2013年高考数学（文科）仿真试题（四）

2013年高考数学（文科）仿真试题（新课标版）（四）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合A = x|x?2, B = x|x2?4x?3?0，则A?B等于

A. ?x|?2?x?1? B. ?x|1?x?2? C. ?x|2?x?3? D. ?x|?2?x?3? 2.已知sin??????5?3??)，则tan(??)的值是 ，??(,13224717717A. － B. － C. D.

1771773.等差数列{an}中，a4?2，则S7等于

A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5 4.已知直线l、m，平面?，且m??，那么“l//m”是“l//?”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.椭圆两焦点为 F1(?4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为

6.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：

频率/组距

0.018

0.015

0.011

0.0055

0.0004

100 120 0 20 40 60 80 年龄

那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有

A. 58万 B. 66万 C. 116万 D. 132万 7.投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验，若两次面向上的点数相等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是

x2y2??1A. B. 259 22xy??1C. D. 169

x2y2??1 2516 22xy??1 1061111 B. C. D.

1262368.已知函数f(x)满足：①?x，y?R，f(x?y)?f(x)?f(y)，②?x?0，f(x)?0，

A. 则

A. f(x)是偶函数且在(0,??)上单调递减 B. f(x)是偶函数且在(0,??)上单调递增

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C. f(x)是奇函数且单调递减 D. f(x)是奇函数且单调递增 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．

??????9.向量a?(3,?4)， 向量b=2，若a?b??5，那么向量a,b的夹角是

10.一几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的体积是 输入A,B,C 15 10 输入a,b,r 主视图 10 左视图

d?|?|A2?B2 d?r 否 （第11题图）

10 （第10题图）

俯视图

是 输出直线与圆相切

11.右上图所示为一个判断直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上 . 12.在长度为1的线段AB上随机的选取一点P， 则得到|PA|?1的概率是 . 2?2x?1x?013.已知函数f(x)??，若f(a)?1，则实数a的值是 . 2??x?2xx?014.已知定义在R上的函数f(x)是周期函数，且满足f(x?a)??f(x)?a?0?，函数f(x)的最小正周期为

三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

在?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.

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16.（本小题满分13分）

如图所示，PA垂直矩形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PC的中点. (Ⅰ) 求证EF//平面PAD； （Ⅱ）求证EF?CD.

P

F

A

E

B

17.（本小题满分13分）

已知曲线y?ax3?bx2?cx?d满足下列条件：

①过原点；②在x?0处导数为－1；③在x?1处切线方程为y?4x?3. (Ⅰ) 求实数a、b、c、d的值； （Ⅱ）求函数y?ax3?bx2?cx?d的极值.

18.（本小题满分14分）

D

C x2y2?2=1 (b?N*)的两个焦点为F1、F2，P是双曲线上的一点， 已知双曲线

4b2且满足 PF1?PF2?F1F2，PF2?4，

(Ⅰ)求b的值；

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（Ⅱ）抛物线y2?2px(p?0)的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.

19.（本小题满分14分）

已知数列{an}满足以下两个条件：

①点(an,an?1)在直线y?x?2上，

2②首项a1是方程3x?4x?1?0的整数解，

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1?a1，b2?a2，

数列{bn}的前n项和为Tn，解不等式Tn?Sn.

20.（本小题满分13分）

(Ⅰ)已知a1,a2?R，a1?a2?1，求证：a1?a2?221； 2222（Ⅱ）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，求证：a1?a2???an?

1. n

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参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B C B D A C C D 答案 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．有两个空的前一个2分后一个3分。 9 10 11 12 13 14 题号 答案 2? 33500 3Aa?Bb?C 1 2?1 2a 三、解答题：本题共6小题，共80分，解答仅供参考，如有其它解法按相应步骤给分。

abc??及已知，得 sinAsinBsinC 2a2?(2b?c)b?(2c?b)c

a2?b2?c2?bc 整理，得

b2?c2?a21cosA?? 有余弦定理cosA?，得

22bc2?A?在?ABC中，0?A??，所以

3abc??（Ⅱ）由正弦定理及已知，得 sinAsinBsinC2 2sinA?(2sinB?sinC)sinB?(2sinC?sinB)sinC

15.解：（Ⅰ）由正弦定理 即

…………2分 …………3分 …………5分 …………7分

…………9分

2sin2A?2(sinB?sinC)2?2sinBsinC

2?1B?sinC? 结合A?及已知sinB?sinC?1解得 sin32B?C 即

因此?ABC是一个等腰钝角三角形 …………13分

16.

证明：(Ⅰ)取PD中点G，连结AG、FG， 因为E、F分别为AB、PC的中点，所以AE?…………12分

P 1AB，GF//=2C F

A D

G 1DC，…………2分 2//又在矩形ABCD中AB//=DC，所以 AE=GF，

所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG//=EF …………5分 又，AG?平面PAD，EF?平面PAD.所以EF//平面PAD

…………7分 E （Ⅱ）因为PA?平面ABCD，所以PA?CD 在矩形

B ABCD中AD?CD

又PA?AD?A，所以CD?平面PAD， …………11分 因为AG?平面PAD所以CD?AG， 因为AG//EF所以EF?CD………13分

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17. 解 (Ⅰ)y??3ax2?2bx?c根据条件有

d?0??a?1??b?1c??1?? 解得 ??3a?2b?c?4c??1?????a?b?c?d?1?d?0（Ⅱ）由(Ⅰ)y?x3?x2?x，y??3x2?2x?1

1令y??0得x?或?1

3 x、y、y?的关系如表所示

…………6分

…………7分

…………9分

x (??,?1) y? y + ↑ －1 0 极大值1 1(?1,) 3－ ↓ 1 30 极小值?1(,??) 3+ 5 27↑

因此函数y?x3?x2?x在

15处有极小值?。……13分 32718. 解 （I）根据题意a2?4，a?2 …………2分，

22222又，a?b?c，||PF 1|?|PF2||?2a?4，又|P F1|?|PF2|=| F1F2|=4c， |P F2|<4，

x??1处有极大值1，在x?2得|PF2|2?4|PF2|?4c2?0在区间（0,4）上有解， 所以c?8…………4分 2* 因此b?4，又b?N，所以b?1

…………6分

x2?y2=1，右顶点坐标为（2,0）（II）双曲线方程为，即F(2,0) …………7分 42所以抛物线方程为y?8x(1) 直线方程为y?x?2(2)…………9分

由（1）（2）两式联立，解得??x1?6?42?y1?4?42和??x2?6?42?y2?4?42

…………11分

…………14分 …………4分 …………6分

22所以弦长|AB|=(x2?x1)?(y2?y1)=16

19. 解 （I）根据已知a1?1，an?1?an?2即an?1?an?2?d， …………2分

所以数列{an}是一个等差数列，an?a1?(n?1)d?2n?1 （II）数列{an}的前n项和Sn?n2

等比数列{bn}中，b1?a1?1，b2?a2?3，所以q?3，bn?3n?1…………9分

1?3n3n?1?数列{bn}的前n项和Tn? 1?323n?1?n2，又n?N*，所以n?1或2 Tn?Sn即2 20. 证明：（I）构造函数f(x)?(x?a1)2?(x?a2)2

22

…………11分 …………14分

…………2分

22 f(x)?2x2?2(a1?a2)x?a1?a2?2x2?2x?a1?a2

22 因为对一切x?R，恒有f(x)≥0，所以??4?8(a1?a2)≤0, …………4分

22 从而得a1?a2?1， 2 …………6分

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（II）构造函数f(x)?(x?a1)2?(x?a2)2???(x?an)2

…………8分

222 ?nx2?2(a1?a2???an)x?a1 ?a2???an22 …………10分 ?nx2?2x?a12?a2???an222 因为对一切x?R，都有f(x)≥0，所以△=4?4n(a1?a2???an)≤0,

从而证得：a1?a2???an? 版权所有：高考状元源ww.kszyy100om)

2221. n…………13分

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