的引入。 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会数系扩充中人类理性思维的作用。 内容与要求

1．导数及其应用（24课时） （1）导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。（参看例1、例2）

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义——切线。 （2）导数的运算

23① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x，y=x,y=1/x,y=√x的导数。

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。 ③ 会使用导数公式表。（见附录） （3）导数在研究函数中的应用

① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例。

如：使用利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（参看例3） （5）定积分与微积分基本定理

①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。

② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。有关要求见数学文化的要求。

2．数系的扩充与复数的引入（6课时）

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法和三角表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 3．数学探究（6课时）

数学探究的主题可以是：格点与面积，导数在函数作图、方程近似求解以及不等式证明等方面的应用等。具体要求参见数学探究的要求。 说明与建议

1．本模块中，导数的概念不是在定义极限的基础上给出，而是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

2．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。

3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

3

4．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x=1的根、介绍代数学基本定理等。 参考案例

例1 国家环保局在规定的治污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如下图所示。 试问那个企业治污效果好。（其中

W表示治污量）

?W2(t0)，然而[W1(t0)?W1(t0??t)]/(??t)?

。 [W2(t0)?W2(t0??t)]/(??t)，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹）

例2 我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为：H(t)（在t0处，虽然W1(t0)??4.9t2?6.5t?10，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？

（解：该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]的平均速度为

H(2.1)?H(2)2.041?3.4???13.59。

2.1?20.1同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，??的平均速度，也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，??的平均速度。

时间 间隔 平均速度 时间 间隔 平均速度 [2，2.1] 0.1 -13.59 [1.9,2] 0.1 -12.61 [2，2.01] 0.01 -13.149 [1.99,2] 0.01 -13.051 [2，2.001] 0.001 -13.1049 [1.999,2] 0.001 -13.0951 [2，2.0001] 0.0001 -13.10049 [1.9999,2] 0.0001 -13.09951 [2，2.00001] 0.00001 -13.100049 [1.99999,2] 0.00001 -13.099951 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数（13.1）就可作为该运动员在2秒时的速度。

例3 有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后作成一方盒。 （1）试把方盒的容积V表示x的函数。 （2）求x多大时，作成方盒的容积V最大。

C3

在本模块中，学生将学习计数原理、统计、概率。

计数问题是数学中的重要研究对象之一，为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。应避免繁琐的、技巧性过高的问题。

学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。

学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。 内容与要求

1．计数原理(14课时)

（1）分步计数原理、分类计数原理

通过实例，总结出分步计数原理、分类计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题。 （2）排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 （3）二项式定理

能用计数原理证明二项式定理（参看例1）； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2．统计与概率（22课时） （1）概率

①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。 ②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。（参看例2）

③在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。（参看例3）

④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。（参看例4）

⑤通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

（2）统计案例

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。 ① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。 ②通过对典型案例（如“质量控制”、“新药是否有效”）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参看例5）。 ③通过对典型案例（如 “昆虫分类” ）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。 ④通过对典型案例（如 “学习成绩与学习时间的关系”）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。 说明与建议

1．分类计数和分步计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的问题。

2．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生能利用所学知识解决一些实际问题。

3．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

4．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，并运用一些常见的统计软件解决实际问题。 5．可以在二项式定理中介绍我国古代成就“杨辉三角”，在统计案例中介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。 参考案例

例1

二项式定理的证明。

nkn-kkn-k，其(a?b)n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，贡献a或b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项）中每一项都是ab的形式，k=0，1，??，n；对于每一项ab，它是由k个（a+b）贡献了a，n-k个(a+b)贡献了b得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

例2 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。

5

（从30个球中摸出5个球的组合数为：C30=142506;

45-45

那么，P（一等奖）= C10 C30-10/ C30=4200/142506≈0.029。

如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N=30，M=5，n=10，m=4的超几何分布，那么

mM-mM

P（X=m）= Cn CN-n/ CN。）

例3 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2。

k11k1100?k1kk?C100()100。 的二项分布，那么P(X?k)?C100()(1?)2222501100?0?08 由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”概率为P(X?50)?C100()2如果令

X为硬币正面出现的次数，则X服从n?100,p?

（学生在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。）

例4 据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。 方案1：运走设备，此时需花费3800元。

方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。 试比较哪一种方案好。

例5 某地区羊患某种病的概率是0.25，且每头羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选12头羊做实验，结果这12头羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。

（初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占

14左

右。这12头羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取12头羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几头羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。

现假设药无效，在此假设下令

X表示任取12头羊中患病的头数，则X服从n?12,p?0?25的二项分布。即：

kP(X?k)?C120?25k0?7512?k k?0，1，?，12

12头羊都不生病的概率是

P(X?0)?0?7512?0?032

这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。

这里的分析思想有些像反证法，但并不完全相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。

应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.032。也就是说，我们有近97%的把握认为药是有效的。）

D，E，F系列课程

D，E，F系列选修课程分别由若干专题组成，每个专题1学分。

D系列课程（文化系列课程）的专题包括：数学史选讲、数学与社会、中学数学思想方法、数学问题集锦等。E系列课程（应用系列课程）包括：优选法、统筹法、风险与决策、数字电路设计与代数运算等。F系列课程（拓展系列课程）包括：几何证明、不等式、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、图论初步、球面几何与欧拉公式、整除与孙子定理、对称与群、分形的构造与探索等。

D，E，F系列选修课程的素材极为丰富，上述内容只是其中的一部分，随着课程的发展，这些内容将进一步拓展、丰富和完善。

D，E，F系列选修课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生开设的，所涉及的内容都是基础性的数学内容。不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文社会科学方面发展的学生选修这些课程。

D系列课程是文化系列课程。本系列课程的目标是扩展学生的数学视野，以比较浅显的方式介绍数学史、数学的应用、数学的思想方法和一些数学问题，提高学生对数学文化价值的认识。数学史选讲专题旨在通过介绍数学发展历史中的重要事件和人物，使学生体会数学对人类思想进步和社会发展的影响，体会社会发展对数学发展的推动作用。现实社会中的数学专题旨在通过现实社会中生动、丰富的实例，展现数学在社会中的广泛应用，使学生感受到数学无处不在。中学数学思想方法专题旨在以中学数学知识和问题为载体，使学生学习与中学数学内容密切相关的、常用的、重要的数学思想方法，加深学生对数学的认识和理解。数学问题集锦专题是通过一些有趣味的数学问题，提高学生对数学的兴趣。所有内容的呈现方式，都应当深入浅出、生动活泼、图文并茂。

E系列课程是应用系列课程。数学的应用非常广泛，本系列课程只选择了部分数学应用的专题。优选法、统筹法是我国著名数学家华罗庚在20世纪60年代提出并推广的具有广泛意义的重要数学方法，这些方法与人们的日常生活和工作有密切的联系。随着社会的发展，风险问题已经成为现代社会中人们必须面对的问题，树立风险意识，并初步掌握这方面的知识，将提高人们的生活质量。数字电路设计在计算机的发展中有重要的作用，而代数的思想和方法是数字电路设计的基础。E系列课程旨在通过展现一些数学应用的典型事例，使学生掌握一些数学的思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。

F系列课程是拓展系列课程。这部分内容是高中数学课程中一些内容的延伸。本系列课程的目的是，在其他课程的基础上为学生奠定进一步学习和发展的基础，帮助学生进一步加深对一些重要数学思想和方法的理解和掌握。

对于D，E，F系列选修课程的学习，应提倡多样化的学习方式，可以是教师讲授，也可以是在教师指导下学生自主探索学习，还应鼓励学生独立的阅读、写读书报告等。力求使学生切身体会“做数学是学习数学的最好方法”，独立思考是做数学的核心。在教学中，应鼓励学生学会提出问题，善于提出问题、思考问题、解决问题，这是提高数学素养的重要途径。

D系列课程

本系列课程包括数学史选讲、现实社会中的数学、中学数学思想方法、数学问题集锦等专题。

数学史选讲

数学史对于比较全面了解和深刻认识数学本身，全面了解整个人类文明的发展具有重要意义。在本专题中，学生将通过生动、丰富的事例，概略地了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。 内容与要求

1．早期算术与几何——计数与测量 ◆纸草书中记录的数学（古代埃及）。 ◆ 泥板书中记录的数学（两河流域）。 ◆ 中国《周髀算经》、勾股定理（赵爽的图）。 ◆ 十进位值制的发展。 2．古希腊数学

◆ 毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题。 ◆ 欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响。 ◆ 阿基米德的工作：求积法。 3．中国古代数学瑰宝

◆《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数）。

◆大衍求一术（孙子定理）。 ◆中国古代数学家介绍。

4．平面解析几何的产生——数与形的结合 ◆ 函数与曲线。

◆ 笛卡尔方法论的意义。

5．微积分的产生——划时代的成就 6．近代数学两巨星——欧拉与高斯 ◆ 欧拉的数学直觉（欧拉公式）。 ◆ 高斯时代的特点（数学严密化）。 7．千古谜题——伽罗瓦的解答

◆ 从阿贝尔到伽罗瓦（一个中学生数学家）。 ◆ 几何作图三大难题。 ◆ 近世代数的产生。

8．康托的集合论——对无限的思考 ◆ 无限集合与势。

◆ 罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。 9．随机思想的发展 ◆ 概率论溯源。

◆ 近代统计学的缘起。 10．算法思想的历程 ◆ 算法的历史背景。 ◆ 计算机科学中的算法。 11．中国现代数学的发展

◆ 现代中国数学家发奋拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程。 说明与建议

1．本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生喜闻乐见的语言与生动有趣的事例呈现内容，使学生体会数学发展的轨迹和重要思想。本专题的内容安排与教学可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。例如，可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（巴比伦的60进位、英国的12 进位、计算机的二进位以及合理的10进位、二进位与中国的八卦）。又如，可以从学生熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果，用随机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题。

2．以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排与教学可以根据具体情况，作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹、科学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神；要符合学生的接受水平，呈现应图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。

3．教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。

现实社会中的数学问题

数学是一门应用广泛的科学。数学不仅是自然科学、人文社会科学研究的有力工具，而且为自然科学、人文社会科学的研究提供了方法论的指导，促进了自然科学的重大发现。由于计算机的出现，数学已不仅是一门科学，还是一种普遍适用的技术，从日常的管理到大型的工程设计，从对原子的研究到对宇宙的探索等无不受惠于数学技术，数学技术直接促进了社会的发展。另外，数学在日常生活中的应用也日益广泛，人们常常利用数学的知识、思想与方法去分析和解决日常生活中的一些问题。如今，数学几乎渗透到社会的每一个领域，数学与现实社会的关系日益密切，数学的作用日益凸现。

通过本专题的学习，学生将认识数学的广泛应用，体会数学对社会发展的促进作用，社会发展对数学发展的推动作用，感受到数学无处不在，对每个人都有用，每个人都可以用。 内容与要求

1．日常社会生活中的数学举例 （1）彩票中奖与概率。 （2）产品验收与抽样。 （3）风险大小与概率。

（4）广告中的数据与可靠性。 （5）商标设计与几何图形。 （6）超市里的购买清单与矩阵。 （7）销售打折中的数学。 （8）试验田的安排与优化。 （9）代表名额分配与数学悖论。 （10）楼梯开关与数学。

（11）喷水的重叠面积与最值。 （12）艺术中的数学。 2．数学与社会发展

（1）电视与数学（信息论和数据压缩）。 （2）密码与数学（黑客攻击）。 （3）乘飞机与数学（控制论）。 （4）CT扫描（拉东变换）。

（5）国际关系（军事科学）与数学。 （6）金融危机与金融数学。 （7）流水线的数学模型。 （8）分形的构造与探索。 说明与建议

1．以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的编写与教学可以根据具体情况，作适当调整。

2．对于日常生活中的数学实例的教学，教师应该充分利用学生已有的生活经验及数学知识，引导他们分析日常生活中的问题，并尝试运用所学知识加以解决，提高他们应用数学的意识。教师还可以根据学生的实际情况，选择某些案例作较详细讨论，鼓励学生独立地或相互合作地提出解决方案。

3．数学与社会发展的一些内容涉及到数学与科学技术等领域的有关知识，所以应主要通过科普介绍、学生阅读、叙述真实故事等方式进行教学，对相关专业知识不宜展开，以免给学生的学习造成困难。

4．通过师生之间、学生之间的探索、讨论，并在查阅有关资料的基础上，鼓励学生自己总结数学在自然科学、科学技术、社会与日常生活中的作用，并尝试写出自己对这种作用的认识。

5．内容的选取应该注意实用、有趣，符合学生的接受水平。由于本部分内容涉及到现代科学的发展，因此教材应采用直观，形象、简洁的语言，避免引入过多的专业术语。例子既要尽可能真实， 又必须浅显易懂。

6．教材呈现方式应多样化。如通过故事，设立问题情境，提供资料来源让学生自己收集素材等，生动有趣地呈现内容，提高学生的学习兴趣。部分专题应该具有可操作性，能够让学生尝试完成。

中学数学思想方法

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略。数学思想方法是以具体数学内容为载体，是学习数学的指导思想和普遍适用的方法。 在以往的数学学习中，学生已对数学思想方法有所体会和运用，通过本专题的学习，学生将较系统地理解中学数学思想方法，加深对数学知识的理解；通过揭示知识间的内在联系，不断提高对数学整体的认识；逐步养成良好的数学地思考问题的方式和习惯，提高思维水平；把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来，更有利于终身学习和发展；最终达到学会学习和提高自身数学素养的目的。

本专题的内容分为三个层次：一是一般科学方法在数学中的运用，如：观察、实验、分析、综合、归纳、类比等思想方法。二是数学中常用的数学思想方法，如：数形结合的思想方法；符号化、形式化的思想方法；分类的思想方法；数学证明方法；化归的思想方法等。三是中学数学课程中涉及的各种特有的数学思想方法，如：变量、函数、映射的思想方法；几何变换的思想方法；统计的思想方法、算法的思想等。 内容与要求

1．通过对已学知识的回顾总结，以及新的数学内容的学习活动，初步掌握观察、实验、分析、综合、归纳、类比等思想方法。

2．通过对已学知识的反思回顾、提炼概括和对新问题解决的探究，掌握数形结合的思想方法；初步理解符号化、形式化、分类、数学建模、公理化等数学思想方法在数学中的意义和作用。理解证明的意义和作用，掌握基本的数学证明方法。认识和理解化归是数学解决问题的基本思想方法，通过从现实物体到几何图形，从数、式的发展等内容，初步理解抽象是数学化活动的一般方法。

3．通过对已学知识的反思回顾和新内容的学习，认识和理解变量、函数、映射的思想方法；几何中的平移、旋转、反射、相似等变换的思想方法，统计的思想方法，概率中必然与偶然之间的辩证关系；极限的思想方法，有限与无限的辩证关系和算法的思想。 说明与建议

1．以上列举的是中学常用的思想方法，教师可以根据实际情况进行调整与补充。

2．数学的基本知识和数学思想方法是数学知识体系的两个不同层次，它们是相互联系、相互依存且协同发展的。数学知识既是运用数学思想方法解决问题的依据，又是解决问题的结果。数学思想方法是通过数学知识体现出来的。因此，教师在教学中应把握好两者之间的有机联系和区别。

3．在学生对数学思想方法有一定体验的基础上，通过对已学内容的回顾和新内容的学习，可以使学生进一步领悟其中的思想方法，提升对相关的数学思想方法的认识。例如，可以以各类方程、不等式的求解为线索，介绍化归的思想方法；通过回忆平面解析几何的内容及从数转化为形、从形转化为数的问题解决中介绍数形结合的思想方法。

4．教师应鼓励学生参与到学习活动中，通过自己的思考体会相应的数学思想方法。教学时可采用阅读、小组合作讨论和主题报告会等形式进行。

5．结合本专题的内容和学习特点，教师应注意引导学生养成勤于思考的学习习惯，学会提炼概括、归纳总结的学习方法，最终达到提高洞察事物、寻求联系、解决问题的思维品质和各种能力。

6．要以恰当的素材为载体编写中学数学思想方法的专题，体现相应的数学思想方法，并且要尽可能避免简单的“帽子+例子”的现象。内容与素材应尽可能的丰富多样，不要作成单纯的解题研究。专题内容要符合学生的接受水平，可结合数学史料和数学家的发现创造过程，应体现数学思想方法的形成和发展过程。

7．评价学生对数学思想方法的理解和掌握，可以通过师生之间、学生之间的交流、探索、提炼和概括等学习活动进行，关注学生对数学思想方法在数学学习和问题解决中的作用、意义的认识。

数学问题集锦

数学是一门古老、又常新的学科，问题是促进数学发展的源泉和动力。从古至今，有着极其丰富的、有趣的数学问题，这些问题中孕育着深刻而丰富的数学思想，随着对这些问题的探索和深入，产生了一个又一个新的数学分支，推动了数学的发展及其在其他领域的应用。

本专题将通过一些有趣的数学问题，丰富学生对数学的情感，体会其中蕴涵的数学思想方法，增强数学学习的兴趣。 参考选题

1． 素数问题

2． 二进制与计算机

3． 黄金分割引出的数学问题 4． 与极限有关的问题 5． 有关方程的问题 6． 关于圆周率——π

7． 拓扑学的产生（哥尼斯堡七桥问题——一笔画、绳结问题、莫比乌斯带与克莱因瓶） 8． 对称——近世代数学 9． 多边形剖分问题

10．三大不可能的作图问题——数域扩充 11．分形

12． 天的可靠性 说明与建议

1．以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的编写与教学可以根据具体情况，作适当调整。

2．对于数学问题的教学，教师应该充分利用学生已有的生活经验及数学知识，通过具体问题的背景介绍，引导学生尝试探索，并给予适当的指导，引导学生通过独立思考、合作交流等形式进行本专题的学习。不要将此专题的教学变成解题的教学。

3．数学问题往往孕育着数学思想方法，通过本专题的学习力求激发学生学习数学的兴趣，丰富学生对数学的情感，并通过学生的尝试活动体会其中蕴涵的数学思想方法。

4．内容的选取应该注意趣味性、符合学生的接受水平、体现数学的文化价值。由于本部分内容涉及到数学的分支及其发展，因此本专题内容的编写应直观、形象，避免引入过多的专业术语。

E系列课程

本系列课程包括优选法、统筹法、风险与决策、数字电路设计与代数运算等专题。下面提供优选法、统筹法两个专题的具体要求和建议。

优选法

优选问题在日常生活和生产经营中经常出现。“优选法”自60年代在著名数学家华罗庚亲自组织推广以来，在全国各行各业得到了广泛的应用，取得了大量的成果。

优化方法是数学研究中的重要领域之一。随着信息技术的高速发展，优化方法的应用越来越广泛，优化思想已渗透到社会生活的方方面面。因此，高中数学课程中引入“优选法”，使学生通过丰富生动的案例，了解基本的优化思想，掌握简单的优化方法是非常必要的，也是可行的。

学生通过“优选法”案例的学习，将在以下方面得到提高： ----产生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心； ----开阔视野，认识数学的应用价值和社会价值；

----了解基本的优化思想、掌握简单的优化方法，体会理论与实践相结合的重要性； ----运用所学知识分析问题、解决问题的能力；

----完成一系列有生活背景的练习题和上机操作，发展实践能力。 内容与要求

1．“优选法”教学将通过丰富生动的生活案例引出一些优选问题，为解决这些问题提出一系列优选方法。学生将结合具体实例加深对优选问题、优选方法的理解；通过对具体问题的分析，初步掌握优选的思想和性质以及简单的优化方法；在可操作的实际问题情境中能通过练习，提高解决优化问题的能力。

2．学习本课程所需要的知识基础：函数、集合、不等式、分数、几何等。

3．重点学习单因素、单峰函数的优选方法，涉及一点多因素、多峰函数的优选方法，介绍一些扩展的优化问题和方法，拓展学生的视野。具体来说，可以涉及以下内容：

（1）优选问题案例；

（2）优选法的基本概念和思想； （3）对分法案例； （4）分数法案例；

（5）黄金分割法（0.618法）案例； （6）瞎子爬山法案例； （7）多因素优选问题简介。

统筹法

统筹法是1964年由我国著名数学家华罗庚教授提出的，是一种统筹兼顾、全面安排一次性独特工作任务的科学管理方法。在现代项目管理理论中，统筹法是最重要的基本方法之一。美国的阿波罗登月计划、海湾战争后科威特油田的灭火、我国的三峡工程，都应用了统筹法。维修一台设备、盖一栋房屋、开发一个新软件，也都要用到统筹法。

设置本课程的目的，是将图与网络的基本概念，结合统筹法案例，作为一个新的知识引入到高中数学课程中，帮助学生开阔眼界，了解一种新的思维模式，并学习一套能够系统分析和处理大量实际问题的有效方法。

学生通过案例的学习，将在以下方面得到提高： ——产生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心； ——开阔视野，认识数学的应用价值和社会价值； ——了解基本的统筹思想、掌握简单的统筹方法； ——运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 内容与要求

1．“统筹法”教学将通过丰富生动的生活案例引出一些统筹问题，为解决这些问题提出图、网络等概念。学生将结合具体实例加深对统筹思想和方法的理解，并尝试解决一些简单的具有实际背景的问题。

2．可以涉及以下内容：

（1）统筹问题，统筹法的基本概念； （2）统筹图实例，统筹图的绘制方法； （3）工作分解结构；

（4）CPM（确定型时间参数）； （5）PERT（非确定型时间参数）； （6）编制项目计划； （7）项目时间管理问题； （8）项目成本管理问题； （9）时间——成本优化问题。

F系列课程

本系列课程包括几何证明、不等式、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、图论初步、球面几何与欧拉公式、整除与孙子定理、对称与群、分形的构造与探索等专题。下面提供几何证明、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、整除与孙子定理、分形的构造与探索6个专题的具体要求和建议。

几何证明

几何证明有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、变换、探索、发现的创

造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生几何直观的能力和运用综合几何方法处理解决问题的能力 。 内容与要求

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行切割定理，证明直角三角形射影定理。 2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 5．展示平面截圆锥面的情景，体会下面定理：

///

定理：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点,其夹角为α， l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：

（1） β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2） β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； （3） β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

6．利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。

7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这

//

个圆所在平面为π；②如果平面π与平面π的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）

8．探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。 说明与建议

本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。Dandelin两球的证明方法助于学生体会直观思维在解决问题中的作用，提高学生综合运用几何知识解学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生己的思考过程与论证过程。

教师也可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，以帮助学生进行直观思维。

参数方程与摆线

物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。参数方程对于解决实际问题具有重要意义。本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。

本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。 内容与要求

1. 参数方程

（1）坐标与曲线方程 （2）曲线的一般方程

——隐式方程； ——参数方程；

——参数化与隐式化简介。

（3）特殊的参数方程 （4）参数方程的参数变换

2

①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x等。

②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。通过参数变换举例说明，同一曲线可以利用不同的参数来建立不同形式的参数方程，并指出常用的参数形式(如时间、转角和弧长等等)。

③特殊参数方程举例，参数变换简介。 2. 平摆线与圆的渐开线

（1）平摆线（“圆”在“直线”上滚动)

——标准平摆线； ——变幅平摆线； ——平摆线的用途。

（2）渐开线 (“直线”在“圆” 上滚动)

——标准渐开线； ——变幅渐开线； ——渐开线的用途。

①介绍标准平摆线的实际背景(如前进中的自行车，车轮上偶然所粘的糖纸在空中画出的曲线,就是标准平摆线)，利用平面向量方法建立标准平摆线参数方程。

②介绍变幅平摆线的实际背景(如前进中的自行车，车轮幅条上一点或车轮气嘴在空中画出的曲线,就是短幅平摆线； 如在火车前进时，紧扣在铁轨上的车轮的外边沿上的一点在空中画出的曲线就是长幅平摆线)。 指出若考虑幅长变化，则可以将标准平摆线推广为变幅平摆线。变幅平摆线可作为学生作业或探究题材，要求学生建立平摆线的一般方程。

③指出渐开线的几何意义及渐开线与平摆线的对应性质，利用平面向量方法建立标准渐开线的参数方程。可将变幅渐开线的内容作为学生作业或探究素材，要求学生建立渐开线的一般方程。对渐开线与平摆线对应关系的探究，也可作为小科研活动的课题。

中，孕涵着丰富的数学思想方法，有决问题的能力。教学时，教师应鼓励写出课题报告，尽可能清晰地表达自

④介绍平摆线与渐开线的用途，如最速降线就是平摆线，齿轮的咬合可以利用渐开线等等。这些应用的数学证明可以作为阅读材料给出。“探究最速降线的用途”等题材，可以作为小科研活动的课题。

3. 圆摆线的概念

（1）外摆线 (两圆外切，“动圆”在“静圆”上滚动) （2）内摆线 (两圆内切，“小圆”在“大圆”内滚动)

（3）环摆线 (两圆内切，“大圆”在“小圆”外滚动，类似呼啦圈的转动) （4）圆摆线的对偶关系

①给出外摆线的定义，直接导出变幅外摆线的一般方程。讨论具体的外摆线(如心脏线等)，尝试通过改变两圆半径比和改变幅长，构造和

探索各种外摆线。

②给出内摆线与环摆线的定义，指出外摆线、内摆线与环摆线的概念是依据生成方式给出的。利用图示法说明外摆线的一般方程，也适用于内摆线与环摆线，因此是圆摆线的一种统一方程(圆摆线统一方程Ⅰ——以转角为参数)。

③利用统一方程，讨论和探索具体的圆摆线(如星形线、玫瑰线都是内摆线，心脏线可以用环摆线表示等)，尝试通过改变两圆半径比和改变幅长，构造和探索各种圆摆线。直角坐标系与极坐标系下，特殊曲线的不同表示可以作为学生的探究课题。

④利用圆摆线的统一方程，通过代数变换导出对偶方程与对偶关系，举例说明对偶关系的几何意义。进而说明内摆线的对偶还是内摆线，外摆线与环摆线互相对偶。有条件的学校可以利用计算机来动态演示对偶现象。

4. 圆摆线与天体运行轨道

（1）理想模型——天体运行方程

（2）等效形式——天体轨道方程 （同转轨道、异转轨道） （3）方程的统一性质（圆摆线统一方程Ⅱ——以时间为参数）

——分类对应 （由天体角速度决定：外摆线、内摆线、环摆线）； ——变幅关系 （由天体线速度决定：标准、长幅、短幅）。

（4）方程的对偶性质

——对偶方程的表现形式；

——对偶关系 （内摆线与内摆线对偶，外摆线与环摆线对偶）。

①给出太阳、地球、月亮系统的理想模型，指导学生导出月亮的运动方程，即天体运行方程。并介绍地心说、日心说和开普勒的椭圆轨道模型。

②利用曲线参数变换，通过简化天体运行方程，给出天体轨道方程。并根据方程性质，给出天体轨道方程的分类。

③介绍天体轨道方程的统一性，说明天体轨道方程就是摆线的统一方程；给出其与内摆线、外摆线、环摆线的对应关系； 并给出具体的对偶关系。圆摆线统一方程Ⅱ的推导，可以作为学生小科研活动的课题。

④让学生观察天体轨道方程的对称性，推测轨道方程存在对偶表示；借助几何直观及平行四边形的性质，想象此时对偶模型新的几何形式。最后，通过代数变换导出对偶方程，此内容也可作为学生小科研活动的课题。

⑤作业或可选探究课题：讨论特殊曲线在圆摆线统一方程Ⅱ下的具体表示，观测行星运动的摆线行为，设计绘制摆线的机械装置。 附录一：摆线的应用选题 （1）最速降线是平摆线

（2）椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘 （3）圆摆线齿轮与渐开线齿轮

（4）收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计 （5）星形线与公共汽车门 （6）行星运动轨道的探索

这些选题可以作为选读材料，或作为课后探究和数学建模的题材。 附录二：摆线的统一方程

（1）圆摆线的弧长参数统一方程（圆摆线统一方程Ⅲ——以弧长为参数） （2）摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统一方程 （大统一方程）

①此处内容可以作为选读材料，或作为课后探究与数学建模的题材。圆摆线（外摆线、内摆线、环摆线）的统一方程称为小统一方程，一般摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统一方程称为大统一方程。

②圆摆线的统一方程Ⅲ可以由统一方程Ⅰ经简单变换后直接得到。大统一方程可以由小统一方程（统一方程Ⅲ）经简单的坐标水平平移而得到。平摆线、渐开线是大统一方程的极限状态。 说明与建议

（1）参数方程是本专题的主要工具，本专题的核心内容是利用参数方程学习、探索摆线的性质和作用。首先要说明曲线的表示方法，介绍坐标系的分类(直角坐标系、极坐标系)和曲线方程的三种形式，解释它们的关系。这也是对以前所学内容的补充。

（2）关注学生对已有的平面向量、三角函数等知识的运用，鼓励学生自主建立曲线方程，加强对学生自主探究方面的训练。以平摆线、渐开线作为摆线的基础，以圆摆线为核心，以天体运行为应用，以特殊方程为实例，注重摆线的实际背景，建立摆线的统一方程，了解摆线的性质，探索摆线的用处。

（3）注意曲线可以通过选择不同的参数,建立不同形式的参数方程，体会不同参数在建立曲线参数方程时的作用。圆摆线的三种小统一方程中，小统一方程Ⅱ（即天体轨道方程）最为优美，在表述曲线的分类关系、变幅关系和对偶关系时也最为简洁。

（4）可以在学生中成立摆线兴趣小组,组织学生在数学探究、实际应用、计算机探索等三个方面展开课外活动。

矩阵与变换

矩阵是研究向量变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点说明线性方程组解的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。 内容与要求

1．引入二阶矩阵

2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明

A(?1???2??)??1A???2A?。

??? （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

3．变换的复合——二阶方阵的乘法

（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。

（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4．逆矩阵与二阶行列式

（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。

-1-1-1

（2）会证明逆矩阵的唯一性和 (AB)=BA等简单性质，并了解其在变换中的意义。 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 5．二阶矩阵与二元一次方程组

（1）能用变换与映射的观点认识解方程组的意义。 （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明方程组解的存在性，唯一性。 6．变换的不变量

（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换上说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是二个不同实数的情形）。 7．矩阵的应用

（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出A （2）了解矩阵在图论等其他方面的应用。

（3）初步了解三阶或高阶矩阵。 说明与建议

1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示。

2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵。

3．矩阵的乘法要求从图形的变换来进行直观的理解，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。

4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。

5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识，如三阶矩阵或高阶矩阵，这些不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。

6．这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。

数列与差分

随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。

本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。 内容与要求

1．数列的差分

（1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。

（2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分与数列的增减、极值、数列图象

的凹凸的关系。

2．一阶线性差分方程xn+1=k xn +b （1）通过一些具体实例，体会方程xn+1=k xn +b是十分有用的数学模型。

（2）理解方程xn+1=k xn +b中，当b=0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k=1（即差分为常数）时，其解为等差数列。 （3）认识方程xn+1=kxn +b的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程xn+1=k xn通解的关系；能给出方程xn+1=k xn +b的通解公式。 （4）了解差分方程初值问题，给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程的解。 3．（二元）一阶线性差分方程组 xn+1=a xn +b yn +c yn+1=d xn +e yn +f

（1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。 （2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。 （3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。

（4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。

4．应用

（1）学会用差分方程解决一些简单的实际问题。

（2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。

5．借助计算工具，通过计算和操作，讨论模型xn+1=kxn（1-xn）当k取不同特殊值时xn的变化情况，初步了解几种混沌现象。 说明与建议

1．教学过程和教材编写，应通过大量实例，帮助学生理解差分的概念和差分方程的意义，力求深入浅出。

2．通过对一阶线性差分方程的讨论，使学生理解方程解的结构，即通解、特解以及与齐次方程通解的关系。这不仅仅是为了求解差分方程，而且对将来进一步学习线性方程组、常微分方程等内容都有所帮助。

3．关注学生用差分方程解决实际问题的能力。特别应鼓励学生能从实际问题建立差分方程，并能结合实际问题引导学生讨论解的实际意义。 4．迭代方法是数学解决问题常用的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代方法的意义和作用。

5．在学习差分概念的过程中，应有意识地把差分和导数的概念进行对比，体会差分概念的意义和作用，并初步了解把连续变量离散化的思想。

n?简单的表示，并能用它来解决一个实际问题。

?

初等数论初步

数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，它的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支（如代数数论、算术代数几何），而且在现代信息技术中有很重要的应用。在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。

本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。 内容与要求

1．通过实例（如：星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。

2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。

3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3, 9, 11, 7等整除的判别法。会检查整数加法，乘法运算错误的一种方法。

4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，a、b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。

5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。 6．通过实例（如：韩信点兵），理解一次同余方程组模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 附录: 多项式带余除法的竖式（长除法）。 说明与建议

1.由于整数的整除式是学生在操作上比较熟悉，而在论理上比较生疏的内容，教师可以只讲解一些主要的方法和性质，其他的一些性质则由学生经过讨论或自主探索完成。

2. 孙子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式是一样的，因此列入建立插值公式一节有助于学生加强注意有关内容联系的意识。

3．剩余类环中会出现零因子，对于开阔学生关于运算的眼界是有益的。但是理解可能难一点，是否安排探索，教师可以酌情处理。

4．多项式整除方法和性质和整数的整除性质几乎完全平行，可以安排学生进行探索。多项式的竖式除法是一个实行多项式除法的有效方式，与整数的竖式除法类似，可以作为附录列出。

对称变换与群

对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是表达对称性的数学工具，也是现代数学的重要研究对象。

本专题学生将从平面图形的对称变换实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质中的重要作用。 内容与要求

1．通过丰富的图形，感受到日常生活中存在着很多对称现象。

2．通过判断不同对称性的差异，寻求区分不同图形的对称标准，逐步形成图形的对称与对称变换的概念。 3．结合具体的图形，找出其所有对称变换。

4．结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，了解对称变换合成的封闭性。 5．结合具体的图形实例，通过学生操作，认识对称变换满足结合律。

6．结合具体的图形实例，理解恒等变换的概念；通过操作，形成逆变换的概念及其性质，对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。 7．通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。

8.能借助几何直观求出一些几何图形或具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。 9．通过具体实例，了解一种群的表示方法——乘法表法。

10.从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。 11.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。

12．考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗华（E.Galois,1811-1833）利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。 说明与建议

1.由于对称变换、变换的乘法运算对于中学生来说都是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情景引入，而不能从抽象的定义出发。

2.对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。特别是对称变换群，它把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有相当大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群论在刻画对称性的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和结构。同时要求学生能通过具体的几何变换，学会求出一些简单几何图形的对称群，在实践过程中感受群论的含义。

3.晶体分类与方程的伽罗华理论是群论的两项重大研究成果，虽然本单元难以详细证明晶体分类定理和方程的伽罗华定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。

欧拉定理与曲面曲线分类

使用几何变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同几何变换下的不变量是研究这类问题的基本方法。本专题主要研究欧拉定理和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。 内容与要求

1．复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类

（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、压缩（伸长）、相似变换对平面图形分类。 （2）在这些变换下，探索什么几何性质是不变的。 （3）体会变换的一些基本特征：1—1对应，连续。 2． 欧拉定理

（1）通过探索发现欧拉定理的过程，理解欧拉定理。 （2）理解欧拉定理拓扑证明。

（3）使用欧拉定理解决一些问题（如：探索正多面体的个数等）。 （4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。 3． 理解曲面三角剖分的概念。

4． 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。 5． 了解拓扑变换的直观含义。

6． 知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。

7． 了解拓扑思想的一些应用（如：平面布线问题，一笔画问题，布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题，四色问题等）。 说明与建议

1．这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想。 2．引导学生探索发现欧拉定理的过程，对于理解欧拉定理是非常重要的，它是一个帮助学生体会数学家创造性工作的一个非常好的范例。 3．三角剖分是研究图形拓扑性质的重要方法，引导学生经历在具体曲面中使用三角剖分研究曲面的性质的过程，它是学习和掌握三角剖分思想的最好方法。

4．拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，如把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义。

5．在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的直观了解，不追求严格化的叙述。

三、数学建模、数学探究、数学文化

数学建模、数学文化、数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独以模块形式设置，而是落实在每个模块的教学中。在此基础上，高中阶段至少应安排一次较为系统、完整的数学建模、数学探究活动。以下是对数学建模、数学探究、数学文化的教学要求。

数学建模

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模可以通过以下框图体现： 实际情景 修改 提出问题

数学模型 数学结果 检验 合乎实际 可用结果 不合实际 “数学建模” 是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力。 内容与要求

1．在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。

2．通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。

3．每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

4．学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。

5．学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。

6．高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。 我们不对数学建模的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。例如，可以结合统计活动、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。 说明与建议

1．学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。

2．数学建模可以采取课题组的学习模式，教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。

3．数学建模活动中，应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。教师在必要时应给予适当的指导。

4．教师应指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。

5．评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与。不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。评价内容应关注以下几个方面：

——创新性。 问题的提出和解决的方案有新意。 ——现实性。 问题来源于学生的现实。

——真实性。 确实是学生本人参与制作的，数据是真实的。

——合理性。 建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。

——有效性。 建模的结果有一定的实际意义。

以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。

6．对数学建模的评价可以采取答辩会、报告会、交流会等形式进行，通过师生之间、学生之间的提问交流给出定性的评价，应该特别鼓励学生工作中的“闪光点”。

7．数学建模报告及评价可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。

8．教材中应该提供一些适合学生水平的数学建模问题和背景材料供学生和教师参考；教材中可以提供一些由学生完成的数学建模的案例，以激发学生的兴趣。

数学探究

“数学探究”即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。

“数学探究”是数学学习的一种新的方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。 内容与要求

1．数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性。课题应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。

2．数学探究课题应该多样化，可以是某些数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比，也可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果。

3．数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立，应该特别鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。

4．学生在数学探究的过程中，应学会查询资料、收集信息、阅读别人的工作。

5．学生在数学探究中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神。 6．在数学探究中，学生将初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创造的激情，提高发现、提出、解决数学问题的能力，发挥自己的想象力和创新精神。

7．高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动。还应将课内与课外有机地结合起来。

我们不对数学探究的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学探究活动的内容和时间。例如，可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学探究活动。 说明与建议

1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真地思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。

2．教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题；组织和鼓励学生组成课题组合作地解决问题；指导和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究。

3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导。在鼓励学生创新的同时，也允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力

4．“数学探究”的结果以课题报告或课题论文的方式完成。课题报告包括课题名称、问题背景、对事实的观察分析、对结果的猜测、对结果的论证、合作情形、对探究结果的体会或评论、引证的文献资料等方面。

5．可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生之间的讨论来评价探究学习的成绩，评价主要是正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足。

6．数学探究报告及评语可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的报告或论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。

7．教材在适当的章节应该提供一些数学探究课题的案例和背景材料，可以提供一些由学生完成的数学探究的案例，可以为教师指导数学探究学习提供一些参考性的建议。

数学文化

数学是人类文化的重要组成部分。数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。 内容与要求

1．“数学文化”应尽可能有机结合高中数学课程各模块的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。

2．学生通过数学文化的学习，将了解人类社会发展对数学发展的促进作用，认识数学发生发展的必然规律；了解数学对推动人类社会发展的作用，了解数学对于其他各种科学、技术、文化发展的作用；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学体系的系统性和严密性，了解数学真理的相对性。

3．数学文化的具体内容可体现在各个模块之中。同时，在“数学史选讲”、“数学与社会”、“中学数学思想方法”等专题中，应充分体现数学文化的内涵和价值。

说明与建议

1．应当采取多样化的教学方式。 例如，教师可以在教授数学知识时介绍有关的背景文化；可以作专题演讲；也可以鼓励和指导学生就某个专题查找、阅读、收集资料文献，在此基础上，编写一些形式丰富的数学小作文、科普报告，并组织学生进行交流。

2．教师应有意识地强调数学的文化价值、科学价值、美学价值，但不必追求数学的形式化叙述。

3．教师在教学中应尽可能对有关课题作形象化的处理，如使用图片、幻灯、录象以及计算机软件等。

4．教师应充分开发和利用校内外的教育资源，并主动地与其他学科的教师（包括人文各学科）交流，更好地促进学科间的交融和渗透。

5．可以和其他学科教师一起，考察学生在查阅文献、阅读资料、撰写作文或报告、合作交流中的表现，对于优秀的作品应当给予鼓励、展示和推荐。

6．考试中可以适当涉及常识性的数学文化内容。试题的设计可以采取文理结合，综合思考。

7．数学文化的载体是数学发展中的人物和事件、重要的数学思想、优秀的数学成果。教材中要注意介绍有关人和事的人文精神，贯穿思想品德教育。

8．数学文化涉及的内容，要尽可能与高中数学各模块的内容密切相关，教材的编写要短小、生动、有趣、自然、深入浅出、通俗易懂。 9．教材的编排形式不要求统一，有些内容可以安排在数学知识引入时作为课本中的小栏目，供教师在教学时结合知识内容做介绍使用；有些内容可以安排在某一段教学内容的末尾，作为数学思想和数学方法的概括和小结，供学生阅读、归纳和体会；有些内容也可以单独编成一节，供教师参考或学生自己阅读。

第四部分 实施建议 一、教学建议

新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革的目标，教师是关键。教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。

数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为进一步学习和未来发展打好基础。在教学中应该把握好以下几个方面。 1．以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

为了体现高中课程时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学内容，在数学上获得不同的发展，高中数学课程设置了A系列（必修系列）、B系列（面向人文社科的系列）、C系列（面向理工、经济的系列）、D系列（文化系列）、E系列（应用系列）、F系列（拓展系列）的课程。教学中，要鼓励学生根据国家规定的课程方案和毕业要求，以及各自的潜能和兴趣爱好，制定数学学习计划，自主选择数学课程，在学生选择课程的过程中，教师要根据学生的基础、水平和发展方向给予指导。 2．帮助学生打好基础，发展能力

教师应帮助学生理解和掌握基本数学知识、技能、能力和思想，具体来说： （1）强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要贯穿于高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质，注重体现基本概念的来龙去脉。

（2）重视基本技能的训练

熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算，作图，推理，处理数据，科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。

（3）与时俱进地审视基础知识与基本技能

随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。例如，空间几何的教学可从两个视角展开——从整体到局部，从具体到抽象，而且应注意用向量方法处理有关问题；不等式的教学要关注它的几何背景和应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明。又如，口头、书面的数学表达是学好数学的基本功，在教学中应予以关注。 3．注重联系，提高对数学整体的认识

数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系。

高中数学课程是以模块的形式呈现的。因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，初步感受数学的整体性，提高解决问题的能力。例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何的联系；数与形的联系；算法思想在有关内容中的渗透，在不同内容中的应用等。此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，教学中应重视向量与力、速度的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等。 4．注重数学知识的应用，发展学生的应用意识和能力

在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。

在有关内容的教学中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题。例如，运用函数、数列、不等式、统计等知识直接解决问题。还应通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题。还可向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生自己收集数学应用的事例，开阔他们的视野。 5．关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成

数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，探寻数学进步的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，提高文化素养，养成求实、说理、批判、质疑等追求真理的精神。

在教学中，应尽可能结合高中数学课程的内容，介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。例如，教师在几何教学中可以向学生介绍欧几里德建立公理体系的思想方法对人类理性思维、数学发展、科学发展、社会进步的重大影响；在解析几何、微积分教学中，可以向学生介绍笛卡儿创立的解析几何，牛顿、莱布尼兹创立的微积分在文艺复兴后数学对科学、社会、人类思想进步的推动作用；在数系的教学中，可以向学生数系的发展和扩充过程，反映了数学内部动力、外部动力以及人类理性思维对数学产生和发展的作用。 6．改善教与学的方式，使学生主动地学习

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动。高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战。在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式。特别应注意以下几个方面：

（1）高中数学课程增加了一些新的内容，对于这些内容，教师要把握标准的定位进行教学。例如，对算法这部分内容，应着重强调使学生体会算法思想，提高逻辑思维能力。不应将算法简单处理成程序语言的学习和程序设计，同时应通过具体实例的上机实现（或编程）帮助学生理解算法思想及其作用。对原有内容的编排和要求也有新的变化，这对教师是一个挑战。要更好地理解和把握高中数学的内容，有效地进行教学，教师应

进行必要的探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。

（2）教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，更要有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程要。

（3）加强几何直观，重视图形、几何直观在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。在几何和其它内容的教学中，都应借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系。例如，借助几何直观理解导数的概念、函数的单调性与导数的关系等。

（4）在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但要避免过分形式化，应注意揭示数学的本质。例如，有些概念，如函数，的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义；有些内容的教学，如统计，是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用，但不给出有关的定义；又如导数概念是通过实例由平均变化率过渡到瞬时变化率直接给出，而不是在严格的极限定义基础上给出的。。

（5）对不同系列的内容，应采用不同的教学方式。如：在D系列的教学中，可采用阅读、收集资料、撰写报告、讨论交流等方式；在E系列的教学中，可采用调查研究、实践探索、合作交流等方式；在F系列的教学中，可采用阅读、自主探究、撰写数学论文等方式。

（6）教师应根据不同的内容、目标以及学生的实际情况，给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间，对有关课题作进一步探索、研究。如：反函数的概念、几何概型的计算等都可作为拓展、延伸的内容，拓展、延伸的内容不作为考试的要求。

（7）教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异差异，采用适当的教学方式，在数学学习和解决问题的过程中，激发学生对数学学习的兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，勤奋好学、勇于面对困难和不断进取的精神。

（8）教师应不断反思自己的教学，改进教学方式，提高自己的教学水平。 7．恰当运用现代信息技术，提高教学质量

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响。在教学中，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。同时，应尽可能使用科学型计算器、计算机及软件、互联网，以及各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。教师应恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。

应重视信息技术与数学课程内容的有机整合。如，算法初步已经作为必修内容，教师在教学中应注意它与有关内容的整合。又如，统计中数据的处理、方程的近似求解等都体现了信息技术与数学课程内容的整合，教师在教学中应予以关注。信息技术与数学课程内容的整合还有较大的开发空间，教师可在这方面进行积极的、有意义的探索。

二、评价建议

数学学习评价，既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高，又要重视其情感、态度和价值观的转变；既要重视学生学习水平的甄别，又要重视其学习过程中能动性的发挥；既要重视定量的认识，又要重视定性的分析；既要重视教育者对学生的评价，又要重视学生的自评互评。总之，应将评价贯穿于数学学习的全过程，不忽视评价的甄别与选拔功能，更突出评价的激励与发展功能。

数学教学的评价应立足于营造优质的育人环境，数学教与学活动过程的调控，学生和教师的共同成长。 1. 重视对学生数学学习过程的评价

相对于结果，过程更能反映每一个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价要重视结果，也要重视过程。对学生数学学习过程的评价，包括学生参与数学活动的动机和态度、完成数学学习的自信、独立思考的习惯、合作交流的意识、数学认知的发展水平等方面。

下面给出一些具体评价内容的建议与要求：

◆通过数学学习过程的评价，应努力引导学生正确认识数学的价值，产生积极的数学学习兴趣与动机；

◆数学的特点决定了个体数学知识的学习过程离不开理性思维，对学生独立地进行数学思考的关注应成为学习过程评价的核心之一。评价中应关注学生是否肯于思考、善于思考、坚持思考并不断地改进思考的方法与过程；

◆学习过程的评价，还应关注学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意与同伴交流数学学习的体会、与他人合作探究数学问题； ◆学生学好数学的自信心、勤奋、刻苦以及克服困难的毅力等良好的意志品质，也是数学学习过程评价的重要内容；

◆应特别重视考察从实际情境中抽象出数学知识的过程，以及数学知识的应用过程。例如，从具体的函数实例抽象函数概念，从现实生活和其他学科的问题中抽象函数模型，借助长方体模型抽象出空间点、线、面位置关系定义的过程，根据问题情境选择适当的数学知识解决实际问题的过程等；

◆应当重视学生理解并有条理地表达对数学内容的思考和理解的过程； ◆关注学生能否不断反思自己的数学学习过程。 2、正确评价学生的数学基础知识和基本技能

学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是学生学习评价的基本内容。评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免过于强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。

下面给出一些具体评价内容的建议与要求：

◆评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。特别地，核心概念对数学学习的影响是深远的，对它们的评价应该在高中数学学习的整个过程中予以关注；

◆结构化也是数学的重要特征，评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握知识的结构、体系。例如，方程与函数的联系，代数与几何的联系等；

◆评价数学的基本技能，可以关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用；

◆数学语言具有精确、简约、形式化等特点。能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容。例如，运用符号语言、图形语言、集合语言、算法语言、自然语言等表述解决简单的数学问题的过程。 3. 重视对学生能力的评价

学生能力的获得与提高是其自主学习、实现可持续发展的关键，评价对此应有正确导向。能力是通过知识的掌握和运用水平体现出来的，因此对于能力的评价应贯穿于学生数学知识的建构过程与问题的解决过程之中。

以数学地提出、分析、解决问题的能力为例，评价这一能力应着重于：

◆在日常的数学学习，尤其是数学探索与建模活动中，是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题；

◆能否选择有效的方法和手段收集信息、联系相关知识、提出解决问题的思路，建立恰当的数学模型，进而尝试解决问题； ◆能否在解决问题的过程中，既能够独立思考，又能够与他人很好地交流与合作； ◆能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善；

◆能否将解决问题的方案与结果，用书面或口头等形式比较准确地表达和交流，根据问题的实际进行分析、讨论或应用。 4. 实施促进学生发展的多元化评价

促进学生发展的多元化评价的涵义是多方面的，包括评价主体多元化、方式多元化、内容多元化和目标多元化等，应根据评价的目的和内容进行选择。

主体多元化，是指将教师评价、自我评价、学生互评、家长和社会有关人员评价等结合起来；方式多元化，是指定性与定量相结合，书面与口头相结合，课内与课外相结合，结果与过程相结合等；内容多元化，是指除智力之外，还包括对情感、态度、价值观以及身心素质等内容的评价；目标多元化，是指对不同的学生有不同的评价标准，即尊重学生的个体差异、尊重学生对数学的不同选择，不以一把尺子衡量所有学生的状况。

下面给出一些评价方式的具体建议：

◆评价应以尊重被评价对象为前提，强调评价主体间的沟通以及他们对学校数学教育活动的参与；

◆笔试仍是定量评价的重要方式，但要注重考察对数学概念的理解、数学思想方法的掌握、数学思考的深度、探索与创新的水平以及应用数学解决实际问题的能力等。定量评价可以采取百分制或等级制的方式，评价结果应及时反馈给学生，但要避免根据分数排列名次的现象发生；

◆定性评价可采取观察、评语或成长记录等形式。评语或成长记录中应使用激励性语言全面、客观地描述学生的状况，使学生认识自己的优势与不足，树立学习数学的自信心，明确努力的方向；

◆要重视学生做数学的过程，充分发挥数学作业在学生评价中的作用。作业的类型应多样化，例如常规作业，开放性、探索性数学问题，数学实验，数学建模，课题研究作业等；作业结果的呈现形式也应是多样的，例如习题解答，数学学习体会，数学小论文，研究、实验或调查报告（书面、口头）等；对作业的评价可以是量化的，也可以是定性的。

◆应重视计算器、计算机等现代教育技术手段在评价学生学习中的运用。

总之，通过多元化的评价，可以更好地实现对学生多角度、全方位的评价与激励，努力使每一个学生都能得到成功的体验，有效地促进学生的发展。

三、教材编写建议

教材是实现课程目标、实施教学的重要资源。高中数学教材的编写，要以《基础教育课程改革纲要》为依据，贯彻《标准》的基本理念，体现《标准》的要求，为课程教学的顺利实施提供保证。教材应当有利于调动教师的积极性，创造性地进行教学；有利于改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和发展。

教材应以《标准》中的模块为单位进行编写。提倡教材编写的多样化，对于各模块所规定的教学内容的编排顺序可以做适当的调整，不同的教材可以有各自的风格和特点。特别地，在教材的编写中，应当注意以下问题： 1．反映课程内容的素材应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点

教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平。素材应具有时代性、典型性、多样性和可接受性。

高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学概念的结论，体现数学的思想方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的意义和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念。 2．体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索

课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则。例如，在引入函数的一般概念时，应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生达到对函数概念的真正理解；空间几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系。

教材应注意创设情景，从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程。编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。

3．体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学

数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的。教材编写时应充分注意这些问题，不要因为《标准》将高中数学内容划分成若干模块，而忽视了相关内容的联系。

为了培养学生对数学内部联系的认识，教材需要将不同的数学内容相互沟通，以加深学生对数学生铁的认识和对本质的理解。例如，教材编写中可以借助二次函数的图象，比较和研究一元二次方程和不等式的解；比较等差数列、等比数列与一次函数指数函数的图象，发现它们之间的联系等。

《标准》的内容是根据学生的不同需要，分不同的系列和层次展开的。教材在处理这些内容时，还要注意明确相关内容在不同模块中的要求，及其前后联系，注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高。例如，统计的内容，在必修课中主要是通过尽可能多的实例，使学生在义务教育阶段的基础上，体会随机抽样，用样本估计总体的统计思想，并学习一些处理数据的方法；在选修课中则是通过各种不同的案例，使学生进一步学习一些常用的统计方法，加深对统计思想及统计在社会生产生活中的作用的认识。 4．注意新理念、新内容在教材编写上的特殊处理

依据本次课程改革的新理念，在高中数学课程中，引入了一些新的课程内容和新的处理方式，编写教材时应特别留意对它们的处理，按照《标准》规定的内容要求来做。

算法是本次《标准》引入的新内容之一。教材要注意突出算法的思想，提供实例，使学生经历通过模仿、探索、操作，设计程序框图表达解决问题等的过程，而不应讲算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序设计。同时，教材还要注意在能够与算法结合的课程内容中，融入用算法解决问题的练习，不断加深学生对算法的认识。例如，可以在求一元二次不等式的解等内容中融入算法的内容。

《标准》新设立了“数学建模”、“数学探究”和“数学文化”等学习活动。教材编写时，应把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课题作业或阅读学习报告。

《标准》中D，E，F系列课程教材的编写，应根据各系列的特点，以及各专题的具体要求。由于这些系列是全新的内容，希望教材编写者能进行积极的、有意义的、富有创造性的开发与探索。 5．渗透数学文化，体现人文精神

在教材编写中，应将数学的文化价值渗透在各部分内容中，采取多种形式，如与具体数学内容相结合或单独设置栏目做专题介绍；也可以列出课外阅读的参考书目及相关资料源，以便学生自己查阅、收集整理有关的资料。 6．内容设计要有一定的弹性

教材编写时，内容设计要具有一定的弹性。例如，根据学生特点和兴趣，教材可以在《标准》要求的相关内容中安排一些引申的内容，这些

内容可能是一些具有探索性的问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些重要的数学思想方法。选择和安排这些内容时，要注意思想性、反映数学的本质。这些内容不作评价要求。 7．反映现代信息技术与数学的整合

随着时代的发展，信息技术已经渗透到数学教学中。如何使现代信息技术为学生的数学学习提供更多的帮助，是教材编写中值得注意和进一步思考的问题。教材可以在处理某些内容时，提倡使用计算机或计算器，帮助学生理解数学概念，还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算、解决实际问题，以取得更多的时间和精力，探索和发现数学的规律，培养创新精神和实践能力。另一方面，现代信息技术不仅在改进学生的学习方式上可以发挥巨大的潜力，而且还可以渗透到数学的课程内容中来，教材应注意这些资源的整合。例如，可以把算法融入有关数学课程内容中；也可以引导学生通过网络搜集资料，研究数学的文化，体会数学的人文价值。

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